高中鲁科版 (2019)第4章 万有引力定律及航天本章综合与测试综合训练题

这是一份高中鲁科版 (2019)第4章 万有引力定律及航天本章综合与测试综合训练题，共5页。试卷主要包含了天体运动问题的处理，天体运动中的追及相遇问题等内容，欢迎下载使用。










一、天体(卫星)运动问题的处理


分析处理天体运动问题，要抓住“一个模型”“两个思路”，区分“三个不同”。


1.一个模型：无论是自然天体(如行星等)，还是人造天体(如人造卫星、空间站等)，只要天体的运动轨迹为圆形，就可将其简化为质点的匀速圆周运动。


2.两个思路


(1)所有做圆周运动的天体，所需的向心力都来自万有引力。因此，向心力等于万有引力，据此所列方程是研究天体运动的基本关系式，即


Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝ma。


(2)不考虑地球或其他天体自转影响时，物体在地球或其他天体表面受到的万有引力约等于物体的重力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg，变形得GM＝gR2。


3.三个不同


(1)不同公式中r的含义不同。在万有引力定律公式(F＝Geq \f(m1m2,r2))中，r的含义是两质点间的距离；在向心力公式(F＝meq \f(v2,r)＝mω2r)中，r的含义是质点运动的轨道半径。当一个天体绕另一个天体做匀速圆周运动时，两式中的r相等。


(2)运行速度、发射速度和宇宙速度的含义不同。


(3)卫星的向心加速度a、地球表面的重力加速度g、在地球表面的物体随地球自转做匀速圆周运动的向心加速度a′的含义不同。


[例1] 土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动，其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为rA＝8.0×104 km和rB＝1.2×105 km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用(结果可用根式表示)。


(1)求岩石颗粒A和B的线速度之比；


(2)求岩石颗粒A和B的周期之比；


(3)土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出它距土星中心3.2×105 km处受到土星的引力为0.38 N。已知地球半径为6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？


解析 (1)设土星质量为M0，岩石颗粒质量为m，距土星中心距离为r，线速度为v，根据牛顿第二定律和万有引力定律可得Geq \f(M0m,r2)＝eq \f(mv2,r)，解得v＝eq \r(\f(GM0,r))。


对于A、B两颗粒分别有vA＝eq \r(\f(GM0,rA))和vB＝eq \r(\f(GM0,rB))，


得eq \f(vA,vB)＝eq \f(\r(6),2)。


(2)设岩石颗粒绕土星做圆周运动的周期为T，由开普勒第三定律eq \f(req \\al(3,A),Teq \\al(2,A))＝eq \f(req \\al(3,B),Teq \\al(2,B))


得eq \f(TA,TB)＝eq \f(2\r(6),9)。


(3)设地球质量为M，半径为r0，地球上物体的重力可视为等于万有引力，探测器上物体质量为m0，在地球表面重力为G0，跟土星中心相距r0′＝3.2×105 km处的引力为G0′，根据万有引力定律得


G0＝eq \f(GMm0,req \\al(2,0))，G0′＝eq \f(GM0m0,r0′2)，解得eq \f(M0,M)＝95。


答案 (1)eq \f(\r(6),2) (2)eq \f(2\r(6),9) (3)95倍


[针对训练1] “静止”在赤道上空的地球同步气象卫星将气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料。设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是( )


A.同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的eq \f(1,n)


B.同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的eq \f(1,n)


C.同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的eq \r(\f(1,n))


D.同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的eq \r(\f(1,n))


解析 同步卫星绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力，则Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r，得同步卫星的运行速度v＝eq \r(\f(GM,r))，又第一宇宙速度v1＝eq \r(\f(GM,R))，所以eq \f(v,v1)＝eq \r(\f(R,r))＝eq \r(\f(1,n))，故选项A错误，C正确；a＝eq \f(GM,r2)，g＝eq \f(GM,R2)，所以eq \f(a,g)＝eq \f(R2,r2)＝eq \f(1,n2)，故选项D错误；同步卫星与地球自转的角速度相同，则v＝ωr，v自＝ωR，所以eq \f(v,v自)＝eq \f(r,R)＝n，故选项B错误。


答案 C


二、天体运动中的追及相遇问题


在天体运动的问题中，我们常遇到一些这样的问题，比如a、b两物体都绕同一中心天体做圆周运动，某时刻a、b相距最近，问a、b下一次相距最近或最远需要多长时间，或“至少”需要多长时间等问题。而对于此类问题的解决和我们在直线运动中的追及相遇问题在思维上有一些相似的地方，但它也有其自身的特点。两天体由这次相距最近到下次相距最近，周期小的天体比周期大的天体多转一周，解决天体运动中的追及相遇问题时，要紧紧的抓住这一条件。


[例2] 设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，某人造卫星在赤道上空做匀速圆周运动，轨道半径为r，且r＜5R，飞行方向与地球的自转方向相同，在某时刻，该人造卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下一次通过该建筑物正上方所需要的时间为( )


A.2πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(gR2,r3))－ω0)) B.eq \f(2π,\r(\f(gR2,r3))＋ω0)


C.2πeq \r(\f(r3,gR2)) D.eq \f(2π,\r(\f(gR2,r3))－ω0)


解析 因为同步卫星的轨道半径大约为6.6R，根据卫星的运行特点知，轨道半径越大，卫星运行角速度越小，而同步卫星与地球自转的角速度相同，故该人造卫星运行的角速度比地球上建筑物运行的角速度大，因此再次出现在建筑物上方时，说明卫星已经比建筑物多走了一圈。故θ卫－θ地＝2π，θ卫＝ω1t，θ地＝ω0t，由于卫星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝mrωeq \\al(2,1)，根据黄金代换GM＝gR2，联立得D项正确。


答案 D


[针对训练2] 两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，如图所示，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面高度为3R，则：





(1)a、b两卫星周期之比Ta∶Tb是多少？


(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远？


解析 (1)设a卫星运行轨道的半径为Ra，b卫星运行轨道的半径为Rb，由题可知，Ra＝2R，Rb＝4R，


由开普勒行星运动规律知eq \f(Req \\al(3,a),Teq \\al(2,a))＝eq \f(Req \\al(3,b),Teq \\al(2,b))


所以Ta∶Tb＝Raeq \f(3,2)∶Rbeq \f(3,2)＝1∶2eq \r(2)①


(2)设经过t时间二者第一次相距最远，若两卫星同向运转，此时a比b多转半圈，即eq \f(t,Ta)－eq \f(t,Tb)＝eq \f(1,2)，


解得t＝eq \f(TaTb,2（Tb－Ta）)②


这段时间a经过的周期数为n＝eq \f(t,Ta)③


由①②③可得n＝eq \f(4＋\r(2),7)


若两卫星反向运转，二者共同转过半圈时，相距最远，有


eq \f(t,Ta)＋eq \f(t,Tb)＝eq \f(1,2)④


这段时间a经过的周期数为n′＝eq \f(t,Ta)⑤


由①④⑤得n′＝eq \f(4－\r(2),7)。


答案 (1)1∶2eq \r(2) (2)eq \f(4＋\r(2),7)或eq \f(4－\r(2),7)