2020年河北省中考数学试卷
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2020年河北省中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共16题） |
1. 如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有．
A．条 B．条 C．条 D．无数条
2. 墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是．
A． B． C． D．
3. 对于①，② ，从左到右的变形，表述正确的是．
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．① 是因式分解，② 是乘法运算
D．① 是乘法运算，② 是因式分解
4. 如图的两个几何体分别由个和个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是．
A．仅主视图不同
B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同
D．主视图、左视图和俯视图都相同
5. 如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是元千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则．
A． B． C． D．
6. 如图，已知，用尺规作它的角平分线．
如图，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是．
A．，均无限制
B．，的长
C．有最小限制，无限制
D．，的长
7. 若，则下列分式化简正确的是．
A． B．
C． D．
8. 在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是．
A．四边形 B．四边形
C．四边形 D．四边形
9. 若，则．
A． B． C． D．
10. 如图，将绕边的中点顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“，”和“四边形”之间作补充，下列正确的是
．
A．嘉淇推理严谨，不必补充
B．应补充：且
C．应补充：且
D．应补充：且
11. 若为正整数，则．
A． B． C． D．
12. 如图，从笔直的公路旁一点出发，向西走到达；从出发向北走也到达．下列说法错误的是．
A．从点向北偏西走到达
B．公路的走向是南偏西
C．公路的走向是北偏东
D．从点向北走后，再向西走到达
13. 已知光速为千米秒，光经过秒传播的距离用科学记数法表示为千米，则可能为．
A． B．
C．或 D．或或
14. 有一题目：“已知：点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，．如图，由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是．
A．淇淇说的对，且的另一个值是
B．淇淇说的不对，就得
C．嘉嘉求的结果不对，应得
D．两人都不对，应有个不同值
15. 如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，
甲：若，则点的个数为；
乙：若，则点的个数为；
丙：若，则点的个数为．
下列判断正确的是．
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错
C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
16. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是，，，，，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是．
A．，， B．，，
C．，， D．，，
| 二、 填空题（共3题） |
17. 已知：，则________．
18. 正六边形的一个内角是正边形一个外角的倍，则________．
19. 如图是个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是和，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）．函数的图象为曲线．
（1）若过点，则________；
（2）若过点，则它必定还过另一点，则________；
（3）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各个点，则的整数值有________个．
| 三、 解答题（共7题） |
20. 已知两个有理数：和．
（1）计算：；
（2）若再添一个负整数，且，与这三个数的平均数仍小于，求的值．
21. 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是和，如图．
如，第一次按键后，，两区分别显示：
（1）从初始状态按次后，分别求，两区显示的结果；
（2）从初始状态按次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
22. 如图，点为中点，分别延长到点，到点，使．以点为圆心，分别以，为半径在上方作两个半圆．点为小半圆上任一点（不与点，重合），连接并延长交大半圆于点，连接，．
（1）① 求证：；
② 写出，和三者间的数量关系，并说明理由．
（2）若，当最大时，直接指出与小半圆的位置关系，并求此时（答案保留）．
23. 用承重指数衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数与木板厚度（厘米）的平方成正比，当时，．
（1）求与的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为（厘米），．
① 求与的函数关系式；
②为何值时，是的倍？【注：（1）及（2）中的① 不必写的取值范围】
24. 表格中的两组对应值满足一次函数，现画出了它的图象为直线，如图．而某同学为观察，对图象的影响，将上面函数中的与交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线．
（1）求直线的解析式；
（2）请在图上画出直线（不要求列表计算），并求直线被直线和轴所截线段的长；
（3）设直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出的值．
25. 如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．
① 若都对或都错，则甲向东移动个单位，同时乙向西移动个单位；
② 若甲对乙错，则甲向东移动个单位，同时乙向东移动个单位；
③ 若甲错乙对，则甲向西移动个单位，同时乙向西移动个单位．
（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率；
（2）从如图的位置开始，若完成了次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对次，且他最终停留的位置对应的数为，试用含的代数式表示，并求该位置距离原点最近时的值；
（3）从如图的位置开始，若进行了次移动游戏后，甲与乙的位置相距个单位，直接写出的值．
26. 如图和图，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．
（1）当点在上时，求点与点的最短距离；
（2）若点在上，且将的面积分成上下两部分时，求的长；
（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；
（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】D
【解析】在平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，
所以作已知直线的垂线，可作无数条．
故选：
【点评】本题考查了垂直和垂线的定义．掌握垂线的定义是解决本题的关键．
2. 【答案】D
【解析】，
覆盖的是：．
故选：
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3. 【答案】C
【解析】①，从左到右的变形是因式分解；
②，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
所以① 是因式分解，② 是乘法运算．
故选：
【点评】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
4. 【答案】D
【解析】从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；
从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；
