2020-2021学年四川省绵阳市安州区桑枣中学九年级（上）第一学月数学试卷 解析版

2020-2021学年四川省绵阳市安州区桑枣中学九年级（上）第一学月数学试卷
一．选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
3．（3分）将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（　　）
A．﹣4，2 B．4x，﹣2 C．﹣4x，2 D．3x2，2
4．（3分）方程x（x﹣1）＝0的根是（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1
5．（3分）抛物线y＝x2﹣4x+3可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
6．（3分）一元二次方程x2﹣5x+9＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
7．（3分）方程x2+4x﹣6＝0配方后变形为（　　）
A．（x+2）2＝10 B．（x﹣2）2＝10 C．（x+2）2＝2 D．（x﹣2）2＝2
8．（3分）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜﹣1，那么下列结论一定成立的是（　　）
A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0
9．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根是0，则m的值为（　　）
A．2或﹣2 B． C．﹣2 D．2
10．（3分）若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（　　）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0
11．（3分）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；④无论m为何值时，总有am2+bm≤a+b；⑤9a+c＞3b，其中正确的结论序号为（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④
二．填空题（每题3分，共18分）
13．（3分）若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5＝0没有实数根，则m的取值范围是　 　．
14．（3分）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣b，例如，3※2＝32﹣2＝7．若（x+1）※（x﹣2）＝5，则x的值为　 　．
15．（3分）要组织一次球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，若参赛球队的个数为x个，则可列方程为　 　．
16．（3分）已知二次函数y＝x2+（b﹣1）x+3，当x＜1时，y随x增大而减小，那么b的取值范围为　 　．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝经过平移得到抛物线y＝，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为　 　．

18．（3分）已知抛物线y＝x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是等腰直角三角形，则k的值是　 　．
三．解答题（19题10分，20-22题每题6分，23题8分，24题10分，共46分）
19．解方程：
（1）3x2﹣4x﹣1＝0；
（2）x（x﹣3）＝﹣x+3．
20．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2016年盈利1500万元，到2018年盈利2160万元，且从2016年到2018年，每年盈利的年增长率相同．
（1）求每年盈利的年增长率；
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，那么2019年该公司盈利能否达到2500万元？
21．关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得+＝16+x1x2成立？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．
22．已知二次函数y＝x2﹣mx+m﹣2：
（1）求证：不论m为任何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）当二次函数的图象经过点（3，6）时，确定m的值，并写出此二次函数与坐标轴的交点坐标．．
23．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加　 　件，每件商品盈利　 　元（用含x的代数式表示）．
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
（3）在上述条件不变、销售正常情况下，商场日盈利可以达到2200元吗？如果可以，请求出x，如果不行，请说明理由．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，2）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积；
（3）连接AC，在x轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2020-2021学年四川省绵阳市安州区桑枣中学九年级（上）第一学月数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共36分）
1．【解答】解：A、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
故选：C．
2．【解答】解：∵顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
3．【解答】解：∵﹣3x2﹣2＝﹣4x，
∴﹣3x2+4x﹣2＝0，
则3x2﹣4x+2＝0
则一次项是﹣4x，常数项是2，
故选：C．
4．【解答】解：∵x（x﹣1）＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故选：C．
5．【解答】解：抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1），
抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
所以，先向右平移2个单位，再向下平移1个单位可以由抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝x2﹣4x+3．
故选：D．
6．【解答】解：x2﹣5x+9＝0，
∵△＝25﹣4×9＝﹣11＜0，
∴该方程没有实数根．
故选：D．
7．【解答】解：方程x2+4x﹣6＝0，
移项得：x2+4x＝6，
配方得：x2+4x+4＝10，即（x+2）2＝10．
故选：A．
8．【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2，
∴a＝﹣1＜0，有最大值为0，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线y＝﹣（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，
而x1＜x2＜﹣1，
∴y1＜y2＜0．
故选：A．
9．【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0得到m2﹣4＝0，
解得：m＝±2，
∵m﹣2≠0
∴m＝﹣2，
故选：C．
10．【解答】解：由y＝（x﹣m）2+（m+1）可知为顶点（m，m+1），
由顶点在第一象限得m＞0且m+1＞0，
解得m＞0．
故选：B．
11．【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误．
故选：B．
12．【解答】解：①由图象可得c＞0，
∵x＝﹣＝1，
∴ab＜0，
∴abc＜0，故①正确；

②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②错误；

③∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故③正确；

④当x＝1时，函数有最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴am2+bm≤a+b，即无论m为何值时，总有am2+bm≤a+b．
故④正确；

