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    2019年湖南省郴州市中考数学试卷

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    这是一份2019年湖南省郴州市中考数学试卷,共29页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2019年湖南省郴州市中考数学试卷
    一、选择题(共8小题,每小题3分,共24分)
    1.(3分)如图,数轴上表示﹣2的相反数的点是(  )

    A.M B.N C.P D.Q
    2.(3分)如图是我国几家银行的标志,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
    A. B.
    C. D.
    3.(3分)邓小平曾说:“中东有石油,中国有稀土”.稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料.据有关统计数据表明:至2017年止,我国已探明稀土储量约4400万吨,居世界第一位,请用科学记数法表示 44 000 000为(  )
    A.44×106 B.4.4×107 C.4.4×108 D.0.44×109
    4.(3分)下列运算正确的是(  )
    A.( x2)3=x5 B.+= C.x•x2•x4=x6 D.=
    5.(3分)一元二次方程2x2+3x﹣5=0的根的情况为(  )
    A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
    C.只有一个实数根 D.没有实数根
    6.(3分)下列采用的调查方式中,合适的是(  )
    A.为了解东江湖的水质情况,采用抽样调查的方式
    B.我市某企业为了解所生产的产品的合格率,采用普查的方式
    C.某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查,采用抽样调查的方式
    D.某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况,采用普查的方式
    7.(3分)如图,分别以线段AB的两端点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,在线段AB的两侧分别交于点E,F,作直线EF交AB于点O.在直线EF上任取一点P(不与O重合),连接PA,PB,则下列结论不一定成立的是(  )

    A.PA=PB B.OA=OB C.OP=OF D.PO⊥AB
    8.(3分)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A=90°,BD=4,CF=6,则正方形ADOF的边长是(  )

    A. B.2 C. D.4
    二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)
    9.(3分)二次根式中,x的取值范围是   .
    10.(3分)若=,则=   .
    11.(3分)如图,直线a,b被直线c,d所截.若a∥b,∠1=130°,∠2=30°,则∠3的度数为   度.

    12.(3分)某校举行演讲比赛,七个评委对小明的打分如下:9,8,7,6,9,9,7,这组数据的中位数是   .
    13.(3分)某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示:
    日期
    1
    2
    3
    4
    数量(瓶)
    120
    125
    130
    135
    观察此表,利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为   瓶.
    14.(3分)如图是甲、乙两人6次投篮测试(每次投篮10个)成绩的统计图,甲、乙两人测试成绩的方差分别记作s甲2、s乙2,则s甲2   s乙2.(填“>”,“=”或“<”)

    15.(3分)已知某几何体的三视图如图,其中主视图和左视图都是腰长为5,底边长为4的等腰三角形,则该几何体的侧面展开图的面积是   .(结果保留π)

    16.(3分)如图,点A,C分别是正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象的交点,过A点作AD⊥x轴于点D,过C点作CB⊥x轴于点B,则四边形ABCD的面积为   .

    三、解答题(17~19题每题6分,20~23题每题8分,24~25题每题10分,26题12分,共82分)
    17.(6分)计算:(3﹣π)0﹣2cos30°+|1﹣|+()﹣1.
    18.(6分)先化简,再求值:﹣,其中a=.
    19.(6分)如图,▱ABCD中,点E是边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F,连接AC,DF.求证:四边形ACDF是平行四边形.

    20.(8分)我市去年成功举办2018郴州国际休闲旅游文化节,获评“全国森林旅游示范市”.我市有A,B,C,D,E五个景区很受游客喜爱.一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游(只选一个景区)的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图:

    (1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是   人,m=   ,并补全条形统计图;
    (2)若该小区有居民1200人,试估计去B地旅游的居民约有多少人?
    (3)小军同学已去过E地旅游,暑假期间计划与父母从A,B,C,D四个景区中,任选两个去旅游,求选到A,C两个景区的概率.(要求画树状图或列表求概率)
    21.(8分)如图所示,巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上,距离A处30km.在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号,巡逻船接到指示后立即前往施救.已知B处在A处的北偏东60°方向上,这时巡逻船与渔船的距离是多少?
    (精确到0.01km.参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.449)

