山西省2020-2021学年数学九年级上学期期中试卷解析

这是一份山西省2020-2021学年数学九年级上学期期中试卷解析，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．“保护生态，人人有责”．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣3C．x1＝﹣2，x2＝3D．x1＝2，x2＝﹣3
3．用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17B．（x﹣3）2＝14C．（x﹣6）2＝44D．（x﹣3）2＝1
4．将抛物线y＝2x2平移，得到抛物线y＝2（x+4）2+1，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位
5．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝36B．x（x+1）＝36
C．x（x﹣1）＝36D．x（x+1）＝36
6．已知点A（4，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3）在函数y＝﹣3（x﹣2）2+m（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y1＞y3
7．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如图2中的图案是由图1所示的基本图案以点O为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度α，依次旋转五次而组成，则旋转角α的值不可能是（ ）
A．36°B．72°C．144°D．216°
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0
B．2a+b＜0
C．关于x的方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实数根
D．9a+3b+c＜0
9．对于二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）中自变量x与函数y的部分对应值如下表：
下列结论正确的是（ ）
A．函数图象开口向下
B．当x＝5时，y＝10
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．方程x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根
10．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律．小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数e是（ ）
A．17B．18C．19D．20
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．在平面直角坐标系中，已知点A（4，﹣3）与点B关于原点对称，则点B的坐标是 ．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
13．“十三五”时期，我国新型城镇化建设坚持以人的城镇化为核心，更加注重提升人民群众的获得感和幸福感．2019年，我国城镇常住人口达到84843万人，常住人口城镇化率为超过60%．如图是2015年﹣2019年我国城镇常住人口统计图．若设2017年到2019年我国城镇常住人口的年平均增长率为x，则可列方程 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4．将△ABC以点A为中心，逆时针旋转60°，得到△AB'C'，连接BC'．则BC'＝ ．
15．“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝﹣（x﹣11）2+k，则主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为 米．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）求出抛物线y＝﹣3x2+12x﹣9与x轴，y轴的交点坐标；
（2）已知抛物线的顶点坐标为（2，﹣4），且经过点（0，﹣1），求出该抛物线的函数关系表达式．
17．（5分）如图，⊙O中，，∠A＝∠C，AB与CD交于点P．求证DP＝BP．
18．（6分）利用如图所示正方形网格，解决下列问题．
实践操作：
（1）将△ABC以点O为中心，顺时针旋转90°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2．
观察发现：
（3）△A1B1C1经过一次图形变化就可以得到△A2B2C2，这种图形变化是 （填“平移”“旋转”或“轴对称”）．
19．（10分）阅读下列材料，完成相应任务：
我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法”解一元二次方程，对于关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，还可以利用下面的方法求解．
将方程整理，得x（x+p）＝﹣q．…第1步
变形得．…第2步
得＝﹣q．…第3步
于是得﹣q，即．…第4步
当p2﹣4q≥0时，得x+．…第5步
得x1＝，x2＝．…第6步
当p2﹣4q＜0时，该方程无实数解．…第7步
学习任务：
（1）上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是 ；以第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是 ．
（2）请用材料中提供的方法，解下列方程：
①x2+10x+9＝0；
②2x2+6x﹣3＝0．
20．（10分）图1所示是某广场地面示意图，该地面是由图2所示正方形地砖铺砌而成，某综合实践小组的同学测量图2所示地砖，得到AB＝100cm，AE＝AH＝CF＝CG，且AE＜BE．于是他们抽象出如下两个数学问题：
问题（1）：若中间区域EFGH的边EF＝2EH，求AE的长度；
问题（2）：若中间区域EFGH的面积为4800cm2，求AE的长度．
请你帮助他们解决上面的两个问题．
