黑龙江省鹤岗市第一中学2021届高三上学期第二次月考 数学（理）（含答案） 试卷
展开鹤岗市第一中学2021届高三上学期第二次月考
数学（理科）试题
一、选择题（共12小题，每题5分）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.下列各式的运算结果虚部为1的是（ ）
A. B. C. D.
3．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知命题，，命题，，则下列为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与平面，，满足且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.在等比数列中，，，则等于（ ）
A. 9 B. 3 C. D.
7．在中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方体中，棱长为1，点是棱的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．在中，角，，的对边分别为，，，若，且的外接圆半径为2，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10. 已知函数和（）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到的图象，只需把的图象（ ）
A. 向左平移1个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移1个单位 D. 向右平移个单位
11．如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
12.如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，每题5分）
13．若x，y满足 则x + 2y的最大值为
14．若正数满足，则的最小值是
15. 函数满足，当时，，若有个不同的实数解，则实数的取值范围是______.
16．如图，矩形中，为的中点，将△沿直线翻折成△，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______.
①存在某个位置，使得；
②翻折过程中，的长是定值；
③若，则；
④若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.
三、解答题（共6小题，17题10分，其余每题12分）
17．已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；（2）当时，求函数的最小值.
18. 设函数的最大值为M.
（1）求M；
（2）若正数a，b满足，请问：是否存在正数a，b，使得，并说明理由.
19．已知向量，设函数.
（1）当时，求的值；
（2）已知在中，内角的对边分别为，若，，求当时的取值范围.
20．如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，，，，为上一点.
（1）求证：平面平面；
（2）若平面，求面与面所成锐二面角的余弦值.
21．设数列的前n项和为，已知，，.
（1）求通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证：.
22. 已知函数，且曲线在处的切线斜率为.
（1）求实数的值；
（2）证明：当时，；
（3）若数列满足，且，证明：.
鹤岗一中2018级高三第二次月考数学（理科）试题
答案
1-5 CDBAB 6-10 BBCDA 11-12CD
13．9 14．4
15. 16.②④
17．（1）a=1（2）当x=-2或1时，的最小值为.
18. （1）.
（2）假设存在正数a，b，使得，则，
所以.又由于，
所以与矛盾，所以假设不成立，即不存在a，b，使得.
19．（1）（2）.
20．（1）证明：因为平面， 平面，所以.
在中，，
所以，因为，所以为直角三角形，.
因为为平行四边形，所以，所以.
又， 平面， 平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）连接，设与交点为，连接，
因为平面，平面，平面平面，
∴.∵是中点，∴是中点.
如图，以为原点，以、、所在方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
于是，，，，，
，，，
设为平面的一个法向量，
则，即取.
设为平面的一个法向量，则
，即，取.
.
设平面与平面所成角的平面角的大小为，
则.
所以平面与平面所成角的余弦值为.
21．（1）因为，，，
所以当时，，以上两式做差得：，即，，
由于，所以， ，所以数列是等比数列，公比为，首项为，
所以 .
（2）结合（1）得，
所以数列的前n项和为：
，
由于，所以，所以
22.（1），
因为曲线在处的切线斜率为，
所以，得.
（2）证明：将代入得，若，
则只需证明：在上恒成立即可.
令,则(x)
令,则在上恒成立，
所以n(x)在上递增,又n(0)=,
即在上恒成立，所以m(x)上单调递增，
又m(0)=0，所以在上恒成立，
即在上恒成立.
（3）证明：由（2）可知，当时，，
因为，所以，
设，则，
所以.
要证：，只需证，
因为，所以，
又，
所以，则；
故只需证：，即证.
令，
只需证当时，，
则，
令，则
则在上单调递增，又，
所以在上恒成立，即在上递增，
又，所以在上恒成立，
所以在上递增，又，
所以当时，
所以原不等式成立.
欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org
