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2019-2020学年河北省唐山市遵化市九年级（下）期中数学试卷
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这是一份2019-2020学年河北省唐山市遵化市九年级（下）期中数学试卷，共23页。
2019-2020学年河北省唐山市遵化市九年级（下）期中数学试卷
一.选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分）
1．（3分）下列实数中最大的是（ ）
A． B．π C． D．|﹣5|
2．（3分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）日前，中央提出要加强对湖北经济社会发展的支持，支持湖北做好稳岗、促就业、保民生等工作．为助推待销的湖北农副产品走岀去，为群众增收益，央视新闻发起”谢谢你为湖北拼单”媒体公益行动．相关公益倡议海报3月27日发布后引爆网络，同时在北京、上海、广州等近400座城市86万块电子屏中播放，引发广泛反响．其中86万用科学记数法表示为（ ）
A．8.6×104 B．86×104 C．8.6×106 D．8.6×105
4．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在y轴上，则点P的坐标是（ ）
A．（8，0） B．（0，﹣8） C．（﹣8，0） D．（0，8）
5．（3分）在一次爱心义卖活动中，某中学九年级6个班捐献的义卖金额（单位：元）分别为800、820、930、860、820、850，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．820，850 B．820，930 C．930，835 D．820，835
6．（3分）观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（3分）如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a3 B．a3•a2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（ab）3＝a3b3
9．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
10．（3分）如果分式的值为0，那么x的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0
11．（3分）如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝，PB＝1，那么∠APC等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
12．（3分）下列各命题正确的是（ ）
A．若两弧相等，则两弧所对圆周角相等
B．有一组对边平行的四边形是平行四边形．
C．垂直于弦的直线必过圆心
D．有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形．
13．（3分）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（3分）对于不等式组，下列说法正确的是（ ）
A．此不等式组无解
B．此不等式组有7个整数解
C．此不等式组的负整数解是﹣3，﹣2，﹣1
D．此不等式组的解集是﹣＜x≤2
15．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
16．（3分）如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO＝4，tan∠BAO＝2，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
17．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝2
18．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为a，分别以C，F为圆心，a为半径画弧，则图中的阴影部分的面积是（ ）
A．πa2 B．πa2 C．πa2 D．πa2
19．（3分）如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且：＝1：3（表示的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
A．1：3 B．1：π C．1：4 D．2：9
20．（3分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE＝CF，②∠AEB＝75°，③AG＝2GC，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE，其中结论正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二.填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
21．（5分）（﹣﹣2）0+（）﹣1﹣2cos60°的值为 ．
22．（5分）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为 ．
23．（5分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是 ．
24．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cosC＝．则AB边的长为 ．
25．（5分）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ．
三.解答题（共1题，15分）
26．（15分）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求证：四边形AOBC是菱形．
2019-2020学年河北省唐山市遵化市九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分）
1．（3分）下列实数中最大的是（ ）
A． B．π C． D．|﹣5|
【分析】根据实数比较大小的法则可得答案．
【解答】解：|﹣5|＝5＞π＞，
则|﹣5|最大，
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（3分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：从左向右看，得到的几何体的左视图是．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．（3分）日前，中央提出要加强对湖北经济社会发展的支持，支持湖北做好稳岗、促就业、保民生等工作．为助推待销的湖北农副产品走岀去，为群众增收益，央视新闻发起”谢谢你为湖北拼单”媒体公益行动．相关公益倡议海报3月27日发布后引爆网络，同时在北京、上海、广州等近400座城市86万块电子屏中播放，引发广泛反响．其中86万用科学记数法表示为（ ）
A．8.6×104 B．86×104 C．8.6×106 D．8.6×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：86万＝860000＝8.6×105．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在y轴上，则点P的坐标是（ ）
