北师大版2020年九年级上册期中考试复习训练（二）

期中考试复习训练（二）
学校：_______班级：______姓名：________得分：_____

一．选择题（满分36分，每小题3分）
1．如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（　　）

A． B． C． D．
2．用配方法解方程2x2﹣4x+1＝0，则方程可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝ B．2（x﹣2）2＝ C．（x﹣1）2＝ D．（2x﹣1）2＝1
3．在反比例函数的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
4．下列各组线段中，成比例的是（　　）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm
5．下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（　　）
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD
6．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）

A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442 D．368（1+x）2＝442
7．如图，已知∠ACD＝∠B，若AC＝6，AD＝4，BC＝10，则CD长为（　　）

A． B．7 C．8 D．9
8．小明同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y），那么点P落在双曲线y＝上的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，曲线表示温度T（℃）与时间t（h）之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度T≤2℃时，时间t应（　　）

A．不小于h B．不大于h C．不小于h D．不大于h
10．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△AOB的值为（　　）

A．1：3 B．1：5 C．1：6 D．1：11
11．如图，矩形OABC的顶点O（0，0），B（﹣2，2），若矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2017秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（　　）

A．（﹣1，） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣2，0） D．（1，﹣3）
12．如图，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB两个内角平分线的交点，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，已知△ABC的周长为8，BC＝x，△AEF的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
二．填空题（满分24分，每小题4分）
13．若点（1，﹣2）在双曲线y＝上，则k的值为　 　．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+3＝0的一个根为1，则m＝　 　．
15．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（2）班的数学学习小组做了摸球实验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据：
摸球的次数n
50
100
300
500
800
1000
摸到红球的次数m
14
33
95
155
241
298
摸到红球的频率
0.28
0.33
0.317
0.31
0.301
0.298
请估计：当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近　 　．（精确到0.1）
16．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为　 　米．

17．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是　 　（结果保留π）．

18．在平面直角坐标系中，点O是原点，等腰Rt△ABC的顶点A，B在x轴上（点A在点B的左侧），顶点C在第一象限内，边AC，BC与双曲线y＝的交点都是三等分点．
（1）如图，若∠BAC＝90°，OA＝2，则AB的值为　 　；
（2）当∠BAC≠90°时，的值为　 　．


三．解答题
19．（6分）解方程：x2+x﹣2＝0．
20．（6分）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，求△ABC的周长．

21．（6分）某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆32m的点C处（即AC＝32m），然后沿直线AC后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5m，CD＝3m，求旗杆AB的高度．（要有证明过程，再求值）

22．（8分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1dm，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2；
（2）台风“山竹”过后，深圳一片狼藉，小明测量发现一棵被吹倾斜了的树影长为3米，与地面的夹角为45°，同时小明还发现大树树干和影子形成的三角形和△ABC相似（树干对应BC边），求原树高（结果保留根号）
23．（10分）某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．
24．（10分）生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．
（1）用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数；（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）
（2）图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为　 　；
（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，则n的最小值为　 　．

25．（10分）若一个一元二次方程的两根都是整数，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是倍根方程．例如x2﹣x﹣2＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣1，因为x1是x2的﹣2倍，所以x2﹣x﹣2＝0是倍根方程．
（1）说明x2+10x﹣75＝0是倍根方程；
（2）若存在正整数m，使得关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0是倍根方程，且关于x的一元二次方程x2﹣6x+3m＝0总有两个实数根，求m的值．
26．（12分）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．

27．（12分）已知在平面直角坐标系中，点A（m，n）在第一象限内，AB⊥OA且AB＝OA，反比例函数y＝的图象经过点A，
（1）当点B的坐标为（4，0）时（如图），求这个反比例函数的解析式；
（2）当点B在反比例函数y＝的图象上，且在点A的右侧时（如图2），用含字母m，n的代数式表示点B的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，求的值．