    22.(8分)某小微企业为加快产业转型升级步伐,引进一批A,B两种型号的机器.已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件,且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等.
    (1)每台A,B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件?
    (2)如果该企业计划安排A,B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件,为了如期完成任务,要求两种机器每小时加工的零件不少于72件,同时为了保障机器的正常运转,两种机器每小时加工的零件不能超过76件,那么A,B两种型号的机器可以各安排多少台?
    23.(8分)如图,已知AB是⊙O的直径,CD与⊙O相切于点D,且AD∥OC.
    (1)求证:BC是⊙O的切线;
    (2)延长CO交⊙O于点 E.若∠CEB=30°,⊙O的半径为2,求的长.(结果保留π)

    24.(10分)若一个函数当自变量在不同范围内取值时,函数表达式不同,我们称这样的函数为分段函数.下面我们参照学习函数的过程与方法,探究分段函数y=的图象与性质.列表:
    x

    ﹣3

    ﹣2

    ﹣1

    0

    1

    2

    3

    y



    1

    2

    1

    0

    1

    2

    描点:在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以相应的函数值y为纵坐标,描出相应的点,如图所示.

    (1)如图,在平面直角坐标系中,观察描出的这些点的分布,作出函数图象;
    (2)研究函数并结合图象与表格,回答下列问题:
    ①点A(﹣5,y1),B(﹣,y2),C(x1,),D(x2,6)在函数图象上,则y1   y2,x1   x2;(填“>”,“=”或“<”)
    ②当函数值y=2时,求自变量x的值;
    ③在直线x=﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P(x3,y3),Q(x4,y4),且y3=y4,求x3+x4的值;
    ④若直线y=a与函数图象有三个不同的交点,求a的取值范围.
    25.(10分)如图1,矩形ABCD中,点E为AB边上的动点(不与A,B重合),把△ADE沿DE翻折,点A的对应点为A1,延长EA1交直线DC于点F,再把∠BEF折叠,使点B的对应点B1落在EF上,折痕EH交直线BC于点H.
    (1)求证:△A1DE∽△B1EH;
    (2)如图2,直线MN是矩形ABCD的对称轴,若点A1恰好落在直线MN上,试判断△DEF的形状,并说明理由;
    (3)如图3,在(2)的条件下,点G为△DEF内一点,且∠DGF=150°,试探究DG,EG,FG的数量关系.

    26.(12分)已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点 C.
    (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;
    (2)点F是线段AD上一个动点.
    ①如图1,设k=,当k为何值时,CF=AD?
    ②如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与△ABC相似?若相似,求出点F的坐标;若不相似,请说明理由.


    2019年湖南省郴州市中考数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题(共8小题,每小题3分,共24分)
    1.(3分)如图,数轴上表示﹣2的相反数的点是(  )