A．（8，0） B．（0，﹣8） C．（﹣8，0） D．（0，8）
【分析】直接利用y轴上横坐标为0，进而得出m的值即可得出答案．
【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣4）在y轴上，
∴m+2＝0，
解得：m＝﹣2，
故2m﹣4＝﹣8，
故点P的坐标为：（0，﹣8）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了点的坐标，根据y轴上点的横坐标为0得出关于m的方程是解题关键．
5．（3分）在一次爱心义卖活动中，某中学九年级6个班捐献的义卖金额（单位：元）分别为800、820、930、860、820、850，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．820，850 B．820，930 C．930，835 D．820，835
【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．
【解答】解：将数据重新排列为800、820、820、850、860、930，
所以这组数据的众数为820、中位数为＝835，
故选：D．
【点评】本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．（3分）观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个图案不是轴对称图形，是中心对称图形，故此图案不符合题意；
第二个图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故此图案符合题意；
第三个图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故此图案符合题意；
第四个图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故此图案符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
7．（3分）如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
【分析】根据同类项的定义，含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同，列出等式，直接计算即可．
【解答】解：根据题意，得：2m﹣1＝m+1，
解得：m＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查同类项的定义，熟记同类项的定义是解决此题的关键．
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a3 B．a3•a2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（ab）3＝a3b3
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则判断即可．
【解答】解：A．a与2a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．a3•a2＝a5，故本选项不合题意；
C．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
D．（ab）3＝a3b3，正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂是乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
9．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线m∥n，
∴∠2+∠ABC+∠1+∠BAC＝180°，
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∠1＝40°，
∴∠2＝180°﹣30°﹣90°﹣40°＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．（3分）如果分式的值为0，那么x的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：根据题意，得
|x|﹣1＝0且x+1≠0，
解得，x＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
11．（3分）如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝，PB＝1，那么∠APC等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】先用切割线定理得出BC长，再得半径OA长，解直角三角形即可解．
【解答】解：连接OA，设圆的半径为r．
由切割弦定理可得PA2＝PB×PC，
即（）2＝1×（1+2r），
r＝1，tan∠APC＝＝＝，
∵tan30°＝，
∴∠APC＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质及切割线定理，解答此类题目的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解．
12．（3分）下列各命题正确的是（ ）
A．若两弧相等，则两弧所对圆周角相等
B．有一组对边平行的四边形是平行四边形．
C．垂直于弦的直线必过圆心
D．有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形．
【分析】根据圆周角定理、平行四边形的判定定理、垂径定理的推论判断即可．
【解答】解：A、在同圆或等圆中，若两弧相等，则两弧所对圆周角相等，本选项说法错误；
B、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，本选项说法错误；
C、垂直于弦（不是直径）的直线必过圆心，本选项说法错误；
D、根据圆周角定理可知，有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形，本选项说法正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
13．（3分）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由PB+PC＝BC和PA+PC＝BC易得PA＝PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
【解答】解：∵PB+PC＝BC，
而PA+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：D．
【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
14．（3分）对于不等式组，下列说法正确的是（ ）
A．此不等式组无解
B．此不等式组有7个整数解
C．此不等式组的负整数解是﹣3，﹣2，﹣1
D．此不等式组的解集是﹣＜x≤2
【分析】分别解两个不等式得到x≤4和x＞﹣2.5，利用大于小的小于大的取中间可确定不等式组的解集，再写出不等式组的整数解，然后对各选项进行判断．
【解答】解：，
解①得x≤4，
解②得x＞﹣2.5，
所以不等式组的解集为﹣2.5＜x≤4，
