2020年湖南省湘潭市中考数学试卷
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2020年湖南省湘潭市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共8题） |
1. 的绝对值是．
A． B． C． D．
2. 地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了次，这个数据用科学记数法表示为．
A． B． C． D．
3. 已知与是同类项，则的值是．
A． B． C． D．
4. 下列图形中，不是中心对称图形的是．
A．
B．
C．
D．
5. 下列运算中正确的是．
A． B． C． D．
6. 如图，是的外角，若，，则．
A． B． C． D．
7. 为庆祝建党周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：、“北斗卫星”： 、“时代”； 、“智轨快运系统”； 、“东风快递”； 、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“时代”的频率是．
A． B． C． D．
8. 如图，直线经过点，当时，则的取值范围为．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共8题） |
9. 计算：________．
10. 在数轴上到原点的距离小于的整数可以为________．（任意写出一个即可）
11. 计算：________．
12. 走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走步是走路最健康的步数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大爷连续记录了天行走的步数为：步、步、步，这天步数的平均数是________步．
13. 若，则________．
14. 如图，在半径为的中，圆心角，则阴影部分面积为________．
15. 如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________．
16. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
数字形式 | |||||||||
纵式 |
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| |||||
横式 |
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表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是________．
| 三、 解答题（共10题） |
17. 解分式方程：．
18. 化简求值：，其中．
19. 生死守护，致敬英雄．湘潭名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．（温馨提示：用男、女；男、女分别表示甲、乙两班个学生）
（1）请用列举的方法写出所有可能出现的结果；
（2）若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
20. 为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度．（结果精确到，参考数据：，
21. “停课不停学”．突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”．在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长（单位：小时）进行统计．现随机抽取名学生的数据进行分析：
收集数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
整理数据：
时长（小时） | ||||
人数 |
分析数据：
项目 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
数据 |
应用数据：
（1）填空：________，________；
（2）补全频数直方图；
（3）若九年级共有人参与了网络学习，请估计学习时长在小时的人数．
22. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点．
（1）求证：；
（2）判断直线与的位置关系，并说明理由．
23. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点的坐标为．
（1）求过点的反比例函数的解析式；
（2）连接，过点作交轴于点，求直线的解析式．
24. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共本．已知购买本《北上》和本《牵风记》需元；购买本《北上》与购买本《牵风记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
25. 阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图（一），已知边长为的等边的重心为点，求与的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
① 若正方形的边长为，求的长度；
② 若，求正方形的面积．
26. 如图，抛物线与轴交于，两点．
（1）若过点的直线是抛物线的对称轴．
① 求抛物线的解析式；
② 对称轴上是否存在一点，使点关于直线的对称点恰好落在对称轴上．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）当，时，函数值的最大值满足，求的取值范围．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】B
【解析】负数的绝对值等于它的相反数，所以的绝对值是．
故选：
【点评】本题主要考查绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
2. 【答案】C
【解析】．
故选：
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3. 【答案】B
【解析】与是同类项，
，
解得，．
故选：
【点评】本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．
4. 【答案】D
【解析】．是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：
【点评】此题主要考查了中心对称图形，解题的关键是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
5. 【答案】C
【解析】．，故错误；
．，故错误；
．，正确；
．，故错误．
故选：
【点评】本题考查了幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂以及同底数幂的乘法，解题的关键是掌握基本的运算法则及公式．
6. 【答案】D
【解析】是的外角，
，
，
，，
．
故选：
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键
7. 【答案】B
【解析】由图知，八年级（3）班的全体人数为： （人），
选择“时代”的人数为：30人，
选择“时代”的频率是：．
故选：
【点评】本题考查了频数分布折线图，及相应频率的计算，熟知以上知识是解题的关键．
8. 【答案】A
【解析】由题意，将代入，
可得，即，