21．（10分）新冠疫情发生以来，中国蓬勃发展的消费市场、数字经济成为经济发展新的增长点，短视频和直播带货等新零售的快速崛起，让中国互联网经济持续火爆．吕梁某乡镇农贸公司以“吕梁有好礼，金秋消费季”为主题，开展直播带货活动，销售当地的一种特色农产品．公司在直播带货销售期间发现，该农产品每天的销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）之间近似满足一次函数关系，其函数图象如图所示：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若该农产品的成本价为10元/千克，该农贸公司每天销售该特产的利润为W元，求：当销售单价x为多少元/千克时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
22．（12分）综合与实践
问题情境
从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之一，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD为BC边上的中线，E为AD上一点，将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，AD的延长线交线段BF于点P．探究线段EP，FP，BP之间的数量关系．
数学思考
（1）请你在图1中证明AP⊥BF；
特例探究
（2）如图2，当CE垂直于AD时，求证：EP+FP＝2BP；
类比再探
（3）请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
23．（12分）综合与探究
如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，4），B（1，0），与x轴交于另一点C（点C在点B的右侧），点P（m，n）是第四象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的函数解析式及点C的坐标；
（2）若△APC的面积为S，请直接写出S关于m的函数关系表达式，并求出当m的值为多少时，S的值最大？最大值为多少？
（3）是否存在点P，使得∠PCO＝∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1．“保护生态，人人有责”．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣3C．x1＝﹣2，x2＝3D．x1＝2，x2＝﹣3
【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝0，
x﹣2＝0，x+3＝0，
x1＝2，x2＝﹣3，
故选：D．
3．用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17B．（x﹣3）2＝14C．（x﹣6）2＝44D．（x﹣3）2＝1
【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
【解答】解：用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故选：A．
4．将抛物线y＝2x2平移，得到抛物线y＝2（x+4）2+1，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位
【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝2（x+4）2+1的顶点坐标为（﹣4，1），而点（0，0）先向左平移4个单位，再向上平移1个单位可得到点（﹣4，1），
所以抛物线y＝2x2先向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y＝2（x+4）2+1．
故选：A．
5．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝36B．x（x+1）＝36
C．x（x﹣1）＝36D．x（x+1）＝36
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝36，把相关数值代入即可．
【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：
x（x﹣1）＝36，
故选：A．
6．已知点A（4，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3）在函数y＝﹣3（x﹣2）2+m（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y1＞y3
【分析】对二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+m，对称轴x＝2，在对称轴两侧时，则三点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越大，由此判断y1、y2、y3的大小．
【解答】解：在二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+m，对称轴x＝2，
在图象上的三点A（4，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3），点C（﹣3，y3）离对称轴的距离最远，B（1，y2）离对称轴的距离最近，
∴y2＞y1＞y3，
故选：D．
7．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如图2中的图案是由图1所示的基本图案以点O为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度α，依次旋转五次而组成，则旋转角α的值不可能是（ ）
A．36°B．72°C．144°D．216°
【分析】根据图形间的关系可得答案．
【解答】解：根据题意，顺时针（或逆时针）旋转角度α，依次旋转五次而组成，
这个图形可以由一个基本图形绕中心依次旋转五次旋转而得到，
每次旋转的度数为360°除以5为72°，即旋转角是72°的倍数，
故旋转角α的值不可能是36°．
故选：A．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0
B．2a+b＜0
C．关于x的方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实数根
D．9a+3b+c＜0
