2019-2020学年福建省福州十九中九年级（下）开学数学试卷
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一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项）
1．（4分）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
2．（4分）下列事件中，是随机事件的是
A．相似三角形的对应角相等
B．的半径为5，，点在外
C．买一张电影票，座位号是奇数
D．直径所对的圆周角为直角
3．（4分）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是
A． B． C． D．
4．（4分）已知关于的方程的一个根为，则实数的值为
A．1 B． C．2 D．
5．（4分）如图，在中，已知，，的面积为1，则的面积等于
A．4 B．6 C．9 D．12
6．（4分）如图，的直径垂直于弦，垂足为，，，的长为
A． B．4 C． D．8
7．（4分）在中，，，则的值为
A． B． C． D．
8．（4分）已知反比例函数的图象上有三点，，，，则、、的大小关系为
A． B． C． D．
9．（4分）如图，点在以为直径的半圆的弧上，，且，则图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
10．（4分）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤若，是一元二次方程的两个根，且，则．其中正确的有 个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）二次函数，图象的顶点坐标是 ．
12．（4分）若点与点是关于原点的对称点，则 ．
13．（4分）已知扇形的弧长等于，半径为，则该扇形的面积等于 ．
14．（4分）如图，在中，，，，求的长为 ．
15．（4分）如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上的动点，连结，以点为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，的长为 ．
16．（4分）如图，已知双曲线和，直线与双曲线交于点，将直线向下平移与双曲线交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，，，则的值为 ．
三、解答题（本题共9小题，共86分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置）
17．（8分）（1）解方程：
（2）计算：
18．（8分）图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点和点都在正方形的顶点上．
（1）以点为位似中心，在方格图中将放大为原来的2倍，得到△；
（2）△绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的△，并求边在旋转过程中扫过的图形面积．
19．（8分）如图，直线与反比例函数的图象相交于点、，过点作轴，垂足为点，连接、．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求；
（3）利用函数图象直接写出关于的不等式的解集．
20．（8分）箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．
（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；
（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．
21．（8分）如图，在中，，为上的一点，于点，，．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
22．（10分）已知某商品的进价为每件40元．现在的售价是每件60元．每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价一元．每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出18件．如何定价才能使利润最大？
23．（12分）如图1，在中，，，，点，分别是线段，的中点，连结．
（1）线段与的位置关系是 ， ．
（2）如图2，当绕点顺时针旋转时，连结，，（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，当绕点顺时针旋转时，延长交于点，如果，求旋转角的度数．
24．（12分）如图，已知是的直径，是上一点，的平分线交圆于点，过作交的延长线于点，点是中点，，分别交，于点，点，．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：是等腰三角形；
（3）若，求的周长．
25．（12分）如图，直线与轴交于点，轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线上一点，直线与轴交于点，当时，求点的坐标；
（3）在直线下方的抛物线上是否存在点，使得，如果存在这样的点，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
2019-2020学年福建省福州十九中九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项）
1．（4分）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．
故选：．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（4分）下列事件中，是随机事件的是
A．相似三角形的对应角相等
B．的半径为5，，点在外
C．买一张电影票，座位号是奇数
D．直径所对的圆周角为直角
【解答】解：、相似三角形的对应角相等是必然事件，故此选项不合题意；
、的半径为5，，点在外是不可能事件，故此选项不合题意；
、买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，故此选项符合题意；
、直径所对的圆周角为直角是必然事件，故此选项不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了随机事件，关键是掌握随机事件和必然事件定义．
3．（4分）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是
A． B． C． D．
【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
4．（4分）已知关于的方程的一个根为，则实数的值为
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：把代入方程得：，
解得．
故选：．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义．就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
5．（4分）如图，在中，已知，，的面积为1，则的面积等于
A．4 B．6 C．9 D．12
【解答】解：，
，
，
，
，
的面积为1，
的面积等于9，
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
6．（4分）如图，的直径垂直于弦，垂足为，，，的长为
A． B．4 C． D．8
【解答】解：，
，
的直径垂直于弦，
，为等腰直角三角形，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．
7．（4分）在中，，，则的值为
A． B． C． D．
【解答】解：设为，则，
由勾股定理得，，
，
故选：．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
8．（4分）已知反比例函数的图象上有三点，，，，则、、的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解：当时，；
当时，；
当时，，
而，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
9．（4分）如图，点在以为直径的半圆的弧上，，且，则图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
【解答】解：连接，
，
，，，
，
，，
，
阴影部分的面积，
故选：．
【点评】此题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形的面积是解题关键．
10．（4分）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤若，是一元二次方程的两个根，且，则．其中正确的有 个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：①，抛物线对称轴在轴的右侧，则、异号，即．抛物线与轴交于负半轴，则．
．则此小题的结论正确；
②抛物线交轴于，，
对称轴为：，，
把代入得，，
，
，则此小题的结论错误；
③当时，，
当时，，于是，则此小题的结论错误；
④，，是等腰直角三角形．
．解得，．
设点坐标为．
则．解得．
点在轴下方．
点为．
二次函数的顶点为，过点．
设二次函数解析式为．