⑤∵当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
即9a+c＜3b，
故⑤错误；
故选：B．

二．填空题（每题3分，共18分）
13．【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5＝0没有实数根，
∴△＝16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，且m﹣1≠0，
∴m＜．
故答案为：m＜．
14．【解答】解：∵（x+1）※（x﹣2）＝5，
∴（x+1）2﹣（x﹣2）＝5，
整理，可得：x2+x﹣2＝0，
解得x＝﹣2或1．
故答案为：﹣2或1．
15．【解答】解：若参赛球队的个数为x个，则每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
根据题意可得x（x﹣1）÷2＝21，
故答案为：x（x﹣1）÷2＝21．
16．【解答】解：∵抛物线y＝x2+（b﹣1）x+3的对称轴为直线x＝﹣，
而a＞0，
∴当x＜﹣时，y随x的增大而减小，
∵当x＜1时，y的随x的增大而减小，
∴﹣≥1，
解得 b≤﹣1．
故答案是：b≤﹣1．
17．【解答】解：如图，∵y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，
∴平移后抛物线的顶点坐标为（2，﹣2），对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，y＝×22＝2，
∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，
×（2+2）×2＝4．
故答案为：4．

18．【解答】解：∵抛物线解析式为y＝x2﹣k，
∴该抛物线的顶点（0，﹣k），
∵抛物线和x轴有两个交点，
∴4k＞0，
∴k＞0，
令y＝0，得x＝±，
又∵抛物线y＝x2﹣k与x轴的两个交点以及顶点围成的三角形是等腰直角三角形，
∴＝k．
解得 k＝1，
故答案为1．
三．解答题（19题10分，20-22题每题6分，23题8分，24题10分，共46分）
19．【解答】解：（1）∵a＝3，b﹣4，c＝﹣1，
∴△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝；

（2）∵x（x﹣3）＝﹣（x﹣3），
∴x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1．
20．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，
根据题意得：1500（1+x）2＝2160．
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每年盈利的年增长率为20%；

（2）2160（1+0.2）＝2592，2592＞2500
答：2019年该公司盈利能达到2500万元．
21．【解答】解：（1）∵方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
∴△＝4（m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＝﹣8m+8＞0，
∴m＜1；
（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1•x2＝m2﹣1．
∵+＝16+x1x2
∴，
∴4（m﹣1）2＝16+3（m2﹣1），
解得：m1＝﹣1，m2＝9，
∵m＜1，
∴m＝9舍去，
即m＝﹣1．
22．【解答】（1）证明：△＝m2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，
∴无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．

（2）解：∵二次函数的图象经过点（3，6），
∴6＝9﹣3m+m﹣2，
∴m＝，
∴y＝x2﹣x﹣．
当x＝0时，y＝﹣，即该函数图象与y轴交于点（0，﹣）．
当y＝0时，x2﹣x﹣＝2（x+1）（2x﹣3）＝0，
解得 x1＝﹣1，x2＝．
则该函数图象与x轴的交点坐标是：（﹣1，0）、（，0）．
综上所述，m的值是，该函数图象与y轴交于点（0，﹣），与x轴的交点坐标是：（﹣1，0）、（，0）．
23．【解答】解：（1）商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（50﹣x）元，
故答案为：2x、（50﹣x）；

（2）根据题意可得（30+2x）（50﹣x）＝2100，
解得：x＝15或x＝20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x＝20，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．

（3）根据题意可得（30+2x）（50﹣x）＝2200，
整理得到：x2﹣35x+350＝0．
由于△＝b2﹣4ac＝1225﹣1400＝﹣175＜0，
所以该方程无解．
故商场日盈利不可以达到2200元．
24．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0），C（0，2）分别代入y＝ax2+bx+c得，
，
解得．
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）顶点M的坐标是M（2，）．
过M作MN垂直y轴于N，
所以S△BCM＝SOBMN﹣S△OBC﹣S△MNC
＝（2+5）×﹣×5×2﹣×（﹣2）×2
＝6；
（3）如图，当以AC为腰时，在x轴上有两个点分别为P1，P2，易求AC＝，
则0P1＝1+，OP2＝﹣1，
所以P1，P2的坐标分别是P1（﹣1﹣，0），P2（﹣1，0）；
当以AC为底时，作AC的垂直平分线交x轴于P3，交y轴于F，垂足为E，
CE＝，
易证△CEF∽△COA，
所以＝，
所以＝，
CF＝，OF＝OC﹣CF＝2﹣＝，
EF＝＝＝．
又∵△CEF∽△P3OF，
所以，＝，
求得OP3＝，
则P3的坐标为P3（，0）．
AC＝PC，则P4（1，0）．
所以存在P1、P2、P3、P4四个点，它们的坐标分别是P1（﹣1﹣，0）、P2（﹣1，0）、P3（，0）、P4（1，0）．