所以不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
15．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据直线的运动路径找到长度变化的几个关键点，在B点时，EF的长为0，然后逐渐增大，到A点长度最大，一直保持到C点长度不变，然后逐渐减小，直到D点长为0，据此可以得到函数的图象．
【解答】解：如图，
∵直线l从点B开始沿着线段BD匀速平移到D，
∴在B点时，EF的长为0，在A点长度最大，到D点长为0，
∴图象A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
16．（3分）如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO＝4，tan∠BAO＝2，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】本题介绍两种解法：
解法一：先根据三角函数设未知数，根据面积求B和A'的坐标，根据中点坐标公式可得C的坐标，从而计算k的值；
解法二：先根据S△ABO＝4，tan∠BAO＝2求出AO、BO的长度，再根据点C为斜边A′B的中点，求出点C的坐标，点C的横纵坐标之积即为k值．
【解答】解：解法一：∵tan∠BAO＝＝2，
∴设OA＝x，则OB＝2x，
则S△ABO＝OA•OB＝x•2x＝4，
∴x＝2，
∴B（0，4），A'（4，2），
∵点C为斜边A′B的中点，
∴C（2，3），
∴k＝2×3＝6；
解法二：设点C坐标为（x，y），作CD⊥BO′交边BO′于点D，
∵tan∠BAO＝2，
∴＝2，
∵S△ABO＝•AO•BO＝4，
∴AO＝2，BO＝4，
∵△ABO≌△A'O'B，
∴AO＝A′O′＝2，BO＝BO′＝4，
∵点C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′，
∴CD＝A′O′＝1，BD＝BO′＝2，
∴y＝BO﹣CD＝4﹣1＝3，x＝BD＝2，
∴k＝x•y＝3×2＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出合适的辅助线，求出点C的坐标，然后根据点C的横纵坐标之积等于k值求解即可．
17．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝2
【分析】由根的判别式△＝4＞0，可得出x1≠x2，选项A不符合题意；将x1代入一元二次方程x2﹣2x＝0中可得出x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2，x1•x2＝0，进而可得出选项C不符合题意，选项D符合题意．
【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴x1≠x2，选项A不符合题意；
∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，
∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
18．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为a，分别以C，F为圆心，a为半径画弧，则图中的阴影部分的面积是（ ）
A．πa2 B．πa2 C．πa2 D．πa2
【分析】本题考查了扇形面积公式，方法较新颖，注意阴影为两个圆心角为120°的扇形．
【解答】解：阴影为两个圆心角为120°的扇形，
扇形面积公式为S＝，
∴两个扇形的面积为πa2．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，解决此题的关键是熟练运用扇形面积公式．然后根据公式运算直接求出结果．
19．（3分）如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且：＝1：3（表示的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
A．1：3 B．1：π C．1：4 D．2：9
【分析】连接OD，能得∠AOB的度数，再利用弧长公式和圆的周长公式可求解．
【解答】解：连接OD交AC于M．
由折叠的知识可得：OM＝OA，∠OMA＝90°，
∴∠OAM＝30°，
∴∠AOM＝60°，
∵且：＝1：3，
∴∠AOB＝80°
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
＝2πr，
∴r：l＝2：9．
故选：D．
【点评】本题运用了弧长公式和轴对称的性质，关键是运用了转化的数学思想．
20．（3分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE＝CF，②∠AEB＝75°，③AG＝2GC，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE，其中结论正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，得到CE＝CF；由正方形的性质就可以得出∠AEB＝75°；设EC＝x，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°．
∴∠BAE+∠DAF＝30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∴CE＝CF，故①正确；
∵∠BAE＝∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF＝30°，
即∠DAF＝15°，
∴∠AEB＝75°，故②正确；
设EC＝x，由勾股定理，得
EF＝x，CG＝x，
AG＝AEsin60°＝EFsin60°＝2×CGsin60°＝x，
∴AG≠2GC，③错误；
∵CG＝x，AG＝x，
∴AC＝x
∴AB＝AC•＝x，
∴BE＝x﹣x＝x，
∴BE+DF＝（﹣1）x，
∴BE+DF≠EF，故④错误；
∵S△CEF＝x2，
S△ABE＝×BE×AB＝x×x＝x2，
∴2S△ABE═S△CEF，故⑤正确．
综上所述，正确的有3个，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
二.填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
21．（5分）（﹣﹣2）0+（）﹣1﹣2cos60°的值为 2 ．
【分析】直接利用二次根式的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝1+2﹣2×
＝1+2﹣1
＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
22．（5分）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为 2 ．
【分析】如图，OA⊥BC于H，先根据垂径定理得到BH＝CH，＝，再利用圆周角定理得到∠AOB＝60°，然后在Rt△OBH中利用含30度的直角三角形三边的关系求出BH，从而得到BC的长．
【解答】解：如图，OA⊥BC于H，则BH＝CH，＝，
∴∠AOB＝2∠CDA＝2×30°＝60°，
在Rt△OBH中，OH＝OB＝1，
∴BH＝OH＝，
∴BC＝2BH＝2．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