从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同．
故选：
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．
5. 【答案】B
【解析】由统计图可知，前三次的中位数是，
第四次又买的苹果单价是元千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，
．
故选：
【点评】本题考查条形统计图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6. 【答案】B
【解析】以为圆心画弧时，半径必须大于，分别以，为圆心，以为半径画弧时，必须大于，否则没有交点．
故选：
【点评】本题考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
7. 【答案】D
【解析】，
，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项正确．
故选：
【点评】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
8. 【答案】A
【解析】以点为位似中心，
点对应点，
设网格中每个小方格的边长为，
则，，，，，，，，，，
，
点对应点，点对应点，点对应点，
以点为位似中心，四边形的位似图形是四边形．
故选：
【点评】本题考查了位似变换、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握位似中心，找出点对应点是解题的关键．
9. 【答案】B
【解析】方程两边都乘以，得
，
，
，
．
经检验是原方程的解．
故选：
【点评】此题考查了平方差公式和解分式方程，熟练掌握平方差公式和解分式方程的方法是解本题的关键．
10. 【答案】B
【解析】，，
四边形是平行四边形．
故选：
【点评】本题考查平行四边形的判定，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11. 【答案】A
【解析】．
故选：
【点评】本题考查了幂的乘方．解题的关键掌握幂的乘方的运算法则：底数不变，指数相乘．
12. 【答案】A
【解析】如图，
由题意可得是腰长的等腰直角三角形，
则，
则，
则从点向北偏西走到达，选项错误；
则公路的走向是南偏西或北偏东，选项，正确；
则从点向北走后，再向西走到达，选项正确．
故选：
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
13. 【答案】C
【解析】当时，光传播的距离为（千米），则；当时，光传播的距离为（千米），则．因为，所以可能为或．
故选：
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
14. 【答案】A
【解析】如图所示：
还应有另一个不同的值与互补．
故．
故选：
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
15. 【答案】C
【解析】，
抛物线的顶点坐标为，
在抛物线上的点的纵坐标最大为，
甲、乙的说法正确；
若，则抛物线上纵坐标为的点有个，
丙的说法不正确．
故选：
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
16. 【答案】B
【解析】当选取的三块纸片的面积分别是，，时，围成的直角三角形的面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，围成的直角三角形的面积是；
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，围成的直角三角形的面积是，
，
所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是，，．
故选：
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
二、 填空题
17. 【答案】；
【解析】原式，
故，，
则．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
18. 【答案】；
【解析】正六边形的一个内角为：，
正六边形的一个内角是正边形一个外角的倍，
正边形一个外角为：，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数，以及正多边形的边数之间的关系，是解题关键．
19. 【答案】（1）（2）（3）；
【解析】（1）每个台阶的高和宽分别是和，
，，，，，，，，
过点，
，
故答案为：；
（2）过点，
，
反比例函数解析式为：，
当时，，
在反比例函数图象上，
，
故答案为：；
（3）若曲线过点，时，，
若曲线过点，时，，
若曲线过点，时，，
若曲线过点，时，，
曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各个点，
，
整数，，，，，，共个．
答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是本题的关键．
三、 解答题
20. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）；
（2）根据题意得，
，
，
，
，
，
是负整数，
．
【点评】此题考查了有理数的运算，解不等式．熟练掌握有理数的运算法则，解不等式的方法是解本题的关键．
21. 【答案】（1）；
（2）这个和不能为负数
【解析】（1）区显示的结果为：，区显示的结果为：；
（2）这个和不能为负数，
理由：根据题意得，；
，
这个和不能为负数．
【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，整式的加减，正确的理解题意是解题的关键．
22. 【答案】（1）① 答案见解析②
（2）与小半圆相切；
【解析】（1）① 在和中，
，
；
② ，
，
，
；
（2）当最大时，与小半圆相切，
如图，
，
，
与小半圆相切，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质，扇形的面积计算，关键在于掌握各个定理，灵活运用这些性质解题．
23. 【答案】（1）
（2）①②
【解析】（1）设．
当时，，
，解得，
与的函数关系式为；
（2）① 设薄板的厚度为厘米，则厚板的厚度为厘米，
，
即与的函数关系式为；
② 是的倍，
，
整理得，，
解得，，（不合题意舍去），
故为时，是的倍．
【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，求出与的函数关系式是解题的关键．
24. 【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】（1）直线中，当时，；当时，，
，解得，
直线的解析式为；
直线的解析式为；
（2）如图，
解，得，
两直线的交点为，
直线与轴的交点为，
直线被直线和轴所截线段的长为：；
（3）把代入得，，解得；
把代入得，，解得；
当时，，
当时，，
当时，，
直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则的值为或或．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，两直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，分类讨论是解题的关键．
25. 【答案】（1）
（2）；
（3）或
【解析】（1）经过第一次移动游戏，甲的位置停留在正半轴上，
必须甲对乙错，
因为一共有四种情形，都对或都错，甲对乙错，甲错乙对，
．
（2）由题意．
时，离原点最近．
（3）不妨设甲连续次正确移动后两人相距个单位，
则有，解得或．
如果次中，有次两人都对都错，则有，解得或，
如果次中，有次两人都对都错，则有，解得或，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
【点评】本题考查概率公式，数轴，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26. 【答案】（1）
（2）
（3）当时，；当时，
（4）秒
【解析】（1）如图中，过点作于．
，，
，，
，
，．
当点在上时，点到的最短距离为．
（2）如图中，，
，
，
将的面积分成上下，
，
，
，
．
（3）当时，如图中，过点作交的延长线于．
，
，，
，
，
，
．
当时，如图中，过点作于．
同法可得．
（4）由题意点的运动速度单位长度秒．
当时，设．
，，
，
，
，
，
，
，
，
时，有最大值，最大值，
，
当时，，
解得，
点被扫描到的总时长秒．
方法二：① 点在上的时候，有个单位长度都能扫描到点；
② 在阶段，当在（即）的过程，是能扫到点的，在（即）的过程是扫不到点的，但在（即点到全部的路程）能扫到点．所以扫到的时间是（秒）．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决的最值问题，属于中考压轴题．
