2020年湖北省襄阳市中考数学试卷
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2020年湖北省襄阳市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共10题） |
1. 的绝对值是．
A. B. C. D.
2. 如图，，直线分别交，于点，，平分，若，则的大小是．
A． B． C． D．
3. 下列运算一定正确的是．
A． B． C． D．
4. 下列说法正确的是．
A．“买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件
B．“汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件
C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着襄阳明天一定下雨
D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定
5. 如图所示的三视图表示的几何体是．
A．
B．
C．
D．
6. 不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是．
A．
B．
C．
D．
7. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是．
A． B． C． D．
8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：匹马恰好拉了片瓦，已知匹小马能拉片瓦，匹大马能拉片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有匹，大马有匹，则下列方程组中正确的是．
A．
B．
C．
D．
9. 已知四边形是平行四边形，，相交于点，下列结论错误的是．
A．，
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当且时，四边形是正方形
10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：
① ；② ；③ ；④ 当时，随的增大而减小．
其中正确的有．
A．个 B．个 C．个 D．个
| 二、 填空题（共6题） |
11. 函数中自变量的取值范围是________．
12. 如图，在中，，，则________．
13. 《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为或，如正北方向的卦为，从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有根和根的概率为________．
14. 汽车刹车后行驶的距离（单位：米）关于行驶时间（单位：秒）的函数关系式是．则汽车从刹车到停止所用时间为________秒．
15. 在中，若弦垂直平分半径，则弦所对的圆周角等于________．
16. 如图，矩形中，为边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，连接交于点，连接．若，，则矩形的面积为________．
| 三、 解答题（共9题） |
17. 先化简，再求值：，其中，．
18. 襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点处同时施工．要使、、三点在一条直线上，工程队从上的一点取，米，．那么点与点间的距离是多少米？
（参考数据：，，）
19. 在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样吨水可多用天，求现在每天用水量是多少吨？
20. 月日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．
信息二：第三组的成绩（单位：分）为
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是________分，抽取的名学生竞赛成绩的中位数是________分；
（3）若该校共有名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于分的约为________人．
21. 如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点．
（1）________，________；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出时的取值范围；
（3）若点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为，则的面积为________．
22. 如图，是的直径，，是上两点，且，连接，．过点作交的延长线于点．
（1）判定直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
23. 受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按元千克的价格出售．设经销商购进甲种水果千克，付款元，与之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出当和时，与之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额（元最少？
（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为元千克和元千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共千克，且销售完千克水果获得的利润不少于元，求的最小值．
24. 在中，，，点在边上，且，交边于点，连接．
（1）特例发现：如图，当时，
① 求证：；
② 推断：________；
（2）探究证明：如图，当时，请探究的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图，在（2）的条件下，当时，过点作的垂线，交于点，交于点，若，求的长．
25. 如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．
（1）直接写出点，点，点的坐标及拋物线的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】B
【解析】解：．
故选
根据绝对值的定义，可直接得出的绝对值．
本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．
2. 【答案】B
【解析】，，
，
平分交于点，
，
，
．
故选：
【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等的知识点．
3. 【答案】C
【解析】．，故本选项不合题意；
．，故本选项不合题意；
．，故本选项符合题意；
．，故本选项不合题意．
故选：
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4. 【答案】D
【解析】、“买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故本选项错误；
、汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，故本选项错误；
、襄阳气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着明天可能下雨，故本选项错误；
、若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，故本选项正确．
故选：
【点评】此题考查了随机事件、概率的意义和方差的意义，正确理解概率的意义是解题的关键．
5. 【答案】A
【解析】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．
故选：