整理得，，
，
由图象可知，
，
．
故选：
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．
二、 填空题
9. 【答案】；
【解析】根据特殊角的三角函数值得：．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
，，，；
，，，；
，，，．
10. 【答案】（答案不唯一，，，，，，，任意一个均可）；
【解析】在数轴上到原点的距离小于的整数有：，，，，，，，从中任选一个即可，
故答案为：（答案不唯一，，，，，，，任意一个均可）
【点评】本题考查了数轴、数轴特点、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
11. 【答案】；
【解析】．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．
12. 【答案】；
【解析】这天步数的平均数是：（步）．
故答案为：
【点评】本题考查了平均数的计算，解题的关键是掌握平均数的计算公式．
13. 【答案】；
【解析】由可设，，是非零整数，
则．
故答案为：
【点评】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
14. 【答案】；
【解析】阴影部分面积为．
故答案为：
【点评】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式．
15. 【答案】；
【解析】根据垂线段最短可知：当时，最小，
当时，
又平分，，，
．
故答案为：
【点评】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
16. 【答案】；
【解析】根据算筹计数法，表示的数是：．
故答案为：
【点评】本题考查了算筹计数法，理解题意是解题的关键．
三、 解答题
17. 【答案】
【解析】
去分母得，，
解得，，
经检验，是原方程的解．
所以，原方程的解为：．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18. 【答案】
【解析】
，
将代入得：原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19. 【答案】（1）男女、男男、男女、男女、男女、女女
（2）
【解析】（1）可能出现的结果有：男女、男男、男女、男女、男女、女女；
（2）列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有种情况，其中恰好选中一男一女有种情况，
所以恰好选中一男一女的概率为．
【点评】本题考查列举法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．
20. 【答案】米
【解析】，其坡度为，
在中，，
解得．
四边形为矩形，
．
斜坡的坡度为，
，
，
在中，．
故斜坡的长度约为米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，矩形的性质，以及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知识点是解题的关键．
21. 【答案】（1）；
（2）
（3）人
【解析】（1）由总人数是人可得在的人数是（人），所以，
根据数据显示，出现的次数最多，所以这组数据的众数；
故答案为：，；
（2）由（1）得．
频数分布直方图补充如下：
（3）由图可知，学习时长在小时的人数所占的百分比，
（人）．
学习时长在小时的人数是人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了众数，利用样本估计总体．
22. 【答案】（1）答案见解析
（2）与相切
【解析】（1）证明：为的直径，
，
在和中，
；
（2）直线与相切，理由如下：
连接，如图所示：
由知：，
又，
为的中位线，
，
，
，
为的半径，
与相切．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形判定和性质，切线的判定，平行线的判定和性质，熟知以上知识的应用是解题的关键．
23. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）过点作轴，过作轴，垂足分别为，，如图，
，
，，
四边形是菱形，
，轴，
，
，
．
设过点的反比例函数解析式为，
把点坐标代入得，，
所以，反比例函数解析式为；
（2），
，
，
，
，
又，
，
，
，
解得，，
，
．
设所在直线解析式为，
把，分别代入，
得：，解得，，
直线的解析式为．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
24. 【答案】（1）购买《北上》的单价为元，《牵风记》的单价为元
（2）答案见解析
【解析】（1）设购买《北上》的单价为元，《牵风记》的单价为元，
由题意得：，
解得．
答购买《北上》的单价为元，《牵风记》的单价为元；
（2）设购买《北上》的数量本，则购买《牵风记》的数量为本，
根据题意得，
解得：，
则可以取、、、，
当时，，共花费元；
当时，，共花费元；
当时，，共花费元；
当时，，共花费元；
所以，共有种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为本和本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为本和本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为本和本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为本和本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为本和本费用最低，最低费用为元．
【点评】本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．
25. 【答案】（1）；
（2）是，；
（3）①；②
【解析】（1）连接，如图，
点是的重心，
，是，边上的中线，
，为，边上的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，，，
，，
，；
（2）由（1）可知，，是定值；
点到的距离和点到的距离之比为，
则和的面积之比等于点到的距离和点到的距离之比，
故，是定值；
（3）① 四边形是正方形，
，，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
即；
② ，且，
，
，
，
，
，
又，
，
正方形的面积为：．
【点评】本题是一道相似形综合题目，主要考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
26. 【答案】（1）① ；② 存在，或
（2）
【解析】（1）① 抛物线的对称轴为直线，
若过点的直线是抛物线的对称轴，
则，解得：，
抛物线的解析式为；
② 存在，
如图，若点在轴上方，点关于对称的点在对称轴上，连接、，
则，，
对于，令，则，
解得：，，
，，
，
，
，
设点，
由可得：，解得：，
；
同理，当点在轴下方时，．
综上所述，点或；
（2）抛物线的对称轴为直线，
当时，，
抛物线开口向下，在对称轴左边，随的增大而增大，
当时，取，有最大值，
即，
，解得：，
又，
．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理的应用，其中第（1）② 问要先画出图形再理解，第（2）问运用到了二次函数的增减性，难度适中，解题的关键是熟记二次函数的图象与性质．