    A.M B.N C.P D.Q
    【考点】13:数轴;14:相反数.菁优网版权所有
    【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案.
    【解答】解:﹣2的相反数是2,
    故选:D.
    【点评】本题考查了相反数,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.
    2.(3分)如图是我国几家银行的标志,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
    A. B.
    C. D.
    【考点】P3:轴对称图形;R5:中心对称图形.菁优网版权所有
    【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
    【解答】解:A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项错误;
    B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
    C、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项正确;
    D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误.
    故选:C.
    【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合
    3.(3分)邓小平曾说:“中东有石油,中国有稀土”.稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料.据有关统计数据表明:至2017年止,我国已探明稀土储量约4400万吨,居世界第一位,请用科学记数法表示 44 000 000为(  )
    A.44×106 B.4.4×107 C.4.4×108 D.0.44×109
    【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有
    【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,据此判断即可.
    【解答】解:将 44 000 000用科学记数法可表示为4.4×107.
    故选:B.
    【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
    4.(3分)下列运算正确的是(  )
    A.( x2)3=x5 B.+= C.x•x2•x4=x6 D.=
    【考点】46:同底数幂的乘法;47:幂的乘方与积的乘方;79:二次根式的混合运算.菁优网版权所有
    【分析】根据幂的乘方法则判断A;先把化为最简二次根式,再合并同类二次根式,即可判断B;根据同底数幂的乘法法则判断C;根据二次根式的除法法则判断D.
    【解答】解:A、( x2)3=x6,故本选项错误;
    B、+=+2=3,故本选项错误;
    C、x•x2•x4=x7,故本选项错误;
    D、=,故本选项正确;
    故选:D.
    【点评】本题考查了二次根式的运算,整式的运算,掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、以及二次根式的除法法则是解题的关键.
    5.(3分)一元二次方程2x2+3x﹣5=0的根的情况为(  )
    A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
    C.只有一个实数根 D.没有实数根
    【考点】AA:根的判别式.菁优网版权所有
    【分析】求出△的值即可判断.
    【解答】解:一元二次方程2x2﹣3x+5=0中,
    △=32﹣4×2×9(﹣5)>0,
    ∴有两个不相等的实数根.
    故选:B.
    【点评】本题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.
    6.(3分)下列采用的调查方式中,合适的是(  )
    A.为了解东江湖的水质情况,采用抽样调查的方式
    B.我市某企业为了解所生产的产品的合格率,采用普查的方式
    C.某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查,采用抽样调查的方式
    D.某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况,采用普查的方式
    【考点】V2:全面调查与抽样调查.菁优网版权所有
    【分析】根据两种不同的调查方式的优缺点分别判断即可.
    【解答】解:A、为了解东江湖的水质情况,采用抽样调查的方式,合适;
    B、我市某企业为了解所生产的产品的合格率,因调查范围广,工作量大采用普查的方式不合适;
    C、某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查,因调查范围小采用抽样调查的方式不合适;
    D、某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况,因调查范围广,采用普查的方式不合适,
    故选:A.
    【点评】本题考查了全面调查与抽样调查的知识,解题的关键是能够了解两种调查方式的优缺点,难度不大.
    7.(3分)如图,分别以线段AB的两端点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,在线段AB的两侧分别交于点E,F,作直线EF交AB于点O.在直线EF上任取一点P(不与O重合),连接PA,PB,则下列结论不一定成立的是(  )

    A.PA=PB B.OA=OB C.OP=OF D.PO⊥AB
    【考点】KG:线段垂直平分线的性质;N2:作图—基本作图.菁优网版权所有
    【分析】依据分别以线段AB的两端点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,在线段AB的两侧分别交于点E,F,作直线EF交AB于点O,即可得到EF垂直平分AB,进而得出结论.
    【解答】解:∵由作图可知,EF垂直平分AB,
    ∴PA=PB,故A选项正确;
    OA=OB,故B选项正确;
    OE=OF,故C选项错误;
    PO⊥AB,故D选项正确;
    故选:C.
    【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质,解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法,利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题.
    8.(3分)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A=90°,BD=4,CF=6,则正方形ADOF的边长是(  )

    A. B.2 C. D.4
    【考点】1O:数学常识;KQ:勾股定理;LE:正方形的性质.菁优网版权所有
    【分析】设正方形ADOF的边长为x,在直角三角形ACB中,利用勾股定理可建立关于x的方程,解方程即可.
    【解答】解:设正方形ADOF的边长为x,
    由题意得:BE=BD=4,CE=CF=6,
    ∴BC=BE+CE=BD+CF=10,
    在Rt△ABC中,AC2+AB2=BC2,
    即(6+x)2+(x+4)2=102,
    整理得,x2+10x﹣24=0,
    解得:x=2,或x=﹣12(舍去),
    ∴x=2,
    即正方形ADOF的边长是2;
    故选:B.
    【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识;熟练掌握正方形的性质,由勾股定理得出方程是解题的关键.
    二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)
    9.(3分)二次根式中,x的取值范围是 x≥2 .
    【考点】72:二次根式有意义的条件.菁优网版权所有
    【分析】二次根式的被开方数是非负数,即x﹣2≥0.
    【解答】解:根据题意,得
    x﹣2≥0,
    解得,x≥2;
    故答案是:x≥2.
    【点评】考查了二次根式的意义和性质.概念:式子(a≥0)叫二次根式.性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.
    10.(3分)若=,则=  .
    【考点】S1:比例的性质.菁优网版权所有
    【分析】直接利用已知将原式变形进而得出x,y之间的关系进而得出答案.
    【解答】解:∵=,
    ∴2x+2y=3x,
    故2y=x,
    则=.
    故答案为:.
    【点评】此题主要考查了比例的性质,正确将原式变形是解题关键.
    11.(3分)如图,直线a,b被直线c,d所截.若a∥b,∠1=130°,∠2=30°,则∠3的度数为 100 度.

