2020年湖北省荆州市中考数学试卷
展开
绝密★启用前
2020年湖北省荆州市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
|
|
|
|
| 一、 选择题（共10题） |
1. 有理数的相反数是．
A． B． C． D．
2. 下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是．
A．
B．
C．
D．
3. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是．
A．
B．
C．
D．
4. 将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若，则的度数是．
A． B． C． D．
5. 八年级学生去距学校的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为，则可列方程为．
A． B． C． D．
6. 若为实数，在“□”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是．
A． B． C． D．
7. 如图，点E在菱形的边上，点在边的延长线上，，连接，对于下列条件：① ；② ；③ ；④ ．只选取其中一条添加，不能确定的是．
A．① B．② C．③ D．④
8. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为．为的中点，，则点的坐标为．
A． B． C． D．
9. 定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例．若（为实数）是关于的方程，则它的根的情况为．
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
10. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，点，，均在网格交点上，是的外接圆，则的值为．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共6题） |
11. 若，，则，，的大小关系为________．（用“”号连接）
12. 若单项式与是同类项，则的值为________．
13. 已知：，求作：的外接圆．作法：① 分别作线段，的垂直平分线和，它们和相交于点；② 以点为圆心，的长为半径画圆．如图，即为所求，以上作图用到的数学依据有：________．（只需写一条）
14. 若标有，，三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘前需先摘），直到摘完，则最后一只摘到的概率是________．
15. “健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的，其中，与间另有步道相连，地在的正中位置，地与地相距．若，，小张某天沿路线跑一圈，则他跑了________．
16. 我们约定：（，，）为函数的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为( ，， )的函数图象与轴有两个整交点（为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为________．
| 三、 解答题（共8题） |
17. 先化简，再求值：，其中是不等式组的最小整数解．
18. 阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出的值．
【问题】解方程：．
【提示】可以用“换元法”解方程．
19. 如图，将绕点顺时针旋转°得到，的对应点恰好落在的延长线上，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求，两点旋转所经过的路径长之和．
20. 月日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了名同学的成绩（满分为分），收集数据为：七年级，，，，，，，，，；八年级，，，，，，，，，．
整理数据：
分数人数年级 | |||||
七年级 | |||||
八年级 |
分析数据：
| 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
七年级 | ||||
八年级 |
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中，，，的值；
（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；
（3）该校七、八年级共有人，本次竞赛成绩不低于分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？
21. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质共探究过程如下：
（1）绘制函数图象，如图．
列表：下表是与的几组对应值，其中＝________；
… | … | |||||||||
… | … |
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
（2）通过观察图，写出该函数的两条性质；
① ________；
② ________；
（3）① 观察发现：如图2．若直线交函数的图象于，两点，连接，过点作交轴于，则＝_______；
② 探究思考：将① 中“直线＝”改为“直线”，其他条件不变，则＝________；
③ 类比猜想：若直线交函数的图象于两点，连接，过点作交轴于，则＝_______．
22. 如图，在矩形中，，点是边上的一点，将沿着折叠，点刚好落在边上点处；点在上，将沿着AF折叠，点刚好落在上点处，此时，
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）求的值．
23. 为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共吨，乙厂的生产量是甲厂的倍少吨．这批防疫物资将运地吨，地吨，运费如下表（单位：元/吨）．
目的地生产厂 | ||
甲 | ||
乙 |
（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
（2）设这批物资从乙厂运往地吨，全部运往，两地的总运费为元．求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每吨运费均降低元（且为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过元，求的最小值．
24. 如图，在平面直角坐标系中，，，以为圆心，的长为半径的半圆交延长线于，连接，，过作分别交和半圆于，，连接，．
（1）求证：是半圆的切线；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由；
（3）如图，若抛物线经过点且顶点为．
① 求此抛物线的解析式；
② 点是此抛物线对称轴上的一个动点，以，，为顶点的三角形与相似，问抛物线上是否存在一点．使？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】A
【解析】有理数的相反数是：．
故选：
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相关定义是解题关键．
2. 【答案】A
【解析】选项的俯视图是三角形，选项、、的俯视图均为圆．
故选：
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3. 【答案】C
【解析】一次函数中，令，则；令，则，
一次函数的图象经过点和
一次函数的图象经过一、二、三象限．
故选：
【点评】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
4. 【答案】D
【解析】如图所示：
将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，
，，
，
，
，
．
故选：
【点评】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．
5. 【答案】C
【解析】设骑车学生的速度为，则乘车学生的速度为，
依题意，得：．
故选：
