2020年湖南省邵阳市中考数学试卷
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2020年湖南省邵阳市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共10题） |
1. 的倒数是．
A． B． C． D．
2. 下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是．
A．
B．
C．
D．
3. 年月日，中国第颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产权的北斗导航系统全面建成．据统计：年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达亿元，较年增长．其中，亿元用科学记数法表示为．
A．元 B．元
C．元 D．元
4. 设方程的两根分别是，，则的值为．
A． B． C． D．
5. 已知正比例函数的图象过点，把正比例函数的图象平移，使它过点，则平移后的函数图象大致是．
A．
B．
C．
D．
6. 下列计算正确的是．
A．
B．
C．
D．
7. 如图，四边形是平行四边形，点，，，在同一条直线上，请添加一个条件使得，下列不正确的是．
A．
B．
C．
D．
8. 已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是．
A．
B．
C．
D．
9. 如图① 所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了② 所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为．
A． B． C． D．
10. 将一张矩形纸片按如图所示操作：
（1）将沿向内折叠，使点落在点处，
（2）将沿向内继续折叠，使点落在点处，折痕与边交于点．
若，则的大小是．
A．
B．
C．
D．
| 二、 填空题（共8题） |
11. 因式分解：________．
12. 如图，已知点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，的面积是．则的值是________．
13. 据统计：年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生万人次，全市没有一名学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）
甲：，，，，，，，，，；
乙：，，，，，，，，，．
从接受“送教上门”的时间波动大小来看，________学生每周接受送教的时间更稳定．（填“甲”或“乙” ）
14. 如图，线段，用尺规作图法按如下步骤作图．
（1）过点作的垂线，并在垂线上取；
（2）连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点；
（3）以点为圆心，为半径画弧，交于点．即点为线段的黄金分割点．则线段的长度约为________．（结果保留两位小数，参考数据：，，
15. 在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的个实数相乘都得到同样的结果，则个空格的实数之积为________．
| ||
|
16. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为步，则依题意列方程为________．
17. 如图① 是山东舰航徽的构图，采用航母度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为的弧，若该弧所在的扇形是高为的圆锥侧面展开图（如图② ），则该圆锥的母线长为________．
18. 如图，在中，，斜边，过点作，以为边作菱形，若，则的面积为________．
| 三、 解答题（共8题） |
19. 计算：．
20. 已知：，
（1）求，的值；
（2）先化简，再求值：．
21. （8分）如图，在等腰中，，点是上一点，以为直径的过点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
22. 年月日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程邵阳资水犬木塘水库，将于年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，，表示需铺设的干渠引水管道，经测量，，，所处位置的海拔，，分别为，，．若管道与水平线的夹角为，管道与水平线夹角为，求管道和的总长度（结果保留根号）．
23. “新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了了解和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图① ，图② 两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：
学校“停课不停学”网络学习时间调查表亲爱的同学，你好！为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习，请在表格中选择一项符合你学习时间的选项，在其后的空格内打“”．平均每天利用网络学习时间问卷调查表
|
（1）本次接受问卷调查的学生共有________人；
（2）请补全图① 中的条形统计图；
（3）图② 中，选项所对应的扇形圆心角为________度；
（4）若该校共有名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在选项的有多少人？
24. 年月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进、两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知台型风扇和台型风扇进价共元，台型风扇和台型风扇进价共元．
（1）求型风扇、型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共台，根据市场调查发现，型风扇销售情况比型风扇好，小丹准备多购进型风扇，但数量不超过型风扇数量的倍，购进、两种风扇的总金额不超过元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？
25. 已知：如图① ，将一块角的直角三角板与正方形的一角重合，连接，，点是的中点，连接．
（1）请你猜想与的数量关系是________．
（2）如图② ，把正方形绕着点顺时针旋转角．
①与的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长到点，使，连接）
② 求证：；
③ 若旋转角，且，求的值．（可不写过程，直接写出结果）
26. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与轴、轴的交点分别为，，，抛物线过，两点，动点从点开始以每秒个单位长度的速度沿的方向运动到达点后停止运动．动点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，到达点后，立即返回，向方向运动，到达点后，又立即返回，依此在线段上反复运动，当点停止运动时，点也停止运动，设运动时间为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点的坐标；
（3）当点，同时开始运动时，若以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似，求的值；
（4）过点与轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点，将线段沿过点的直线翻折，点的对称点为，求的最小值．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】C
【解析】
的倒数是．
故选：
【点评】本题考查倒数的定义，熟记倒数的定义是解题的关键．
2. 【答案】A
【解析】．球的三视图都是圆，故本选项符合题意；
．圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不符合题意；
．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
．三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不符合题意．
故选：
【点评】本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键．
3. 【答案】D
【解析】根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数，则亿．
故选：
【点评】本题主要考查利用科学记数法表示较大的数的方法，掌握科学记数法的表示方法是解答本题的关键，这里还需要注意的取值．
4. 【答案】A
【解析】由可知，其二次项系数，一次项系数，
由根与系数的关系：．
故选：
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率
5. 【答案】D
【解析】把点代入得，
解得，
正比例函数解析式为，
设正比例函数平移后函数解析式为，
把点代入得，
，
平移后函数解析式为，
故函数图象大致为：
．
故选：
