2020-2021学年山西省九年级（上）第一次大联考数学试卷 （解析版）

2020-2021学年山西省九年级（上）第一次大联考数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（3分）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣y＝2 B．2x2﹣x＝x C．ax2﹣3x+3＝0 D．3x2﹣2x＝3x2
2．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x＞6 C．x≥6 D．x≤6
3．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0有一个根是0，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．0
4．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）若化简后是正整数，则整数a的最小值是（　　）
A．0 B．3 C．4 D．12
6．（3分）山西省某口罩厂六月份的产量为100万只，由于市场需求量不断增大，八月份的产量提高到144万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均增长率为（　　）
A．12% B．14.4% C．20% D．40%
7．（3分）已知x＝+1，y＝﹣1，则代数式x2+2xy+y2的值为（　　）
A．28 B．14 C．4 D．2
8．（3分）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④．观察计算的结果，由发现的规律得出的值为（　　）
A．351 B．350 C．325 D．300
9．（3分）关于x的方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0，下列结论正确的是（　　）
A．当a＝0时，方程无实数根
B．当a＝﹣1时，方程只有一个实数根
C．当a＝1时，有两个不相等的实数根
D．当a≠0时，方程有两个相等的实数根
10．（3分）如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点B出发沿BC边以2cm/秒的速度向点C匀速移动，当P、Q两点中有一个点到达终点时另一个点也停止运动．运动（　　）秒后，△PBQ面积为5cm2．

A．0.5 B．1 C．5 D．1或5
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）化简﹣的结果是　 　．
12．（3分）若要说明“＝3m”是错误的，则m的值可以为　 　（写出一个m的值）．
13．（3分）若a（a≠0）是关于x的方程x2+bx+a＝0的根，则a+b＝　 　．
14．（3分）观察下列等式：
①3﹣2＝（﹣1）2，
②5﹣2＝（﹣）2，
③7﹣2＝（﹣）2，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式　 　．
15．（3分）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，那么门的高为　 　尺．（1丈＝10尺，1尺＝10寸）

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：×﹣|﹣2|+（﹣π）0．
（2）用适当的方法解方程：x（x﹣8）＝9（8﹣x）．
17．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）当x1＝5时，求另一个根x2的值．
18．（9分）若实数m，n满足|m﹣4|+＝0，请用适当的方法解关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
19．（8分）2019年女排世界杯于9月14日至29日在日本举行，中国女排以全胜的成绩卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国成立70周年献上大礼．人们对女排的喜爱，不仅是因为她们夺得了冠军，更重要的是她们在赛场上展现了祖国至上、团结协作、顽强拼搏、永不言败的精神面貌，已知2019年女排世界杯赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，求中国女排在本届世界杯比赛中连胜的场次．

20．（9分）计算：（1）（5﹣6+4）÷．
（2）（3﹣2）2﹣（3+2）2．
21．（8分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．
如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．

任务：
当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．
22．（11分）阅读下面的材料，并解决问题．
＝＝﹣1；
＝＝﹣；
…
（1）观察上式并填空：＝　 　．
（2）观察上述规律并猜想：当n是正整数时，＝　 　．（用含n的式子表示，不用说明理由）
（3）请利用（2）的结论计算：
①（+++）×（+1）＝　 　；
②（++…+）×（+1）．
23．（13分）综合与探究
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程：x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①x2+x﹣6＝0；
②2x2﹣2x+2＝0．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a、b是常数，且a＜0）是“邻根方程”，令t＝16+b2，请化简．