23．（5分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是 ．
【分析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率．
【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：
∴能让灯泡发光的概率：P＝，
故答案为：．
【点评】考查用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．
24．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cosC＝．则AB边的长为 ．
【分析】如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，再根据AB＝2AH即可解决问题．
【解答】解：如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，cosC＝，
∴＝，
∴CH＝，
∴AH＝＝＝，
在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AH＝，
故答案为．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（5分）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 144 ．
【分析】根据平行可得出三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，设其中一边为一求知数，然后计算出最大的三角形与最小的三角形的相似比，从而求面积比．
【解答】解：过M作BC平行线交AB、AC于D、E，过M作AC平行线交AB、BC于F、H，过M作AB平行线交AC、BC于I、G，
∵△1、△2的面积比为4：9，△1、△3的面积比为4：49，
∴它们边长比为2：3：7，
又∵四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，
∴DM＝BG，EM＝CH，
设DM为2x，
∴BC＝（BG+GH+CH）＝12x，
∴BC：DM＝6：1，
S△ABC：S△FDM＝36：1，
∴S△ABC＝4×36＝144．
故答案为：144．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
三.解答题（共1题，15分）
26．（15分）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求证：四边形AOBC是菱形．
【分析】（1）根据垂径定理得出＝，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数；
（2）根据等边三角形的判定得出BC＝BO＝CO，进而利用（1）中结论得出AO＝BO＝AC＝BC，即可证明结论．
【解答】（1）解：∵点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，
∴＝，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝∠BOC＝2∠ADC＝60°，
∴∠BOC的度数为60°；
（2）证明：∵＝，
∴AC＝BC，
AO＝BO，
∵∠BOC的度数为60°，BO＝CO
∴△BOC为等边三角形，
∴BC＝BO＝CO，
∴AO＝BO＝AC＝BC，
∴四边形AOBC是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理和圆周角定理等知识，根据垂径定理得出＝是解决问题的关键．
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日期：2021/4/16 9:47:19；用户：郑夏蓉；邮箱：18818427601；学号：24762951
2019-2020学年河北省唐山市遵化市九年级（下）期中数学试卷
一.选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分）
1．（3分）下列实数中最大的是（ ）
A． B．π C． D．|﹣5|
2．（3分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）日前，中央提出要加强对湖北经济社会发展的支持，支持湖北做好稳岗、促就业、保民生等工作．为助推待销的湖北农副产品走岀去，为群众增收益，央视新闻发起”谢谢你为湖北拼单”媒体公益行动．相关公益倡议海报3月27日发布后引爆网络，同时在北京、上海、广州等近400座城市86万块电子屏中播放，引发广泛反响．其中86万用科学记数法表示为（ ）
A．8.6×104 B．86×104 C．8.6×106 D．8.6×105
4．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在y轴上，则点P的坐标是（ ）
A．（8，0） B．（0，﹣8） C．（﹣8，0） D．（0，8）
5．（3分）在一次爱心义卖活动中，某中学九年级6个班捐献的义卖金额（单位：元）分别为800、820、930、860、820、850，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．820，850 B．820，930 C．930，835 D．820，835
6．（3分）观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（3分）如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a3 B．a3•a2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（ab）3＝a3b3
9．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
10．（3分）如果分式的值为0，那么x的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0
11．（3分）如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝，PB＝1，那么∠APC等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
12．（3分）下列各命题正确的是（ ）
A．若两弧相等，则两弧所对圆周角相等
B．有一组对边平行的四边形是平行四边形．
C．垂直于弦的直线必过圆心
D．有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形．
13．（3分）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（3分）对于不等式组，下列说法正确的是（ ）
A．此不等式组无解
B．此不等式组有7个整数解
C．此不等式组的负整数解是﹣3，﹣2，﹣1
D．此不等式组的解集是﹣＜x≤2
15．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
16．（3分）如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO＝4，tan∠BAO＝2，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
17．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝2