    【考点】JA:平行线的性质.菁优网版权所有
    【分析】直接利用平行线的性质结合三角形外角的性质得出答案.
    【解答】解:∵a∥b,
    ∴∠3=∠4,
    ∵∠1=∠2+∠4=∠2+∠3,∠1=130°,∠2=30°,
    ∴130°=30°+∠3,
    解得:∠3=100°.
    故答案为:100.

    【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角,正确应用平行线的性质是解题关键.
    12.(3分)某校举行演讲比赛,七个评委对小明的打分如下:9,8,7,6,9,9,7,这组数据的中位数是 8 .
    【考点】W4:中位数.菁优网版权所有
    【分析】根据中位数计算:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
    【解答】解:把这组数据按照从小到大的顺序排列为:6,7,7,8,9,9,9,
    故这组数据的中位数是8.
    故答案为:8.
    【点评】本题考查了中位数的定义,解题的关键是牢记定义,此题比较简单,易于掌握.
    13.(3分)某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示:
    日期
    1
    2
    3
    4
    数量(瓶)
    120
    125
    130
    135
    观察此表,利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为 150 瓶.
    【考点】FH:一次函数的应用.菁优网版权所有
    【分析】这是一个一次函数模型,设y=kx+b,利用待定系数法即可解决问题,
    【解答】解:这是一个一次函数模型,设y=kx+b,则有,
    解得,
    ∴y=5x+115,
    当x=7时,y=150,
    ∴预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶,
    故答案为150.
    【点评】本题考查一次函数的性质,解题的关键是学会构建一次函数解决问题,属于中考常考题型.
    14.(3分)如图是甲、乙两人6次投篮测试(每次投篮10个)成绩的统计图,甲、乙两人测试成绩的方差分别记作s甲2、s乙2,则s甲2 < s乙2.(填“>”,“=”或“<”)

    【考点】VD:折线统计图;W7:方差.菁优网版权所有
    【分析】根据数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定,方差越大;数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定,方差越小进行判断.
    【解答】解:由图象可知:乙偏离平均数大,甲偏离平均数小,所以乙波动大,不稳定,方差大,即S甲2<S乙2.
    故答案为:<.
    【点评】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
    15.(3分)已知某几何体的三视图如图,其中主视图和左视图都是腰长为5,底边长为4的等腰三角形,则该几何体的侧面展开图的面积是 10π .(结果保留π)

    【考点】I4:几何体的表面积;I6:几何体的展开图;U3:由三视图判断几何体.菁优网版权所有
    【分析】由三视图可知,该几何体是圆锥,根据圆锥是侧面积公式计算即可.
    【解答】解:由三视图可知,该几何体是圆锥,
    ∴侧面展开图的面积=π•2•5=10π,
    故答案为10π.
    【点评】本题考查三视图,圆锥等知识,解题的关键是记住圆锥的侧面积公式.
    16.(3分)如图,点A,C分别是正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象的交点,过A点作AD⊥x轴于点D,过C点作CB⊥x轴于点B,则四边形ABCD的面积为 8 .