【点评】本题考查了求正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，根据正比例函数求出平移后一次函数解析式是解题关键．
6. 【答案】D
【解析】．，故选项错误；
．，故选项错误；
．，故选项错误；
．，故选项正确．
故选：
【点评】本题考查了二次根式、整式和分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
7. 【答案】A
【解析】四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．若添加，则无法证明，故选项符合题意；
．若添加，运用可以证明，故选项不符合题意；
．若添加，运用可以证明，故选项不符合题意；
．若添加，运用可以证明，故选项不符合题意．
故选：
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8. 【答案】B
【解析】，，
，．
．在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
．在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；
．在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
．在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意．
故选：
【点评】本题考查了点的象限的判断，熟练判断，的正负是解题的关键．
9. 【答案】B
【解析】假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为，
综上有：，解得．
故选：
【点评】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
10. 【答案】C
【解析】折叠，且，
，即，
折叠，
，
在中，．
故选：
【点评】此题主要考查了平行线的性质，本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对应边相等，对应角相等即可解题．
二、 填空题
11. 【答案】；
【解析】．
故答案为：
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12. 【答案】；
【解析】设点的坐标为，，
由题意可知：，
，
又点在反比例函数图象上，
故有．
故答案为：
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的图形和性质是解决此类题的关键．
13. 【答案】甲；
【解析】甲的“送教上门”时间的平均数为：，
乙的“送教上门”时间的平均数为：，
甲的方差：，
乙的方差：，
因为，
所以甲的方差小，故甲学生每周接受送教的时间更稳定．
故答案为：甲
【点评】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义：方差越小，数据的密集度越高，波动幅度越小是解题的关键．
14. 【答案】；
【解析】由作图得为直角三角形，，，
，
，
．
故答案为：
【点评】本题考查了尺规作图，勾股定理等知识，根据作图步骤得到相关已知条件是解题关键．
15. 【答案】；
【解析】由题意可知，第一行三个数的乘积为：，
设第二行中间数为，则，解得，
设第三行第一个数为，则，解得，
个空格的实数之积为．
故答案为：
【点评】本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．
16. 【答案】；
【解析】矩形的宽为，且宽比长少，
矩形的长为．
依题意，得：．
故答案为：
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17. 【答案】
【解析】圆锥底面周长侧面展开后扇形的弧长，
，
在中，，
所以该圆锥的母线长为．
故答案为：
【点评】本题考查圆锥弧长公式的应用，解题的关键是牢记有关的公式．
18. 【答案】；
【解析】如图，分别过点、作、垂直，垂足为点、，
根据题意四边形为菱形，
，
又
在中，，
根据题意，，
根据平行线间的距离处处相等，
，
的面积为．
故答案为：
【点评】本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的角所对直角边是斜边一半的性质，求出，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到，最终求出直角三角形面积．
三、 解答题
19. 【答案】
【解析】原式
．
【点评】此题主要考查了根式运算，指数计算，绝对值，三角函数值等知识点，正确应用记住它们的化简规则是解题关键．
20. 【答案】（1），
（2）
【解析】（1）根据非负数得：且，
解得：，，
（2）原式，
当，，原式．
【点评】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、完全平方公式、合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键．
21. 【答案】（1）答案见解析
（2）的半径为
【解析】（1）证明：如图：连接，
，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
是的切线；
（2）解：由（1）可知是的切线，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
的半径为．
【点评】本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定和性质，证得是解答本题的关键．
22. 【答案】管道和的总长度为：
【解析】根据题意知，四边形和四边形均为矩形，
，，
，，
在中，，，，
；
在中，，，，
，
，
即管道和的总长度为：．
【点评】考查了解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得到和的长度．
23. 【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】（1）（人）．
故答案为：；
（2）如图，选的人数：（人）．
条形图补充如下：
（3）图② 中，选项所对应的扇形圆心角为：．
故答案为：；
（4）（人）．
故估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在选项的有人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
24. 【答案】（1）型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元
（2）小丹共有种进货方案，方案：购进型风扇台，型风扇台；方案：购进型风扇台，型风扇台；方案：购进型风扇台，型风扇台；方案：购进型风扇台，型风扇台
【解析】（1）设型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元，
依题意，得：，
解得：．
故：型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元；
（2）设购进型风扇台，则购进型风扇台，
依题意，得：，
解得：，
又为正整数，
可以取、、、，
小丹共有种进货方案，方案：购进型风扇台，型风扇台；方案：购进型风扇台，型风扇台；方案：购进型风扇台，型风扇台；方案：购进型风扇台，型风扇台．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25. 【答案】（1）
（2）① 成立，证明见解析
② 答案见解析
③
【解析】（1）猜想与的数量关系是，
理由：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
是的中点，
，
，
故答案为：；
（2）①仍然成立，
理由如下：延长到点，使，连接，
是中点，
，
又，
，
，，
，
又
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
；
② ，
，
，
，
，
；
③ ，
，
，
，
过点作的延长线于点，
，
是等腰直角三角形，
设，则，，
，
，
故．
【点评】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、旋转的特点、全等三角形的判定与性质及三角函数的运用．
26. 【答案】（1）
（2）
（3）当时，；时，
（4）
【解析】（1）将，代入，得，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）如答图，作于点，
，，
，．
．
，
．
．
，．
．
．
（3）若点在上运动时，，，
当，则，即不成立，舍去；
当，则，即，解得：；
若点在上运动时，．
当，则，即，
．
当时，．
，
解得（舍去）．
当时，
，无解；
当，则，即，
；
当时，，
，
解得（舍去）；
当时，，
，
解得．
综上所示：当时，；时，；
（4）如答图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
点，
点．
由得对称轴为，
点．
．
．
故的最小值为．
【点评】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及相似三角形的性质与判定，最短路径问题的计算，熟知以上知识的应用是解题的关键．