18．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为a，分别以C，F为圆心，a为半径画弧，则图中的阴影部分的面积是（ ）
A．πa2 B．πa2 C．πa2 D．πa2
19．（3分）如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且：＝1：3（表示的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
A．1：3 B．1：π C．1：4 D．2：9
20．（3分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE＝CF，②∠AEB＝75°，③AG＝2GC，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE，其中结论正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二.填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
21．（5分）（﹣﹣2）0+（）﹣1﹣2cos60°的值为 ．
22．（5分）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为 ．
23．（5分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是 ．
24．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cosC＝．则AB边的长为 ．
25．（5分）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ．
三.解答题（共1题，15分）
26．（15分）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求证：四边形AOBC是菱形．
2019-2020学年河北省唐山市遵化市九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分）
1．（3分）下列实数中最大的是（ ）
A． B．π C． D．|﹣5|
【分析】根据实数比较大小的法则可得答案．
【解答】解：|﹣5|＝5＞π＞，
则|﹣5|最大，
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（3分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：从左向右看，得到的几何体的左视图是．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．（3分）日前，中央提出要加强对湖北经济社会发展的支持，支持湖北做好稳岗、促就业、保民生等工作．为助推待销的湖北农副产品走岀去，为群众增收益，央视新闻发起”谢谢你为湖北拼单”媒体公益行动．相关公益倡议海报3月27日发布后引爆网络，同时在北京、上海、广州等近400座城市86万块电子屏中播放，引发广泛反响．其中86万用科学记数法表示为（ ）
A．8.6×104 B．86×104 C．8.6×106 D．8.6×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：86万＝860000＝8.6×105．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在y轴上，则点P的坐标是（ ）
A．（8，0） B．（0，﹣8） C．（﹣8，0） D．（0，8）
【分析】直接利用y轴上横坐标为0，进而得出m的值即可得出答案．
【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣4）在y轴上，
∴m+2＝0，
解得：m＝﹣2，
故2m﹣4＝﹣8，
故点P的坐标为：（0，﹣8）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了点的坐标，根据y轴上点的横坐标为0得出关于m的方程是解题关键．
5．（3分）在一次爱心义卖活动中，某中学九年级6个班捐献的义卖金额（单位：元）分别为800、820、930、860、820、850，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．820，850 B．820，930 C．930，835 D．820，835
【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．
【解答】解：将数据重新排列为800、820、820、850、860、930，
所以这组数据的众数为820、中位数为＝835，
故选：D．
【点评】本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．（3分）观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个图案不是轴对称图形，是中心对称图形，故此图案不符合题意；
第二个图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故此图案符合题意；
第三个图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故此图案符合题意；
第四个图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故此图案符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
7．（3分）如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
【分析】根据同类项的定义，含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同，列出等式，直接计算即可．
【解答】解：根据题意，得：2m﹣1＝m+1，
解得：m＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查同类项的定义，熟记同类项的定义是解决此题的关键．
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a3 B．a3•a2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（ab）3＝a3b3
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则判断即可．
【解答】解：A．a与2a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．a3•a2＝a5，故本选项不合题意；
C．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
D．（ab）3＝a3b3，正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂是乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
9．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线m∥n，
∴∠2+∠ABC+∠1+∠BAC＝180°，