参考答案
一．选择题
1．解：正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形．

故选：A．
2．解：∵2x2﹣4x+1＝0，
∴2x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣2x＝﹣，
x2﹣2x+1＝1﹣，
∴（x﹣1）2＝．
故选：C．
3．解：∵反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，
∴1﹣k＞0，
解得k＜1．
故选：A．
4．解：A、∵2×5≠3×4，∴选项A不成比例；
B、∵2×8≠4×6，∴选项B不成比例；
C、∵3×12≠6×8，∴选项C不成比例；
D、∵1×15＝3×5，∴选项D成比例．
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；
故选：D．
6．解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，
故选：B．
7．解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵AC＝6，AD＝4，BC＝10，
∴，
∴CD＝．
故选：A．
8．解：列表得：
甲
乙
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
6
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
∴一共有36种结果，每种结果出现的可能性是相同的，点P落在双曲线y＝上的有（1，6），（2，3），（3，2），（6，1），
∴点P落在双曲线y＝上的概率为：＝．
故选：C．
9．解：设函数解析式为T＝，
∵经过点（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴函数解析式为T＝，
当T≤2℃时，t≥h，
故选：C．
10．解：∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，
∴DO＝BO，
又∵E为OD的中点，
∴DE＝DB，
∴DE：EB＝1：3，
又∵AB∥DC，
∴△DFE∽△BAE，
∴＝（）2＝，
∴S△DEF＝S△BAE，
∵＝，
∴S△AOB＝S△BAE，
∴S△DEF：S△AOB＝＝1：6，
故选：C．

11．解：∵矩形OABC的顶点O（0，0），B（﹣2，2），
∴D（﹣1，），
过D作DE⊥x轴于点E，则OE＝1，DE＝，

∴，
tan∠DOE＝，
∴∠DOE＝60°，
∵60°×2017÷360°＝336，
∵，
又∵旋转336周时，D点刚好回到起始位置，
∴第2017秒时，矩形绕点O逆时针旋转336周，此时D点在x轴负半轴上，
∴此时D点的坐标为（﹣2，0），
故选：C．
12．解：∵点O是△ABC的内心，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠CBO，∠FOC＝∠BCO，
∴∠ABO＝∠EOB，∠ACO＝∠FOC，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴△AEF的周长y＝AE+EF+AF＝AE+OE+OF+AF＝AB+AC，
∵△ABC的周长为8，BC＝x，
∴AB+AC＝8﹣x，
∴y＝8﹣x，
∵AB+AC＞BC，
∴y＞x，
∴8﹣x＞x，
∴0＜x＜4，
即y与x的函数关系式为y＝8﹣x（x＜4），
故选：A．
二．填空题
13．解：将点（1，﹣2）代入y＝得，﹣2＝，
解得：k＝﹣2，
故答案为﹣2．
14．解：把x＝1代入方程得：1﹣（m+2）+3＝0，
去括号得：1﹣m﹣2+3＝0，
解得：m＝2，
故答案为：2
15．解：当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近0.3，
故答案为：0.3；
16．解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴，
∴＝，
∴AC＝7（米），
故答案为：7．
17．解：由三视图可知该几何体是圆柱体，其底面半径是4÷2＝2，高是6，
圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，
且底面周长为：2π×2＝4π，
∴这个圆柱的侧面积是4π×6＝24π．
故答案为：24π．
18．解：（1）设点AB为x，则AC＝x，
∴点C（2，x），点B（x+2，0）
∵点D，点E是三等分点，
∴点D（2，x），点E（2+x，），
∵点D，点E在双曲线y＝的图象上，
∴2×x＝×（2+x）
∴x＝3，
∴AB＝3，
故答案为：3；
（2）如图，过点C作CF⊥AB，DH⊥AB，EN⊥AB，