    【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题.菁优网版权所有
    【分析】由反比例函数的对称性可知OA=OC,OB=OD,则S△AOB=S△BOC=S△DOC=S△AOD,再根据反比例函数k的几何意义可求得这四个三角形的面积,可求得答案.
    【解答】解:∵A、C是两函数图象的交点,
    ∴A、C关于原点对称,
    ∵CD⊥x轴,AB⊥x轴,
    ∴OA=OC,OB=OD,
    ∴S△AOB=S△BOC=S△DOC=S△AOD,
    又∵反比例函数y=的图象上,
    ∴S△AOB=S△BOC=S△DOC=S△AOD=×4=2,
    ∴S四边形ABCD=4S△AOB=4×2=8,
    故答案为:8.
    【点评】本题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义,根据条件得出OA=OC,OB=OD是解题的关键,注意k的几何意义的应用.
    三、解答题(17~19题每题6分,20~23题每题8分,24~25题每题10分,26题12分,共82分)
    17.(6分)计算:(3﹣π)0﹣2cos30°+|1﹣|+()﹣1.
    【考点】2C:实数的运算;6E:零指数幂;6F:负整数指数幂;T5:特殊角的三角函数值.菁优网版权所有
    【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则,绝对值的代数意义,以及特殊角的三角函数值计算即可求出值.
    【解答】解:原式=1﹣2×+﹣1+2=2.
    【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
    18.(6分)先化简,再求值:﹣,其中a=.
    【考点】6D:分式的化简求值.菁优网版权所有
    【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子,然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题.
    【解答】解:﹣




    =,
    当a=时,原式===1.
    【点评】本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.
    19.(6分)如图,▱ABCD中,点E是边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F,连接AC,DF.求证:四边形ACDF是平行四边形.

    【考点】KD:全等三角形的判定与性质;L7:平行四边形的判定与性质.菁优网版权所有
    【分析】利用平行四边形的性质,即可判定△FAE≌△CDE,即可得到CD=FA,再根据CD∥AF,即可得出四边形ACDF是平行四边形;
    【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AB∥CD,
    ∴∠FAE=∠CDE,
    ∵E是AD的中点,
    ∴AE=DE,
    又∵∠FEA=∠CED,
    ∴△FAE≌△CDE(ASA),
    ∴CD=FA,
    又∵CD∥AF,
    ∴四边形ACDF是平行四边形.
    【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键.
    20.(8分)我市去年成功举办2018郴州国际休闲旅游文化节,获评“全国森林旅游示范市”.我市有A,B,C,D,E五个景区很受游客喜爱.一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游(只选一个景区)的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图:

    (1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 200 人,m= 35 ,并补全条形统计图;
    (2)若该小区有居民1200人,试估计去B地旅游的居民约有多少人?
    (3)小军同学已去过E地旅游,暑假期间计划与父母从A,B,C,D四个景区中,任选两个去旅游,求选到A,C两个景区的概率.(要求画树状图或列表求概率)
    【考点】V5:用样本估计总体;VB:扇形统计图;VC:条形统计图;X6:列表法与树状图法.菁优网版权所有
    【分析】(1)先由D景区人数及其所占百分比求出总人数,再根据百分比的概念和各景区人数之和等于总人数求解可得;
    (2)利用样本估计总体思想求解可得;
    (3)画树状图得出所有等可能结果,从中找到选到A,C两个景区的结果数,再根据概率公式计算可得.
    【解答】解:(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是20÷10%=200(人),
    则m%=×100%=35%,即m=35,
    C景区人数为200﹣(20+70+20+50)=40(人),
    补全条形图如下:

    故答案为:200,35;

    (2)估计去B地旅游的居民约有1200×35%=420(人);

    (3)画树状图如下:

    由树状图知,共有12种等可能结果,其中选到A,C两个景区的有2种结果,
    所以选到A,C两个景区的概率为=.
    【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识.注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
    21.(8分)如图所示,巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上,距离A处30km.在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号,巡逻船接到指示后立即前往施救.已知B处在A处的北偏东60°方向上,这时巡逻船与渔船的距离是多少?
    (精确到0.01km.参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.449)

    【考点】TB:解直角三角形的应用﹣方向角问题.菁优网版权所有
    【分析】延长CB交过A点的正东方向于D,则∠CDA=90°,由题意得:AC=30km,∠CAD=45°,∠BAD=30°,由直角三角形的性质得出AD=CD=AC=15,AD=BD,BD==5,由勾股定理即可得出答案.
    【解答】解:延长CB交过A点的正东方向于D,如图所示:
    则∠CDA=90°,
    由题意得:AC=30km,∠CAD=90°﹣45°=45°,∠BAD=90°﹣60°=30°,
    ∴AD=CD=AC=15,AD=BD,
    ∴BD==5,
    ∴AB===10≈10×2.449≈24.49(km);
    答:巡逻船与渔船的距离约为24.49km.