【点评】考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体．
6. 【答案】A
【解析】由不等式组得，
该不等式组的解集在数轴表示如下：
故选：
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
7. 【答案】D
【解析】由作图可知，，，
，
，
，，
，
，
，
故，，正确．
故选：
【点评】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8. 【答案】C
【解析】根据题意可得：．
故选：
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9. 【答案】B
【解析】、根据平行四边形的性质得到，，该结论正确；
、当时，四边形还是平行四边形，该选项错误；
、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
、当且时，根据对角线相等可判断四边形是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形 是菱形，故四边形是正方形，该结论正确．
故选：
【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．
10. 【答案】B
【解析】① 抛物线开口向上，且与轴交于负半轴，
，，
，结论① 正确；
② 抛物线对称轴为直线，
，
，
抛物线经过点，
，
，即，结论② 正确；
③ 抛物线与轴由两个交点，
，即，结论③ 正确；
④ 抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，结论④ 错误．
故选：
【点评】本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
二、 填空题
11. 【答案】；
【解析】依题意，得，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12. 【答案】；
【解析】，，
，
是的外角，
，
，
．
【点评】本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．
13. 【答案】；
【解析】从八卦中任取一卦，基本事件总数，这一卦中恰有根和1根的基本事件个数，
这一卦中恰有2根和1根的概率为．
故答案为：
【点评】本题考查了概率公式、古典概率；熟练掌握概率公式是解题的关键．
14. 【答案】；
【解析】，
汽车从刹车到停下来所用时间是秒．
故答案为：
【点评】考查了二次函数最值的应用，此题主要利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．
15. 【答案】或；
【解析】如图，
弦垂直平分半径，
，
，
，
弦所对的圆周角等于或．
故答案为：或
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
16. 【答案】；
【解析】将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，
，，
矩形中，，
，，，四点共圆，
，
，
设，，
，
，
，
．
．
故答案为：
【点评】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、 解答题
17. 【答案】
【解析】原式
，
当，时，原式．
【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18. 【答案】米
【解析】、、三点在一条直线上，，，
，
在中，
，
，
，
（米．
故点与点间的距离是米．
【点评】考查直角三角形的边角关系，构造直角三角形是解决问题的关键．
19. 【答案】
【解析】设原来每天用水量是吨，则现在每天用水量是吨，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
故现在每天用水量是吨．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20. 【答案】（1）
（2）；
（3）
【解析】（1）（人，
补全频数分布直方图如图所示：
（2）第组数据出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，
抽取的人的成绩从小到大排列处在第、位的两个数的平均数为，因此中位数是，
故答案为：，；
（3）（人，
故答案为：
【点评】考查频数分布直方图的意义和制作方法，理解中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．
21. 【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】（1）把代入得：，
，
把代入得：，
解得．
故答案为，
（2）把、代入得：，
解得：，，
即一次函数的解析式是．
由图象可知：时的取值范围是．
（3）点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为，
．
故答案为：
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
22. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接，连接交于，
，
，，
是的直径，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
连接，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
23. 【答案】（1）
（2）购进甲种水果为千克，购进乙种水果千克，才能使经销商付款总金额（元）最少．
（3）
【解析】（1）当时，设，根据题意得，
解得；
；
当时，设，
根据题意得，
，解得，
．
，
（2）设购进甲种水果为千克，则购进乙种水果千克，
，
当时，．
当 时． 元，
当时，．
当时， 元，
，
当时，总费用最少，最少总费用为 元．
此时乙种水果（千克）．
购进甲种水果为千克，购进乙种水果千克，才能使经销商付款总金额（元）最少．
（3）由题意可设甲种水果为千克，乙种水果为千克
当时，即，
则甲种水果的进货价为30元千克，
，
解得，
与矛盾，故舍去；
当时，即，
则甲种水果的进货价为元千克，
，
解得，
的最小值为．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．
24. 【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
（3）
【解析】（1）① 证明：如图中，
，
，
，
，
，
，
．
② 结论：．
理由：如图1中，，，，，
，
，，，四点共圆，
，
．（可以通过两次相似证明）
故答案为：
（2）结论：．
理由：如图中，
，，，，
，
，，，四点共圆，
，
．（可以通过两次相似证明）
（3）如图3中，连接．
，
，
，
设，则，，
，，
，
，
，
，
解得或（舍弃），
，，
，
，，
，
，
．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
25. 【答案】（1），，，
（2）时，最大值为
（3）或
【解析】（1）令，得，
，
令，得，解得，，
，
把、两点代入得，
，解得，
抛物线的解析式为，
令，得，
解得，，或，
；
（2）过点作轴，与交于点，如图，
设，则，
，
，
，
当时，四边形面积最大，其最大值为，
此时的坐标为；
（3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图，
，，
，，
当在抛物线上时，有，
解得，，
当点在抛物线上时，有，
解得，或，
当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
【点评】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（2）题关键在求函数的解析式，第（3）关键是确定，点的坐标与位置．
