2020年高考数学一轮复习教案：第8章 第8节 第1课时　直线与圆锥曲线(含解析)

第八节　圆锥曲线的综合问题

[考纲传真]　1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．

1．直线与圆锥曲线的位置关系

设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：F(x，y)＝0，

由消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.

(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l与圆锥曲线C有两个公共点；

Δ＝0⇔直线l与圆锥曲线C有一个公共点；

Δ＜0⇔直线l与圆锥曲线C有零个公共点．

(2)当a＝0，b≠0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线．

当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．

当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个．

2．圆锥曲线的弦长公式

设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝|y1－y2|＝·.

过一点的直线与圆锥曲线的位置关系

(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；

过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；

过椭圆内一点的直线与椭圆相交．

(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点．(　　)

(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点．(　　)

(3)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.(　　)

(4)若抛物线上存在关于直线l对称的两点，则l与抛物线有两个交点．(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

2．(教材改编)直线y＝k(x－1)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)

A．相交　　　B．相切　　　C．相离　　　D．不确定

A　[直线y＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．]

3．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的(　　)

A．充分不必要条件         B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

A　[直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选A.]

4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________条．

3　[结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0). ]

5．(教材改编)已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线－y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．

4　[由题意可设直线l的方程为y＝m，代入－y2＝1得x2＝4(1＋m2)，所以x1＝＝2，x2＝－2，所以|AB|＝|x1－x2|＝4≥4，即当m＝0时，|AB|有最小值4.]

第1课时　直线与圆锥曲线

1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　)

A．有且只有一条　　　　　 B．有且只有两条

C．有且只有三条   D．有且只有四条

B　[设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．]

2．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)

A．m>1         B．m>0

C．0<m<5且m≠1   D．m≥1且m≠5

D　[由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.]

3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

D　[由得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则

解得－＜k＜－1，

即k的取值范围是.]

[规律方法]　 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法

►考法1　与弦长有关的问题

【例1】　斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)

A．2　　　B.   C.　　　D.

C　[设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，

则x1＋x2＝－t，x1x2＝.

∴|AB|＝|x1－x2|＝·

＝·＝·，

当t＝0时，|AB|max＝.]

►考法2　中点弦问题

【例2】　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以运用点差法，所以直线AB的斜率为k＝，设直线方程为y＝(x－3)，

联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，

所以x1＋x2＝＝2，又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18，方程为＋＝1.]

►考法3　与弦长有关的综合问题

【例3】　如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，AB＝4.

(1)求椭圆的方程；

(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．

[解]　(1)由题意知e＝＝，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，所以椭圆方程为＋＝1.

(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．

②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则直线CD的方程为y＝－(x－1)．

将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝，

所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝.

同理，|CD|＝＝.

所以|AB|＋|CD|＝＋＝＝，

解得k＝±1，

所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

设椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.

(1)求椭圆M的方程；

(2)若直线y＝x＋1交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求△PAB的面积．

[解]　(1)由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e＝＝，

由2a＝4，＝，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝，b＝，

故椭圆M的方程为＋＝1.

(2)联立方程得4x2＋2x－3＝0，

且

所以|AB|＝|x1－x2|＝·

＝·＝.

又P到直线AB的距离为d＝，

所以S△PAB＝|AB|·d＝··＝.