．解得，则此小题的结论正确；
⑤若，是一元二次方程的两个根，且，
抛物线与直线的两交点是，和，，
抛物线与交点为和，
根据二次函数的性质知，，此小题错误．
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）二次函数，图象的顶点坐标是 ．
【解答】解：，
二次函数的图象的顶点坐标是
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
12．（4分）若点与点是关于原点的对称点，则 4 ．
【解答】解：点与点是关于原点的对称点，
，，
．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
13．（4分）已知扇形的弧长等于，半径为，则该扇形的面积等于 ．
【解答】解：扇形的弧长为，半径为，
扇形的面积．
故答案为：．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
14．（4分）如图，在中，，，，求的长为 ．
【解答】解：作于，如图，
在中，，，
，，
在中，，
，
；
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形、含角的直角三角形的性质、三角函数定义等知识；熟练掌握含角的直角三角形的性质和三角函数定义是解题的关键．
15．（4分）如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上的动点，连结，以点为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，的长为 或 ．
【解答】解：正方形的边长为6，是的中点，
如图1中，当与直线相切时，设．
在中，，
，
，
，．
如图2中当与直线相切时．设切点为，连接，则，四边形是矩形．
，
，，
综上所述，的长为或
【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
16．（4分）如图，已知双曲线和，直线与双曲线交于点，将直线向下平移与双曲线交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，，，则的值为 ．
【解答】解：如图连接，，作于，轴于．
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共86分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置）
17．（8分）（1）解方程：
（2）计算：
【解答】解：（1），
，
，
．
（2）原式
．
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则以及方程的解法，本题属于基础题型．
18．（8分）图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点和点都在正方形的顶点上．
（1）以点为位似中心，在方格图中将放大为原来的2倍，得到△；
（2）△绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的△，并求边在旋转过程中扫过的图形面积．
【解答】解：（1）如图，△为所作；
（2）如图，△为所作，边在旋转过程中扫过的图形面积．
【点评】本题考查了作图位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换与扇形面积的计算．
19．（8分）如图，直线与反比例函数的图象相交于点、，过点作轴，垂足为点，连接、．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求；
（3）利用函数图象直接写出关于的不等式的解集．
【解答】解：（1）把代入，得，
，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的解析式为；
（2）由，解得，或，
，
；
（3）由图象可知，当或时，直线落在双曲线的下方，
所以关于的不等式的解集是或．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，利用了数形结合思想．
20．（8分）箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．
（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；
（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．
【解答】解：（1）设这四瓶牛奶分别记为、、、，其中过期牛奶为，
画树状图如图所示，
由图可知，共有12种等可能结果；
（2）由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，
所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）如图，在中，，为上的一点，于点，，．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
【解答】（1）证明：
而
即得证．
（2）设，则由题意知，
，
由
可得
于是有
可解得
故当时，的长为．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例，从而利用已知线段求未知线段是基本思路．
22．（10分）已知某商品的进价为每件40元．现在的售价是每件60元．每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价一元．每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出18件．如何定价才能使利润最大？
【解答】解：设售价调整了元为涨，为降），每周利润为元，
根据题意得：当时，，
，
当时，取最大值，最大值为6250；
当时，，
，
当时，取最大值，最大值为6050．
，
当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，分及两种情况求出二次函数的最值是解题的关键．
23．（12分）如图1，在中，，，，点，分别是线段，的中点，连结．
（1）线段与的位置关系是 互相垂直 ， ．
（2）如图2，当绕点顺时针旋转时，连结，，（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，当绕点顺时针旋转时，延长交于点，如果，求旋转角的度数．
【解答】解：（1）如图1，线段与的位置关系是互相垂直；
，，，
，
点，分别是线段，的中点，
；
故答案为：互相垂直；；
（2）（1）中结论仍然成立．
证明：如图2，点，分别是线段，的中点，
，，
，
，
，
，
，
延长交于点，交于点
，
；
（3）如图3，，，
，
过点作于
，
，，
又，
，
，
，
．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，得出是解题关键．
24．（12分）如图，已知是的直径，是上一点，的平分线交圆于点，过作交的延长线于点，点是中点，，分别交，于点，点，．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：是等腰三角形；
（3）若，求的周长．
【解答】解：（1）如图1，连接，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
点在上，
是的切线；
（2）由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（3）如图2，连接，
设的半径为，则，
点是的中点，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
在中，，
设，则，根据勾股定理得，，
（舍去负值），
，
，
在中，，
在中，，
，
，
（舍或，
的周长为．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，平行线的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键．
25．（12分）如图，直线与轴交于点，轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线上一点，直线与轴交于点，当时，求点的坐标；
（3）在直线下方的抛物线上是否存在点，使得，如果存在这样的点，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，令，则，令，则，
故点、的坐标分别为：、，
抛物线过点，则，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：①；
（2）设点、而点，
设直线的表达式为：，则，解得：，
故直线的表达式为：，令，则，
点，，
过点作轴于点，
，
，
当时，则，即：，
解得：或或2或1，
故点的坐标为：或或或；
（3）存在，理由：
由（1）知，点、的坐标分别为：、，
则，
过点作轴交抛物线于点，
轴，
，而，
，，
即直线水平线夹角的正切值为，
故设直线的表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：，
故直线的表达式为：②，
联立①②并解得：或2（舍去，
当时，，
故点的坐标为：．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、平行线分线段成比例等，其中（2），用绝对值表示线段的长度是此类题目的难点．