参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1．（3分）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣y＝2 B．2x2﹣x＝x C．ax2﹣3x+3＝0 D．3x2﹣2x＝3x2
解：A．是二元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是二元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x＞6 C．x≥6 D．x≤6
解：在实数范围内有意义，则x﹣6≥0，
故x的取值范围是：x≥6．
故选：C．
3．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0有一个根是0，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．0
解：把x＝0代入x2+2x+m﹣1＝0得m﹣1＝0，解得m＝1，
即m的值为1．
故选：A．
4．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
解：A.＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）若化简后是正整数，则整数a的最小值是（　　）
A．0 B．3 C．4 D．12
解：∵，化简后是正整数，
∴3a是一个完全平方数．
∴整数a的最小值是3．
故选：B．
6．（3分）山西省某口罩厂六月份的产量为100万只，由于市场需求量不断增大，八月份的产量提高到144万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均增长率为（　　）
A．12% B．14.4% C．20% D．40%
解：设该厂七八月份的口罩产量的月平均增长率为x，
依题意，得：100（1+x）2＝144，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
故选：C．
7．（3分）已知x＝+1，y＝﹣1，则代数式x2+2xy+y2的值为（　　）
A．28 B．14 C．4 D．2
解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝2，
∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝28，
故选：A．
8．（3分）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④．观察计算的结果，由发现的规律得出的值为（　　）
A．351 B．350 C．325 D．300
解：①＝1；
②＝3＝1+2；
③＝6＝1+2+3；
④＝10＝1+2+3+4；
∴
＝1+2+3+…+25
＝325．
故选：C．
9．（3分）关于x的方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0，下列结论正确的是（　　）
A．当a＝0时，方程无实数根
B．当a＝﹣1时，方程只有一个实数根
C．当a＝1时，有两个不相等的实数根
D．当a≠0时，方程有两个相等的实数根
解：A、当a＝0时，方程为x﹣1＝0，
解得x＝1，
故当a＝0时，方程有一个实数根；不符合题意；
B、当a＝﹣1时，关于x的方程为﹣x2+2x﹣1＝0，
∵△＝4﹣4＝0，
∴当a＝﹣1时，方程有两个相等的实数根，故不符合题意；
C、当a＝1时，关于x的方程x2﹣1＝0，
故当a＝1时，有两个不相等的实数根，符合题意；
D、当a≠0时，△＝（1﹣a）2+4a＝（1+a）2≥0，
∴当a≠0时，方程有相等的实数根，故不符合题意，
故选：C．
10．（3分）如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点B出发沿BC边以2cm/秒的速度向点C匀速移动，当P、Q两点中有一个点到达终点时另一个点也停止运动．运动（　　）秒后，△PBQ面积为5cm2．

A．0.5 B．1 C．5 D．1或5
解：设经过x秒钟，使△PBQ的面积为5cm2，
BP＝6﹣x，BQ＝2x，
∵∠B＝90°，
∴BP×BQ＝5，
∴×（6﹣x）×2x＝5，
∴x1＝1，x2＝5（舍去），
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过1秒钟，使△PBQ的面积为5cm2．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）化简﹣的结果是　　．
解：原式＝2﹣＝．
故答案为：．
12．（3分）若要说明“＝3m”是错误的，则m的值可以为　﹣2　（写出一个m的值）．
解：∵“＝3m”是错误的，
∴3m＜0，
∴m＜0，
∴m的值可以为﹣2．
故答案为：﹣2．（答案不唯一）
13．（3分）若a（a≠0）是关于x的方程x2+bx+a＝0的根，则a+b＝　﹣1　．
解：∵a（a≠0）是关于x的方程x2+bx+a＝0的根，
∴a2+ab+a＝0，
∴a（a+b+1）＝0，
∴a＝0或a+b+1＝0
∵a≠0，
∴a+b+1＝0，
∴a+b＝﹣1，
故答案为：﹣1
14．（3分）观察下列等式：
①3﹣2＝（﹣1）2，
②5﹣2＝（﹣）2，
③7﹣2＝（﹣）2，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式　13﹣2＝（﹣）2　．
解：写出第6个等式为13﹣2＝（﹣）2．
故答案为13﹣2＝（﹣）2．
15．（3分）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，那么门的高为　9.6　尺．（1丈＝10尺，1尺＝10寸）

解：设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，
根据题意得x2+（x+6.8）2＝102，
解得：x＝2.8或﹣9.6（舍去）．
则宽是6.8+2.8＝9.6（尺）．
答：门的高是9.6尺；
故答案为：9.6．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：×﹣|﹣2|+（﹣π）0．
（2）用适当的方法解方程：x（x﹣8）＝9（8﹣x）．
解：（1）原式＝3﹣2++1
＝4﹣1；