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：A、抛物线开口向下，则a＜0，对称轴在y轴右侧，则ab异号，而c＞0，则abc＜0，故本选项不符合题意．
B、函数对称轴x＝﹣＝1，则2a+b＝0，故本选项不符合题意．
C、关于x的方程ax2+bx+c+3＝0的解就是抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3的交点，根据抛物线的性质知，它们有两个交点，则关于x的方程ax2+bx+c+3＝0有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意．
D、由抛物线的对称性知，当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，故本选项符合题意．
故选：D．
9．对于二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）中自变量x与函数y的部分对应值如下表：
下列结论正确的是（ ）
A．函数图象开口向下
B．当x＝5时，y＝10
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．方程x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根
【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由表格可得，当x＜2时，y随x的值增大而减小；当x＞2时，y随x的值增大而增大，
该函数开口向上，故选项A、C不符合题意；
由表格可得，当x＝1和点x＝3时，y＝2，故该抛物线的对称轴是直线x＝2．
∴点（﹣1，10）的对称点是（5，10），
∴点（5，10）在该函数的图象上，故选项B符合题意；
由表格可得，该抛物线开口向上，且最小值是1，则该抛物线与x轴没有交点，
∴方程x2+bx+c＝0无实数根，故选项D不符合题意．
故选：B．
10．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律．小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数e是（ ）
A．17B．18C．19D．20
【分析】根据日历表中各数之间的关系可找出a＝e﹣8，i＝e+8，根据这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，即可得出关于e的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：由图1可知：a＝e﹣8，i＝e+8，
依题意得：ai＝297，
即（e﹣8）（e+8）＝297，
整理得：e2＝361，
解得：e1＝19，e2＝﹣19（不合题意，舍去）．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．在平面直角坐标系中，已知点A（4，﹣3）与点B关于原点对称，则点B的坐标是 （﹣4，3） ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点A（4，﹣3）与点B关于原点对称，
∴点B的坐标是（﹣4，3）．
故答案为：（﹣4，3）．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 0或﹣4 ．
【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣k）2﹣4k＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣k）2﹣4k＝0，
解得k1＝0，k2＝4，
所以k的值为0或﹣4．
故答案为0或﹣4．
13．“十三五”时期，我国新型城镇化建设坚持以人的城镇化为核心，更加注重提升人民群众的获得感和幸福感．2019年，我国城镇常住人口达到84843万人，常住人口城镇化率为超过60%．如图是2015年﹣2019年我国城镇常住人口统计图．若设2017年到2019年我国城镇常住人口的年平均增长率为x，则可列方程 81347（1+x）2＝84843 ．
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的城镇常住人口×（1+增长率）2＝2019年的城镇常住人口，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设2017年到2019年我国城镇常住人口的年平均增长率为x，则可列方程81347（1+x）2＝84843，
故答案为：81347（1+x）2＝84843．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4．将△ABC以点A为中心，逆时针旋转60°，得到△AB'C'，连接BC'．则BC'＝ 2 ．
【分析】由直角三角形的性质可得BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，由旋转的性质可得AC＝AC'＝2，∠CAC'＝60°，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，
∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∵将△ABC以点A为中心，逆时针旋转60°，得到△AB'C'，
∴AC＝AC'＝2，∠CAC'＝60°，
∴∠BAC'＝90°，
∴BC'＝＝＝2，
故答案为：2．
15．“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝﹣（x﹣11）2+k，则主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为 26 米．
【分析】把A（22，0）代入y＝﹣（x﹣11）2+k求出k，根据镜面对称可得PP′＝2k，即可求得结果．
【解答】解：由二次函数的图象可知，A（22，0）在抛物线上，
把A（22，0）代入y＝﹣（x﹣11）2+k得：
0＝﹣（22﹣11）2+k，
解得：k＝13，
∴y＝﹣（x﹣11）2+13，
∵P和P′关于x轴对称，
∴PP′＝2×13＝26（米），
故答案为：26．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）求出抛物线y＝﹣3x2+12x﹣9与x轴，y轴的交点坐标；
（2）已知抛物线的顶点坐标为（2，﹣4），且经过点（0，﹣1），求出该抛物线的函数关系表达式．