    【点评】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形,然后利用三角函数的知识求解,难度适中.
    22.(8分)某小微企业为加快产业转型升级步伐,引进一批A,B两种型号的机器.已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件,且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等.
    (1)每台A,B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件?
    (2)如果该企业计划安排A,B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件,为了如期完成任务,要求两种机器每小时加工的零件不少于72件,同时为了保障机器的正常运转,两种机器每小时加工的零件不能超过76件,那么A,B两种型号的机器可以各安排多少台?
    【考点】B7:分式方程的应用;CE:一元一次不等式组的应用.菁优网版权所有
    【分析】(1)设每台B型机器每小时加工x个零件,则每台A型机器每小时加工(x+2)个零件,根据工作时间=工作总量÷工作效率结合一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
    (2)设A型机器安排m台,则B型机器安排(10﹣m)台,根据每小时加工零件的总量=8×A型机器的数量+6×B型机器的数量结合每小时加工的零件不少于72件且不能超过76件,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,再结合m为正整数即可得出各安排方案.
    【解答】解:(1)设每台B型机器每小时加工x个零件,则每台A型机器每小时加工(x+2)个零件,
    依题意,得:=,
    解得:x=6,
    经检验,x=6是原方程的解,且符合题意,
    ∴x+2=8.
    答:每台A型机器每小时加工8个零件,每台B型机器每小时加工6个零件.
    (2)设A型机器安排m台,则B型机器安排(10﹣m)台,
    依题意,得:,
    解得:6≤m≤8.
    ∵m为正整数,
    ∴m=6,7,8.
    答:共有三种安排方案,方案一:A型机器安排6台,B型机器安排4台;方案二:A型机器安排7台,B型机器安排3台;方案三:A型机器安排8台,B型机器安排2台.
    【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组.
    23.(8分)如图,已知AB是⊙O的直径,CD与⊙O相切于点D,且AD∥OC.
    (1)求证:BC是⊙O的切线;
    (2)延长CO交⊙O于点 E.若∠CEB=30°,⊙O的半径为2,求的长.(结果保留π)

    【考点】M5:圆周角定理;ME:切线的判定与性质;MN:弧长的计算.菁优网版权所有
    【分析】(1)根据切线的性质和平行线的性质从而证得△COD≌△COB,得到∠ODC=∠OBC=90°,即可证得结论;
    (2)根据圆周角定理得到∠BOD=120°,然后根据弧长公式求得即可.
    【解答】(1)证明:连接OD,
    ∵CD与⊙O相切于点D,
    ∴∠ODC=90°,
    ∵OD=OA,
    ∴∠OAD=∠ODA,
    ∵AD∥OC,
    ∴∠COB=∠OAD,∠COD=∠ODA,
    ∴∠COB=∠COD,
    在△COD和△COB中

    ∴△COD≌△COB(SAS),
    ∴∠ODC=∠OBC=90°,
    ∴BC是⊙O的切线;
    (2)解:∵∠CEB=30°,
    ∴∠COB=60°,
    ∵∠COB=∠COD,
    ∴∠BOD=120°,
    ∴的长:=π.

    【点评】本题考查了切线的判定和性质,平行线的性质,圆周角定理以及三角形全等的判定和性质,熟练掌握性质定理是解题的关键.
    24.(10分)若一个函数当自变量在不同范围内取值时,函数表达式不同,我们称这样的函数为分段函数.下面我们参照学习函数的过程与方法,探究分段函数y=的图象与性质.列表:
    x

    ﹣3

    ﹣2

    ﹣1

    0

    1

    2

    3

    y



    1

    2

    1

    0

    1

    2

    描点:在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以相应的函数值y为纵坐标,描出相应的点,如图所示.

