【数学】甘肃省武威第十八中学2019-2020学年高二上学期第二次月考试题
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高二上学期第二次月考试题
一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有( )
A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3
C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2
2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
A．4 B．2 C. D.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝，b＝1，则c＝( )
A．1 B.2 C.－1 D.
4．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝( )
A．58 B．88 C．143 D．176
5．已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于( )
A．9 B.3 C．－3 D．－9
6．设a，b，c∈R，且a>b，则( )
A．ac>bc B．< C．a2>b2 D． a3>b3
7．设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝的定义域，则A∩B等于( )
A．(-3,2) B．[-3,2] C．(1,2) D．(1,2]
8．已知实数x，y满足则目标函数z＝2x－y的最大值为
A．1 B．2 C.6 D．5
9．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )
A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题
B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题
C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题
D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题
10．设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．在△ABC中，bcos A＝acos B，则△ABC是( )
A．等边三角形 B.等腰三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
12．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全体实数的条件是( )
A. B． C. D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知命题，命题，若命题和都为真，则的取值范围为________．
14．已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
15．已知数列{an}中，an＝，则数列的前项和Sn=________．
16．要制作一个容积为 4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共40分．
17．(本题满分10分)
已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝．
(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn．
18．(本题满分10分)
已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0)．
(1)若不等式的解集是{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．
19．(本题满分10分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csinB．
(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
20.(本题满分10分)
已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案
一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | B | B | B | D | D | D | D | C | A | B | D
|
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．答案： (0,1) 14．答案：4
15．答案： 16．答案：160
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共40分．
17．(本题满分10分)
已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn．
解：(1)设{an}的公差为d，则由已知条件得
化简得解得
故{an}的通项公式an＝1＋，即an＝．
(2)由 (1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8．设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2，
故{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1．
18．(本题满分10分)
已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0)．
(1)若不等式的解集是{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．
解：(1)因为不等式的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根且k＜0 .由根与系数的关系得解得k＝－.
(2)因为不等式的解集为R，
所以即所以k＜－.
即k的取值范围是.
19．(本题满分10分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csinB．
(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由已知及正弦定理得，sin A＝sin Bcos C＋sin CsinB．①
又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②
由①②和C∈(0，π)得sin B＝cosB．又B∈(0，π)，所以B＝．
(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac．由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos．
又a2＋c2≥2ac，故ac≤＝4＋2，当且仅当a＝c时等号成立．
因此△ABC面积的最大值为(4＋2)＝＋1．
20.(本题满分10分)
已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，
∴a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.
由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝，∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
(2)∵an＝2n＋1，∴a－1＝4n(n＋1)，
因此bn＝＝.故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＝＝.
∴数列{bn}的前n项和Tn＝.