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∠1＝40°，
∴∠2＝180°﹣30°﹣90°﹣40°＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．（3分）如果分式的值为0，那么x的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：根据题意，得
|x|﹣1＝0且x+1≠0，
解得，x＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
11．（3分）如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝，PB＝1，那么∠APC等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】先用切割线定理得出BC长，再得半径OA长，解直角三角形即可解．
【解答】解：连接OA，设圆的半径为r．
由切割弦定理可得PA2＝PB×PC，
即（）2＝1×（1+2r），
r＝1，tan∠APC＝＝＝，
∵tan30°＝，
∴∠APC＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质及切割线定理，解答此类题目的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解．
12．（3分）下列各命题正确的是（ ）
A．若两弧相等，则两弧所对圆周角相等
B．有一组对边平行的四边形是平行四边形．
C．垂直于弦的直线必过圆心
D．有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形．
【分析】根据圆周角定理、平行四边形的判定定理、垂径定理的推论判断即可．
【解答】解：A、在同圆或等圆中，若两弧相等，则两弧所对圆周角相等，本选项说法错误；
B、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，本选项说法错误；
C、垂直于弦（不是直径）的直线必过圆心，本选项说法错误；
D、根据圆周角定理可知，有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形，本选项说法正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
13．（3分）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由PB+PC＝BC和PA+PC＝BC易得PA＝PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
【解答】解：∵PB+PC＝BC，
而PA+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：D．
【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
14．（3分）对于不等式组，下列说法正确的是（ ）
A．此不等式组无解
B．此不等式组有7个整数解
C．此不等式组的负整数解是﹣3，﹣2，﹣1
D．此不等式组的解集是﹣＜x≤2
【分析】分别解两个不等式得到x≤4和x＞﹣2.5，利用大于小的小于大的取中间可确定不等式组的解集，再写出不等式组的整数解，然后对各选项进行判断．
【解答】解：，
解①得x≤4，
解②得x＞﹣2.5，
所以不等式组的解集为﹣2.5＜x≤4，
所以不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
15．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据直线的运动路径找到长度变化的几个关键点，在B点时，EF的长为0，然后逐渐增大，到A点长度最大，一直保持到C点长度不变，然后逐渐减小，直到D点长为0，据此可以得到函数的图象．
【解答】解：如图，
∵直线l从点B开始沿着线段BD匀速平移到D，
∴在B点时，EF的长为0，在A点长度最大，到D点长为0，
∴图象A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
16．（3分）如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO＝4，tan∠BAO＝2，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】本题介绍两种解法：
解法一：先根据三角函数设未知数，根据面积求B和A'的坐标，根据中点坐标公式可得C的坐标，从而计算k的值；
解法二：先根据S△ABO＝4，tan∠BAO＝2求出AO、BO的长度，再根据点C为斜边A′B的中点，求出点C的坐标，点C的横纵坐标之积即为k值．
【解答】解：解法一：∵tan∠BAO＝＝2，
∴设OA＝x，则OB＝2x，
则S△ABO＝OA•OB＝x•2x＝4，
∴x＝2，
∴B（0，4），A'（4，2），
∵点C为斜边A′B的中点，
∴C（2，3），
∴k＝2×3＝6；
解法二：设点C坐标为（x，y），作CD⊥BO′交边BO′于点D，
∵tan∠BAO＝2，
∴＝2，
∵S△ABO＝•AO•BO＝4，
∴AO＝2，BO＝4，
∵△ABO≌△A'O'B，
∴AO＝A′O′＝2，BO＝BO′＝4，
∵点C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′，
∴CD＝A′O′＝1，BD＝BO′＝2，
∴y＝BO﹣CD＝4﹣1＝3，x＝BD＝2，
∴k＝x•y＝3×2＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出合适的辅助线，求出点C的坐标，然后根据点C的横纵坐标之积等于k值求解即可．
17．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝2
【分析】由根的判别式△＝4＞0，可得出x1≠x2，选项A不符合题意；将x1代入一元二次方程x2﹣2x＝0中可得出x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2，x1•x2＝0，进而可得出选项C不符合题意，选项D符合题意．
【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴x1≠x2，选项A不符合题意；
∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，
∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
18．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为a，分别以C，F为圆心，a为半径画弧，则图中的阴影部分的面积是（ ）
A．πa2 B．πa2 C．πa2 D．πa2
【分析】本题考查了扇形面积公式，方法较新颖，注意阴影为两个圆心角为120°的扇形．
【解答】解：阴影为两个圆心角为120°的扇形，
扇形面积公式为S＝，
∴两个扇形的面积为πa2．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，解决此题的关键是熟练运用扇形面积公式．然后根据公式运算直接求出结果．
19．（3分）如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且：＝1：3（表示的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