（2）x（x﹣8）＝9（8﹣x），
移项得：x（x﹣8）+9（x﹣8）＝0，
（x﹣8）（x+9）＝0，
x﹣8＝0，x+9＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣9．
17．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）当x1＝5时，求另一个根x2的值．
解：（1）根据题意得，△＝9﹣4m＞0，
解得，m＜；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝3，
∵x1＝5，
∴x2＝﹣2．
18．（9分）若实数m，n满足|m﹣4|+＝0，请用适当的方法解关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
解：∵实数m，n满足|m﹣4|+＝0，
∴，
解得：，
把代入方程x2+mx+n＝0得：x2+4x﹣2＝0，
则x2+4x＝2，
配方得：x2+4x+4＝2+4，
（x+2）2＝6，
开方得：x+2＝，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
19．（8分）2019年女排世界杯于9月14日至29日在日本举行，中国女排以全胜的成绩卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国成立70周年献上大礼．人们对女排的喜爱，不仅是因为她们夺得了冠军，更重要的是她们在赛场上展现了祖国至上、团结协作、顽强拼搏、永不言败的精神面貌，已知2019年女排世界杯赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，求中国女排在本届世界杯比赛中连胜的场次．

解：设中国女排在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，
依题意，得：x（x+1）＝66，
整理，得：x2+x﹣132＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．
答：中国女排在本届世界杯比赛中连胜11场．
20．（9分）计算：（1）（5﹣6+4）÷．
（2）（3﹣2）2﹣（3+2）2．
解：（1）原式＝5﹣6+4
＝20﹣18+8
＝2+8；
（2）原式＝（3﹣2+3+2）（3﹣2﹣3﹣2）
＝6×（﹣4）
＝﹣24．
21．（8分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．
如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．

任务：
当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．
解：假设存在，设“减半”矩形的长为x，则宽为（﹣x），
依题意，得：x（﹣x）＝×8×1，
整理，得：x2﹣x+4＝0，
解得：x1＝，x2＝．
当x＝时，﹣x＝，符合题意；
当x＝时，﹣x＝＞，不合题意，舍去．
∴长为8，宽为1的矩形存在“减半”矩形，且“减半”矩形的长为，宽为．
22．（11分）阅读下面的材料，并解决问题．
＝＝﹣1；
＝＝﹣；
…
（1）观察上式并填空：＝　2﹣　．
（2）观察上述规律并猜想：当n是正整数时，＝　﹣　．（用含n的式子表示，不用说明理由）
（3）请利用（2）的结论计算：
①（+++）×（+1）＝　4　；
②（++…+）×（+1）．
解：（1）＝＝2﹣；
（2）＝＝﹣；
（3）①（+++）×（+1）
＝（++…+）（+1）
＝（﹣1+﹣+…+﹣2）（+1）
＝（﹣1）（）
＝4；
②（++…+）×（+1）
＝（﹣1+﹣+…+﹣）×（+1）
＝（﹣1）×（+1）
＝2020，
故答案为：（1）2﹣；（2）﹣；①4；②2020．
23．（13分）综合与探究
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程：x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①x2+x﹣6＝0；
②2x2﹣2x+2＝0．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a、b是常数，且a＜0）是“邻根方程”，令t＝16+b2，请化简．
解：（1）①解方程得：（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2，
∵2≠﹣3+1，
∴x2+x﹣6＝0不是“邻根方程”；
②x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
∵＝+1，
∴2x2﹣2x+2＝0是“邻根方程”；
（2）解方程得：（x﹣m）（x+2）＝0，
∴x1＝m，x2＝﹣2，
∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝﹣2+1或m＝﹣2﹣1，
∴m＝﹣1或﹣3；
（3）解方程ax2+bx+2＝0得：
x1＝，x2＝，
∵关于x的方程ax2+bx+2＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，
∴＝+1，
∴＝﹣1，
∴＝﹣a，
等号两边平方得：b2﹣8a＝a2，
∴b2＝a2+8a，
∵t＝16+b2，
∴t＝a2+8a+16＝（a+4）2，
当a≤﹣4时，＝＝﹣（a+4）＝﹣a﹣4；
当﹣4＜a＜0时，＝＝a+4．