    (1)如图,在平面直角坐标系中,观察描出的这些点的分布,作出函数图象;
    (2)研究函数并结合图象与表格,回答下列问题:
    ①点A(﹣5,y1),B(﹣,y2),C(x1,),D(x2,6)在函数图象上,则y1 < y2,x1 < x2;(填“>”,“=”或“<”)
    ②当函数值y=2时,求自变量x的值;
    ③在直线x=﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P(x3,y3),Q(x4,y4),且y3=y4,求x3+x4的值;
    ④若直线y=a与函数图象有三个不同的交点,求a的取值范围.
    【考点】E9:分段函数;F3:一次函数的图象;F5:一次函数的性质;G2:反比例函数的图象;G4:反比例函数的性质.菁优网版权所有
    【分析】(1)描点连线即可;
    (2)①A与B在y=﹣上,y随x的增大而增大,所以y1<y2;C与D在y=|x﹣1|上,观察图象可得x1<x2;
    ②当y=2时,2=|x﹣1|,则有x=3或x=﹣1;
    ③由图可知﹣1≤x≤3时,点关于x=1对称,当y3=y4时x3+x4=2;
    ④由图象可知,0<a<2;
    【解答】解:(1)如图所示:
    (2)①A(﹣5,y1),B(﹣,y2),
    A与B在y=﹣上,y随x的增大而增大,∴y1<y2;
    C(x1,),D(x2,6),
    C与D在y=|x﹣1|上,观察图象可得x1<x2;
    故答案为<,<;
    ②当y=2时,x≤﹣1时,有2=﹣,∴x=﹣1;
    当y=2时,x>﹣1时,有2=|x﹣1|,∴x=3或x=﹣1(舍去),
    故x=﹣1或x=3;
    ③∵P(x3,y3),Q(x4,y4)在x=﹣1的右侧,
    ∴﹣1≤x≤3时,点P,Q关于x=1对称,
    则有y3=y4,
    ∴x3+x4=2;
    ④由图象可知,0<a<2;

    【点评】本题考查反比例函数的图象及性质,一次函数的图象及性质;能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键.
    25.(10分)如图1,矩形ABCD中,点E为AB边上的动点(不与A,B重合),把△ADE沿DE翻折,点A的对应点为A1,延长EA1交直线DC于点F,再把∠BEF折叠,使点B的对应点B1落在EF上,折痕EH交直线BC于点H.
    (1)求证:△A1DE∽△B1EH;
    (2)如图2,直线MN是矩形ABCD的对称轴,若点A1恰好落在直线MN上,试判断△DEF的形状,并说明理由;
    (3)如图3,在(2)的条件下,点G为△DEF内一点,且∠DGF=150°,试探究DG,EG,FG的数量关系.

    【考点】SO:相似形综合题.菁优网版权所有
    【分析】(1)由折叠图形的性质可得∠DA1E=∠EB1H=90°,∠DEA1+∠HEB1=90°从而可得∠DEA1=∠EHB1,依据两个角对应相等的三角形相似可得△A1DE∽△B1EH;
    (2)由A1恰好落在直线MN上可知A1在EF的中点,由SAS易证△A1DE≌△A1DF,即可得∠ADE=∠EDA1=∠FDA1=30°,
    (3)将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置,由旋转的旋转将DG,EG,FG集中到△G′GF中结合∠DGF=150°,可得△G′GF为直角三角形,由勾股定理可得G'G2+GF2=G'F2,即可证明DG2+GF2=GE2,
    【解答】解:(1)证明:由折叠的性质可知:∠DAE=∠DA1E=90°,∠EBH=∠EB1H=90°,∠AED=∠A1ED,∠BEH=∠B1EH,
    ∴∠DEA1+∠HEB1=90°.
    又∵∠HEB1+∠EHB1=90°,
    ∴∠DEA1=∠EHB1,
    ∴△A1DE∽△B1EH;
    (2)结论:△DEF是等边三角形;
    理由如下:
    ∵直线MN是矩形ABCD的对称轴,
    ∴点A1是EF的中点,即A1E=A1F,
    在△A1DE和△A1DF中