A．1：3 B．1：π C．1：4 D．2：9
【分析】连接OD，能得∠AOB的度数，再利用弧长公式和圆的周长公式可求解．
【解答】解：连接OD交AC于M．
由折叠的知识可得：OM＝OA，∠OMA＝90°，
∴∠OAM＝30°，
∴∠AOM＝60°，
∵且：＝1：3，
∴∠AOB＝80°
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
＝2πr，
∴r：l＝2：9．
故选：D．
【点评】本题运用了弧长公式和轴对称的性质，关键是运用了转化的数学思想．
20．（3分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE＝CF，②∠AEB＝75°，③AG＝2GC，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE，其中结论正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，得到CE＝CF；由正方形的性质就可以得出∠AEB＝75°；设EC＝x，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°．
∴∠BAE+∠DAF＝30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∴CE＝CF，故①正确；
∵∠BAE＝∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF＝30°，
即∠DAF＝15°，
∴∠AEB＝75°，故②正确；
设EC＝x，由勾股定理，得
EF＝x，CG＝x，
AG＝AEsin60°＝EFsin60°＝2×CGsin60°＝x，
∴AG≠2GC，③错误；
∵CG＝x，AG＝x，
∴AC＝x
∴AB＝AC•＝x，
∴BE＝x﹣x＝x，
∴BE+DF＝（﹣1）x，
∴BE+DF≠EF，故④错误；
∵S△CEF＝x2，
S△ABE＝×BE×AB＝x×x＝x2，
∴2S△ABE═S△CEF，故⑤正确．
综上所述，正确的有3个，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
二.填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
21．（5分）（﹣﹣2）0+（）﹣1﹣2cos60°的值为 2 ．
【分析】直接利用二次根式的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝1+2﹣2×
＝1+2﹣1
＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
22．（5分）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为 2 ．
【分析】如图，OA⊥BC于H，先根据垂径定理得到BH＝CH，＝，再利用圆周角定理得到∠AOB＝60°，然后在Rt△OBH中利用含30度的直角三角形三边的关系求出BH，从而得到BC的长．
【解答】解：如图，OA⊥BC于H，则BH＝CH，＝，
∴∠AOB＝2∠CDA＝2×30°＝60°，
在Rt△OBH中，OH＝OB＝1，
∴BH＝OH＝，
∴BC＝2BH＝2．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
23．（5分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是 ．
【分析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率．
【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：
∴能让灯泡发光的概率：P＝，
故答案为：．
【点评】考查用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．
24．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cosC＝．则AB边的长为 ．
【分析】如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，再根据AB＝2AH即可解决问题．
【解答】解：如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，cosC＝，
∴＝，
∴CH＝，
∴AH＝＝＝，
在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AH＝，
故答案为．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（5分）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 144 ．
【分析】根据平行可得出三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，设其中一边为一求知数，然后计算出最大的三角形与最小的三角形的相似比，从而求面积比．
【解答】解：过M作BC平行线交AB、AC于D、E，过M作AC平行线交AB、BC于F、H，过M作AB平行线交AC、BC于I、G，
∵△1、△2的面积比为4：9，△1、△3的面积比为4：49，
∴它们边长比为2：3：7，
又∵四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，
∴DM＝BG，EM＝CH，
设DM为2x，
∴BC＝（BG+GH+CH）＝12x，
∴BC：DM＝6：1，
S△ABC：S△FDM＝36：1，
∴S△ABC＝4×36＝144．
故答案为：144．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
三.解答题（共1题，15分）
26．（15分）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求证：四边形AOBC是菱形．
【分析】（1）根据垂径定理得出＝，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数；
（2）根据等边三角形的判定得出BC＝BO＝CO，进而利用（1）中结论得出AO＝BO＝AC＝BC，即可证明结论．
【解答】（1）解：∵点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，
∴＝，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝∠BOC＝2∠ADC＝60°，
∴∠BOC的度数为60°；
（2）证明：∵＝，
∴AC＝BC，
AO＝BO，
∵∠BOC的度数为60°，BO＝CO
∴△BOC为等边三角形，
∴BC＝BO＝CO，
∴AO＝BO＝AC＝BC，
∴四边形AOBC是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理和圆周角定理等知识，根据垂径定理得出＝是解决问题的关键．
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日期：2021/4/16 9:47:19；用户：郑夏蓉；邮箱：18818427601；学号：24762951
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