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6. 【答案】C
【解析】．，故本选项不合题意；
．，故本选项不合题意；
．）与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；
．，故本选项不合题意．
故选：
【点评】本题主要考查了实数的运算，熟记平方差公式是解答本题的关键． ．
7. 【答案】C
【解析】四边形是菱形，
，，
，
① 添加，
，
② 添加，，
，
，
③ 添加，
不能确定；
④ 添加，
．
故选：
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．
8. 【答案】B
【解析】如图，
∵ 的斜边在第一象限，并与轴的正半轴夹角为°．
∴ ，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
则点的坐标为：．
故选：
【点评】本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．
9. 【答案】C
【解析】（为实数）是关于的方程，
，
整理得，
∵
，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
故选：
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
10. 【答案】B
【解析】如图，
作直径，连接，
由勾股定理得，，
在，
由圆周角定理得，，
．
故选：
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．
二、 填空题
11. 【答案】；
【解析】，，
．
故答案为：
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题的关键．
12. 【答案】；
【解析】根据题意得：，，
解得，
所以，
．
故答案是：
【点评】本题考查了算术平方根和同类项的定义．解题的关键是掌握算术平方根和同类项的定义，要注意同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
13. 【答案】线段的垂直平分线的性质；
【解析】点为和的垂直平分线的交点，
，
为的外接圆．
故答案为：线段的垂直平分线的性质
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
14. 【答案】；
【解析】画树状图如图：
共有个可能的结果，最后一只摘到B的结果有个，
∴ 最后一只摘到的概率为．
故答案为：
【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．
15. 【答案】；
【解析】如图，
过点作，
设，则，，
中，，
地在正中位置，
，
，
，
，
解得，
则，，，
小张某天沿路线跑一圈，他跑了．
故答案为：
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
16. 【答案】，或；
【解析】根据题意，令，将关联数( ，， )代入函数，则有，
，
∴有两个根，
由求根公式可得：
，此时为不等于的任意数，不合题意；
，当或时符合题意；或；
，当或时符合题意；或；
，此时为不等于的任意数，不合题意
所以这个函数图象上整交点的坐标为，；
令，可得，即得这个函数图象上整交点的坐标（）．
综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为，或．
故答案为：，或
【点评】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的特征，理解题意是解答此题的关键．
三、 解答题
17. 【答案】
【解析】原式=
．
解不等式组中的① ，得．
解不等式② ，得．
则．
所以的最小整数值是，
所以，原式= ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
18. 【答案】，
【解析】设，则有
原方程可化为：
【续解】解：，
或，
，，
当时，，此方程无解；
当时，，则，配方得，解得 ，
；
经检验，原方程的解为，．
【点评】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
19. 【答案】（1）答案见解析；
（2）．
【解析】（1）证明：由题意，，且，
，
是等边三角形，
，
，
．
（2）解：由题意，，，，
，两点旋转所经过的路径长之和 ．
【点评】本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20. 【答案】（1）；；；；
（2）八年级的学生成绩好；
（3）名.
【解析】（1）观察八年级分的有人，故；
七年级的中位数为，故；
八年级的平均数为：，故；
八年级中分的最多，故；
（2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；
（3）（人），
估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有人．
【点评】本题考查了中位数、众数、平均数、方差等统计基础知识，明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．
21. 【答案】（1）；补全图象如图所示：
（2）① 函数的图象关于轴对称；
② 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
（3）.
【解析】（1）当时，，而当时，，
，
故答案为：；补全图象如图所示：
（2）故答案为：① 函数的图象关于轴对称，② 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
（3）如图，
① 由，两点关于轴对称，由题意可得四边形是平行四边形，且，
② 同① 可知：，
③，
故答案为：
【点评】本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．
22. 【答案】（1）答案见解析；
（2）；
（3）
【解析】（1）证明：四边形是矩形，
，
由折叠对称知：，，
，，，
，
．
（2）解：，且和等高，
，
将沿着折叠，点刚好落在边上点处，
，
，，
．
（3）解：在中， ＝ ，
由折叠的对称性可设则，
，
，
解得：，
，
在中，．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
23. 【答案】（1）甲厂生产了吨，乙厂生产了吨；
（2）与之间的函数关系式为；使总运费最少的调运方案为：甲厂的吨物资全部运往地，乙场运往地吨，运往地吨；
（3）的最小值为．
【解析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了吨，乙厂生产了吨，则：
，解得，
即这批防疫物资甲厂生产了吨，乙厂生产了吨；
（2）由题意得：，
，解得：，
又，
随的增大而减小，
当时，可以使总运费最少，
与之间的函数关系式为；使总运费最少的调运方案为：甲厂的吨物资全部运往地，乙场运往地吨，运往地吨；
（3）由题意和（2）的解答得：，
当时，，
解得：，
而且为且整数，
的最小值为．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．
24. 【答案】（1）答案见解析；
（2）答案见解析；
（3）①；
② 存在，点的横坐标为或或或．
【解析】（1）证明：如图，与轴交于，
，，
轴，且，，
，
，是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
是直角三角形，且，
，
为半圆的直径，
是半圆的切线；
（2）解：四边形是平行四边形，理由是：
如图，
由（1）得：，
，
四边形是平行四边形；
（3）解：① 如图，
由（1）知：，是的中点，且，，
过作轴于，则，
，
，即，
，
，
设此抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴ 此抛物线的解析式为：，即；
② 存在，
过作于，设的横坐标为，
，，
，
，
和都是锐角，
，
如图，
当时，，即，
，
，
，
，
即，
解得：或；
如图，当时，，即，
∴，
同理得：，
解得：或；
综上，存在符合条件的点，点的横坐标为或或或．
【点评】本题考查二次函数综合题，平行四边形的判定和性质、锐角三角函数，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