    ∴△A1DE≌△A1DF(SAS),
    ∴DE=DF,∠FDA1=∠EDA1,
    又∵△ADE≌△A1DE,∠ADF=90°.
    ∴∠ADE=∠EDA1=∠FDA1=30°,
    ∴∠EDF=60°,
    ∴△DEF是等边三角形;
    (3)DG,EG,FG的数量关系是DG2+GF2=GE2,
    理由如下:由(2)可知△DEF是等边三角形;将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置,如解图(1),
    ∴G'F=GE,DG'=DG,∠GDG'=60°,
    ∴△DGG'是等边三角形,
    ∴GG'=DG,∠DGG'=60°,
    ∵∠DGF=150°,
    ∴∠G'GF=90°,
    ∴G'G2+GF2=G'F2,
    ∴DG2+GF2=GE2,

    【点评】本题考查翻折变换、相似三角形证明、全等三角形的判定和性质、勾股定理矩形的性质等知识,解(3)题的关键是灵活运用旋转得全等三角形,构造Rt△G′GF.
    26.(12分)已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点 C.
    (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;
    (2)点F是线段AD上一个动点.
    ①如图1,设k=,当k为何值时,CF=AD?
    ②如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与△ABC相似?若相似,求出点F的坐标;若不相似,请说明理由.

    【考点】HF:二次函数综合题.菁优网版权所有
    【分析】(1)将A、B两点的坐标代入二次函数解析式,用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式,可求得顶点D(﹣1,4);
    (2)①由A、C、D三点的坐标求出AC=3,DC=,AD=2,可得△ACD为直角三角形,若CF=,则点F为AD的中点,可求出k的值;
    ②由条件可判断∠DAC=∠OBC,则∠OAF=∠ACB,若以A,F,O为顶点的三角形与△ABC相似,可分两种情况考虑:当∠AOF=∠ABC或∠AOF=∠CAB=45°时,可分别求出点F的坐标.
    【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3过点A(﹣3,0),B(1,0),
    ∴,解得:,
    ∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3;
    ∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4
    ∴顶点D的坐标为(﹣1,4);
    (2)①∵在Rt△AOC中,OA=3,OC=3,
    ∴AC2=OA2+OC2=18,
    ∵D(﹣1,4),C(0,3),A(﹣3,0),
    ∴CD2=12+12=2
    ∴AD2=22+42=20
    ∴AC2+CD2=AD2
    ∴△ACD为直角三角形,且∠ACD=90°.
    ∵,
    ∴F为AD的中点,
    ∴,
    ∴.
    ②在Rt△ACD中,tan,
    在Rt△OBC中,tan,
    ∴∠ACD=∠OCB,
    ∵OA=OC,
    ∴∠OAC=∠OCA=45°,
    ∴∠FAO=∠ACB,
    若以A,F,O为顶点的三角形与△ABC相似,则可分两种情况考虑:
    当∠AOF=∠ABC时,△AOF∽△CBA,
    ∴OF∥BC,
    设直线BC的解析式为y=kx+b,
    ∴,解得:,
    ∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3,
    ∴直线OF的解析式为y=﹣3x,
    设直线AD的解析式为y=mx+n,
    ∴,解得:,
    ∴直线AD的解析式为y=2x+6,
    ∴,解得:,
    ∴F(﹣).
    当∠AOF=∠CAB=45°时,△AOF∽△CAB,
    ∵∠CAB=45°,
    ∴OF⊥AC,
    ∴直线OF的解析式为y=﹣x,
    ∴,解得:,
    ∴F(﹣2,2).
    综合以上可得F点的坐标为(﹣)或(﹣2,2).
    【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.
    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布
    日期:2019/8/5 11:13:31;用户:学无止境;邮箱:419793282@qq.com;学号:7910509
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