∴DH∥CF∥EN，
设点C坐标（x，y）
∴CF＝y，OF＝x，
∴AF＝x﹣OA，BF＝OB﹣x，
∵AC＝BC，CF⊥AB，
∴AF＝BF，
∴x﹣OA＝OB﹣x，
∴x＝，
∴AF＝BF＝，
∵DH∥CF，
∴△ADH∽△ACF，
∴，且AD＝AC
∴DH＝CF＝，AH＝AF＝×（）＝，
∴点D（OA+，y）
∵CF∥EN，
∴△ENB∽△CFB，
∴，且BE＝BC，
∴BN＝BF＝×，EN＝CF＝y，
∴点E（OB﹣×，y）
∵点D，点E在双曲线y＝的图象上，
∴（OA+）×y＝y×（OB﹣×）
∴7OA＝OB，
∴，
故答案为：．
三．解答题
19．解：分解因式得：（x﹣1）（x+2）＝0，
可得x﹣1＝0或x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2．
20．解：∵在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，
∴AB＝BC，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝3，
∴BC＝AB＝＝5，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝5+5+8＝18．
21．解：∵法线l⊥AD，∠1＝∠2，
∴∠ECD＝∠BCA，
又∵∠EDC＝∠BAC＝90°，
∴△ECD∽△BCA，
∴＝，
∵DE＝1.5m，CD＝3m，AC＝32m，
∴＝，
解得：AB＝16，
答：旗杆AB的高度为16m．
22．解：（1）如图1所示，△A′B′C′即为所求．


（2）∵OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝∠DEF＝45°，BC＝＝4，
∵△DEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴EF＝2，
答：原树高为2米．
23．解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，
依题意，得：50（1+m）2＝72，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商品平均每月的价格增长率为20%．
（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，
整理，得：x2﹣300x+14400＝0，
解得：x1＝60，x2＝240．
∵商家需尽快将这批商品售出，
∴x＝60．
答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．
24．解：（1）画树状图如下：

共有4种等可能结果，
∴图③可表示不同信息的总个数为4；
（2）画树状图如下：

共有16种等可能结果，
故答案为：16；
（3）由图①得：当n＝1时，21＝2，
由图④得：当n＝2时，22×22＝16，
∴n＝3时，23×23×23＝512，
∵16＜492＜512，
∴n的最小值为3，
故答案为：3．
25．解：（1）∵x2+10x﹣75＝0，
（x﹣5）（x+15）＝0，
x1＝5，x2＝﹣15，
∵﹣15是5的﹣3倍，
∴x2+10x﹣75＝0是倍根方程；
（2）x2﹣（m+3）x+2m+2＝0
x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0
（x﹣2）（x﹣m﹣1）＝0
x1＝2，x2＝m+1，
∵x2﹣6x+3m＝0总有两个实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×3m＝36﹣12m≥0，
解得m≤3，
∵正整数m，使得关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0是倍根方程，
∴m＝1或3．
26．解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2＝AD•AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C，
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴，
∴BF2＝BE•BC，
∴BC＝＝，
∴AD＝．
（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，
∵AC∥EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴，
∴DE2＝EF•EG，
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2，
∴DE＝EF，
又∵，
∴DG＝，
∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．
27．解：（1）过A作AC⊥OB，交x轴于点C，

∵OA＝AB，∠OAB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AC＝OC＝BC＝OB＝2，
∴A（2，2），
将x＝2，y＝2代入反比例解析式得：2＝，即k＝4，
则反比例解析式为y＝；

（2）过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAE+∠BAD＝90°，
∵∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠BAD＝∠AOE，
在△AOE和△BAD中，
，
∴△AOE≌△BAD（AAS），
∴AE＝BD＝n，OE＝AD＝m，
∴DE＝AE﹣AD＝n﹣m，OE+BD＝m+n，
则B（m+n，n﹣m）；

（3）由A与B都在反比例图象上，得到mn＝（m+n）（n﹣m），
整理得：n2﹣m2＝mn，即（）2+﹣1＝0，
这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∵△＝1+4＝5，
∴＝，
∵A（m，n）在第一象限，
∴m＞0，n＞0，
则＝，
∴＝．