【分析】（1）令x＝0，求得y＝2，得到抛物线与y轴的交点坐标，令y＝0得﹣3x2+12x﹣9＝0，可求得抛物线与x轴交点的坐标；
（2）设顶点式y＝a（x﹣2）2﹣4，然后把（0，﹣1）代入求出a即可得到抛物线解析式．
【解答】解：（1）令x＝0得y＝﹣9，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣9）．
令y＝0得：﹣3x2+12x﹣9＝0，
解得：x＝1或x＝3．
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）．
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，
把（0，﹣1）代入得﹣1＝a（0﹣2）2﹣4，解得a＝，
所以二次函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣4．
17．（5分）如图，⊙O中，，∠A＝∠C，AB与CD交于点P．求证DP＝BP．
【分析】求出＝，根据圆心角、弧、弦之间的关系求出AD＝CB，根据全等三角形的判定得出△ADP≌△CBP，根据全等三角形的性质得出即可．
【解答】证明：∵＝，
∴＝，
∴AD＝CB，
在△ADP和△CBP中，
，
∴△ADP≌△CBP（AAS），
∴DP＝BP．
18．（6分）利用如图所示正方形网格，解决下列问题．
实践操作：
（1）将△ABC以点O为中心，顺时针旋转90°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2．
观察发现：
（3）△A1B1C1经过一次图形变化就可以得到△A2B2C2，这种图形变化是 轴对称 （填“平移”“旋转”或“轴对称”）．
【分析】（1）分别作出三个顶点以点O为中心，顺时针旋转90°得到对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（3）结合图形可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
（3）如图所示，△A1B1C1与△A2B2C2关于直线y＝﹣x对称，
故答案为：轴对称．
19．（10分）阅读下列材料，完成相应任务：
我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法”解一元二次方程，对于关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，还可以利用下面的方法求解．
将方程整理，得x（x+p）＝﹣q．…第1步
变形得．…第2步
得＝﹣q．…第3步
于是得﹣q，即．…第4步
当p2﹣4q≥0时，得x+．…第5步
得x1＝，x2＝．…第6步
当p2﹣4q＜0时，该方程无实数解．…第7步
学习任务：
（1）上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是 平方差公式 ；以第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是 转化 ．
（2）请用材料中提供的方法，解下列方程：
①x2+10x+9＝0；
②2x2+6x﹣3＝0．
【分析】（1）观察阅读材料中的方法，确定出公式及数学思想即可；
（2）仿照材料中的方法求出方程的解即可．
【解答】解：（1）上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是平方差公式；以第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是转化；
故答案为：平方差公式，转化；
（2）①x2+10x+9＝0，
方程整理得：x（x+10）＝﹣9，
变形得：（x+5﹣5）（x+5+5）＝﹣9，
得：（x+5）2﹣25＝﹣9，
于是得：（x+5）2＝16，
开方得：x+5＝4或x+5＝﹣4，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣9；
②2x2+6x﹣3＝0，
方程整理得：x（x+3）＝，
变形得：（x+﹣）（x++）＝，
得：（x+）2﹣＝，
于是得：（x+）2＝，
开方得：x+＝或x+＝﹣，
解得：x1＝，x2＝．
20．（10分）图1所示是某广场地面示意图，该地面是由图2所示正方形地砖铺砌而成，某综合实践小组的同学测量图2所示地砖，得到AB＝100cm，AE＝AH＝CF＝CG，且AE＜BE．于是他们抽象出如下两个数学问题：
问题（1）：若中间区域EFGH的边EF＝2EH，求AE的长度；
问题（2）：若中间区域EFGH的面积为4800cm2，求AE的长度．
请你帮助他们解决上面的两个问题．
【分析】问题1：由正方形的性质可求BE＝＝DH＝DG＝BF＝（100﹣AE）cm，即可求解；
问题2：由面积和差关系列出方程可求解．
【解答】解：问题1：∵AB＝100cm，AE＝AH＝CF＝CG，
∴BE＝DH＝DG＝BF＝（100﹣AE）（cm），EH＝AE（cm），
∴EF＝BE（cm），
∵EF＝2EH，
∴BE＝2AE，
∴100﹣AE＝2AE，
∴AE＝（cm）；
问题2：∵AB＝100cm，AE＝AH＝CF＝CG，
∴BE＝DH＝DG＝BF＝（100﹣AE）（cm），EH＝AE（cm），
∴EF＝BE（cm），
∵EFGH的面积为4800cm2，
∴1002﹣AE2﹣BE2＝4800，
∴AE•（100﹣AE）＝4800，
又∵AE＜BE
∴AE＝40（cm）．
21．（10分）新冠疫情发生以来，中国蓬勃发展的消费市场、数字经济成为经济发展新的增长点，短视频和直播带货等新零售的快速崛起，让中国互联网经济持续火爆．吕梁某乡镇农贸公司以“吕梁有好礼，金秋消费季”为主题，开展直播带货活动，销售当地的一种特色农产品．公司在直播带货销售期间发现，该农产品每天的销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）之间近似满足一次函数关系，其函数图象如图所示：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若该农产品的成本价为10元/千克，该农贸公司每天销售该特产的利润为W元，求：当销售单价x为多少元/千克时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
【分析】（1）由图象知，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）代入解析式列方程组，解方程组即可得到结论；
