2020年高考数学一轮复习教案：高考大题增分课2 三角函数与解三角形中的高考热点问题(含解析)

（二）三角函数与解三角形中的高考热点问题

 [命题解读]　从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图象与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用及变形公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．

要进行五点法作图、图象变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解．

【例1】　(2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．

(1)求f的值；

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．

[解]　(1)由sin＝，cos＝－，

得f＝－－2××，

所以f＝2.

(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x得f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin，

所以f(x)的最小正周期是π.

由正弦函数的性质得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

所以f(x)的单调递增区间是

(k∈Z)．

[规律方法]　求函数的单调区间，应先通过三角恒等变换把函数化为y＝Asinωx＋φ的形式，再把“ωx＋φ”视为一个整体，结合函数y＝sin x的单调性找到“ωx＋φ”对应的条件，通过解不等式可得单调区间.

(2019·北京海淀模拟)已知函数f(x)＝sin 2xcos－cos 2xsin.

(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程；

(2)求函数f(x)在上的最大值．

[解]　(1)f(x)＝sin 2xcos－cos 2xsin＝sin，

所以f(x)的最小正周期T＝＝π，

因为y＝sin x的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z，

令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，

f(x)的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.

(2)因为x∈，所以2x∈[0，π]，

所以2x－∈，

所以当2x－＝，即x＝时，f(x)在上的最大值为1.

从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是边角互化，结合三角恒等变换进行化简与求值．

【例2】　(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.

(1)求sin Bsin C；

(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．

[信息提取]　看到条件△ABC的面积，想到三角形面积公式；

看到(2)中6cos Bcos C＝1和(1)的结论，想到两角和的余弦公式，可求角A，进而利用面积公式和余弦定理求b＋c.

[规范解答]　(1)由题设得acsin B＝，即csin B＝.2分

由正弦定理得sin Csin B＝.

故sin Bsin C＝.  5分

(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，

即cos(B＋C)＝－.

所以B＋C＝，故A＝.  7分

由题设得bcsin A＝，a＝3，

所以bc＝8.  9分

由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，

即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，

得b＋c＝.  11分

故△ABC的周长为3＋.  12分

[易错与防范]　易错误区：(1)三角形面积公式选用不当，导致无法求解第(1)问．

(2)根据6cos Bcos C＝1和sin Bsin C＝，联想不到使用公式cos(B＋C)＝cos Bcos C－sin Bsin C．导致无法求解第(2)问．

防范措施：(1)在选用面积公式时，应保证消去sin A，故应选择公式S△ABC＝absin C或S△ABC＝acsin B．]

(2)对于两角和与差的正弦、余弦和正切公式应加强逆用的应用意识，根据公式的结构特征恰当选择公式．

[通性通法]　解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到．

(2019·莆田模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctan C＝(acos B＋bcos A)．

(1)求角C；

(2)若c＝2，求△ABC面积的最大值．

[解]　(1)∵ctan C＝(acos B＋bcos A)，

∴sin Ctan C＝(sin Acos B＋sin Bcos A)，

∴sin Ctan C＝sin(A＋B)＝sin C，

∵0＜C＜π，∴sin C≠0，

∴tan C＝，∴C＝60°.

(2)∵c＝2，C＝60°，

由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，

得12＝a2＋b2－ab≥2ab－ab，

∴ab≤12，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．

∴S△ABC＝absin C≤3.

∴△ABC面积的最大值为3.

以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．

【例3】　在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos(C＋B)cos(C－B)＝cos2A－sin Csin B

(1)求A；

(2)若a＝3，求b＋2c的最大值．

[解]　(1)cos(C＋B)cos(C－B)＝cos2A－sin Csin B＝cos2(C＋B)－sin Csin B，

则cos(C＋B)[cos(C－B)－cos(C＋B)]＝－sin Csin B，

则－cos A·2sin Csin B＝－sin Csin B，可得cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝60°.

(2)由＝＝＝2，得b＋2c＝2(sin B＋2sin C)＝2[sin B＋2sin(120°－B)]＝2(2sin B＋cos B)＝2sin(B＋φ)，其中tan φ＝，φ∈.

由B∈，得B＋φ∈，∴sin(B＋φ)的最大值为1，∴b＋2c的最大值为2.

(2019·石家庄模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且＝tan A＋tan B.

(1)求角A的大小；

(2)设D为AC边上一点，且BD＝5，DC＝3，a＝7，求c.

[解]　(1)在△ABC中，＝tan A＋tan B，

∴＝＋，

即＝，

∴＝，则tan A＝，

又0＜A＜π，∴A＝.

(2)由BD＝5，DC＝3，a＝7，

得cos∠BDC＝＝－，

又0＜∠BDC＜π，∴∠BDC＝.

又A＝，

∴△ABD为等边三角形，∴c＝5.

[大题增分专训]

1．(2019·泰安模拟)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．

[解]　(1)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2

＝2sin2x－(1－2sin xcos x)

＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1

＝sin 2x－cos 2x＋－1

＝2sin＋－1，

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．

(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，

把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin＋－1的图象，

再把得到的图象向左平移个单位，

得到y＝2sin x＋－1的图象，

即g(x)＝2sin x＋－1，

所以g＝2sin ＋－1＝.

2．(2019·合肥模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a(sin A＋sin C)＋csin C＝bsin(A＋C)．

(1)求角B；

(2)若b＝6，sin C＝，求△ABC的面积S.

[解]　(1)因为A＋C＝π－B，

所以由已知得a(sin A＋sin C)＋csin C＝bsin(π－B)，

即a(sin A＋sin C)＋csin C＝bsin B.

根据正弦定理可得a(a＋c)＋c2＝b2，

即a2＋c2－b2＝－ac，

由余弦定理得cos B＝＝－，

因为0＜B＜π，所以B＝.

(2)因为B＝，所以C为锐角，

故cos C＝＝＝，

所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin×＋cos×＝×＋×＝.

由正弦定理，得a＝＝＝.

所以△ABC的面积S＝absin C＝××6×＝.

3．(2019·石家庄模拟)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD＝∠CDE＝，∠BAE＝，DE＝3BC＝3CD＝ km.

(1)求道路BE的长度；

(2)求生活区△ABE面积的最大值．

[解]　(1)如图，连接BD，在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－

2BC·CDcos∠BCD＝，∴BD＝ km.

∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝＝，

又∠CDE＝，∴∠BDE＝.

∴在Rt△BDE中，BE＝＝＝(km)．

故道路BE的长度为km.

(2)设∠ABE＝α，∵∠BAE＝，∴∠AEB＝－α.

在△ABE中，易得＝＝＝＝，

∴AB＝sin，AE＝sin α.

∴S△ABE＝AB·AEsin＝＝，

∵0＜α＜，∴－＜2α－＜.

∴当2α－＝，即α＝时，S△ABE取得最大值，最大值为S△ABE＝＝km2，

故生活区△ABE面积的最大值为km2.