（2）求得函数解析式为W＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0），
将（14，640），（30，320）代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+920；
（2）由题意得：W＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，
则对称轴是x＝28，
∵﹣20＜0，
∴当销售单价x为28元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润为6480元．
22．（12分）综合与实践
问题情境
从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之一，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD为BC边上的中线，E为AD上一点，将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，AD的延长线交线段BF于点P．探究线段EP，FP，BP之间的数量关系．
数学思考
（1）请你在图1中证明AP⊥BF；
特例探究
（2）如图2，当CE垂直于AD时，求证：EP+FP＝2BP；
类比再探
（3）请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）由旋转的性质可得∠CAE＝∠CBF，由余角的性质可求∠APB＝90°，可得结论；
（2）先证四边形CEPF是正方形，可得EP＝PF＝CE＝CF，∠EPF＝90°，由“AAS”可证△CDE≌△BDP，可得CE＝BP，可得结论；
（3）过点C作CN⊥AD于N，作CM⊥BF，交BF的延长线于M，先证四边形CNPM是正方形，可得CN＝CM＝NP＝MP，由“AAS”可证△CDN≌△BDP，可得CN＝BP，由线段的和差关系可求解．
【解答】证明：（1）如图1，∵将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，
∴△AEC≌△BFC，
∴∠CAE＝∠CBF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠EAB+∠CBA＝90°，
∴∠CBF+∠EAB+∠CBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BF；
（2）如图2，∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°＝∠CEP，
∵将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，
∴△AEC≌△BFC，∠ECF＝90°，
∴∠AEC＝∠BFC＝90°，CE＝CF，
∴四边形CEPF是正方形，
∴EP＝PF＝CE＝CF，∠EPF＝90°，
∵AD为BC边上的中线，
∴CD＝BD，
又∵∠CDE＝∠BDP，∠CED＝∠BPD＝90°，
∴△CDE≌△BDP（AAS），
∴CE＝BP，
∴EP＝PF＝BP，
∴EP+FP＝2BP；
（3）结论仍然成立，
理由如下：如图1，过点C作CN⊥AD于N，作CM⊥BF，交BF的延长线于M，
∵将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，
∴∠CAE＝∠CBF，CE＝CF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠EAB+∠CBA＝90°，
∴∠CBF+∠EAB+∠CBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
又∵CN⊥AD，CM⊥BM，
∴四边形CNPM是矩形，
∵∠CAE＝∠CBF，∠ANC＝∠BMC＝90°，AC＝BC，
∴△ACN≌△BCM（AAS），
∴CM＝CN，
∴四边形CNPM是正方形，
∴CN＝CM＝NP＝MP，
∵AD为BC边上的中线，
∴CD＝BD，
又∵∠CDN＝∠BDP，∠CND＝∠BPD＝90°，
∴△CDN≌△BDP（AAS），
∴CN＝BP，
∴CN＝BP＝NP＝MP，
∴EP+FP＝EN+NP+FP＝NP+MF+PF＝NP+MP＝2BP．
23．（12分）综合与探究
如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，4），B（1，0），与x轴交于另一点C（点C在点B的右侧），点P（m，n）是第四象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的函数解析式及点C的坐标；
（2）若△APC的面积为S，请直接写出S关于m的函数关系表达式，并求出当m的值为多少时，S的值最大？最大值为多少？
（3）是否存在点P，使得∠PCO＝∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由S＝S△PHA+S△PHC＝PH×CO，即可求解；
（3）∠PCO＝∠ACB，即射线CP和CA关于x轴对称，则设直线PC的表达式为y＝x+r，求出直线PC的表达式为y＝x﹣4，进而求解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+4①，
令y＝x2﹣x+4＝0，解得x＝1或5，
故点C的坐标为（5，0）；
（2）过点P作y轴的平行线交AC于点H，
设直线AC的表达式为y＝kx+t，则，解得，
故直线AC的表达式为y＝﹣x+4，
∵点P的坐标为（m，n），则n＝y＝m2﹣m+4，
则点H（m，﹣m+4），
则S＝S△PHA+S△PHC＝PH×CO＝×（﹣m+4﹣m2+m﹣4）×5＝﹣2m2+10m（0＜m＜5）；
（3）存在，理由：
∵∠PCO＝∠ACB，即射线CP和CA关于x轴对称，
则设直线PC的表达式为y＝x+r，
将点C的坐标代入上式得：0＝×5+r，解得r＝﹣4，
故直线PC的表达式为y＝x﹣4②，
联立①②得：x2﹣x+4＝x﹣4，解得x＝2或5（舍去5），
当x＝2时，y＝x﹣4＝﹣，
故点P的坐标为（2，﹣）．
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
10
5
2
1
2
5
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
10
5
2
1
2
5
…