2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第八章第四讲　直线与圆、圆与圆的位置关系


第四讲　直线与圆、圆与圆的位置关系

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
　　　　方法
位置关系　　　　
几何法
代数法
相交
d__<__r
Δ__>__0
相切
d__＝__r
Δ__＝__0
相离
d__>__r
Δ__<__0

知识点二　圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
　方法
位置关系　 　　
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
公切线
条数
外离
__d>r1＋r2__
__无解__
4
外切
__d＝r1＋r2__
一组实数解
3
相交
__|r1－r2| 两组不同的实数解
2
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
__一组实数解__
1
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
__无解__
0


1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．
两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点．
2．过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
3．过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2．
4．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式r2＝d2＋(l)2．

题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论正确的是(　CD　)
A．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交
B．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件
C．过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2
D．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条
题组二　走进教材
2．(必修2P132A5改编)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝　　．
[解析]　圆心的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝()2，
又圆心(1,2)到直线l的距离为，
∴|AB|＝2＝．
题组三　考题再现
3．(2019·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝__－2__，r＝　　．
[解析]　解法一：设直线2x－y＋3＝0为l，
则AC⊥l，又kl＝2，∴kAC＝＝－，
解得m＝－2，∴C(0，－2)，
∴r＝|AC|＝＝．
解法二：由题知点C到直线的距离为，
r＝|AC|＝，
由直线与圆C相切得＝，
解得m＝－2，∴r＝＝．
4．(2019·怀柔二模)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　C　)
A．21 B．19
C．9 D．－11
[解析]　圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m<25)．从而|C1C2|＝＝5，由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C．
5．(2020·四川资阳、遂宁等七市联考)圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋＝0的距离为1的点共有(　C　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析]　与直线l距离为1的直线分别为l1：x＋y＝0，l2：x＋y＋2＝0，又圆C：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝4的圆心C(－1,1)到l1、l2的距离分别为d1＝0
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　直线与圆的位置关系的判定——自主练透
例1　(1)(2019·西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为(　D　)
A．(－，) B．[－，]
C．(－，) D．[－，]
(2)(多选题)(2020·山东日照一中期中)已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax＋by＝r2，则下列结论正确的是(　AD　)
A．m∥l B．m⊥l
C．m与圆相离 D．m与圆相交
[解析]　(1)数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1,0)到直线y＝k(x－3)的距离应小于或等于半径1，即≤1，解得－≤k≤，故选D．
(2)∵点P(a，b)在圆x2＋y2＝r2外，∴a2＋b2>r2，又直线l的方程为y－b＝－(x－a)，即ax＋by＝a2＋b2，又m：ax＋by＝r2，∴m∥l，又圆心O到直线m的距离d＝ 名师点拨 ☞
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
〔变式训练1〕
(多选题)(2020·湖南五市十校联考改编)已知两点M(－1,0)，N(1,0)，若直线3x－4y＋m＝0上存在点P满足·＝0，则实数m的值可以是(　BCD　)
A．－12 B．0
C．2 D．5
[解析]　设P(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，由⊥得x2＋y2＝1，因P在直线3x－4y＋m＝0上，故圆心到直线的距离d＝≤1，故m∈[－5,5]，故选B、C、D．
考点二　直线与圆的综合问题——多维探究
角度1　圆的切线问题
例2　(1)过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(　C　)
A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4或3x＋4y－4＝0
(2)由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　C　)
A．1 B．2
C． D．3
[解析]　(1)当斜率不存在时，x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则＝1，解得k＝，则切线方程为4x－3y＋4＝0，故切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0．
(2)如图：切线长|PM|＝，显然当|PC|为C到直线y＝x＋1的距离即＝2时|PM|最小为，故选C．

[引申](1)若将本例(1)中“P(2,4)”改为“P(1＋，1－)”，则切线方程为　x－y－＝0　．
(2)本例(1)中过切点的直线方程为__x＋3y－5＝0__．
(3)本例(2)中切线长最小时切线的方程为　(4－)x＋3y－10＋＝0或(4＋)＋3y－10－＝0　．
角度2　圆的弦长问题
例3　(1)(2018·课标全国Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝　2　．
(2)(2019·河南中原名校联盟第三次联考)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线，过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　D　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x＋4y－12＝0或x＝0
[解析]　(1)将圆x2＋y2＋2y－3＝0化为标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，
则圆心坐标为(0，－1)，半径r＝2，
∴圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝2．
(2)圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，由|AB|＝2知，圆心(1,1)到直线l的距离为1，
当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－0)，即kx－y＋3＝0，由＝1得k＝－，此时直线l的方程为3x＋4y－12＝0，故选D．
名师点拨 ☞
直线与圆综合问题的常见类型及解题策略
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
注：①过圆C内一点P的最短弦所在直线与PC垂直，最长弦所在直线是PC．②过圆C外P作圆的切线，切点为A、B，则AB是圆C与以PC为直径的圆的公共弦．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2020·吉林长春模拟)已知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝(　C　)
A．－3 B．1
C．－3或1 D．
(2)(角度2)(2020·河北衡水中学调研)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆截直线x＋ay＋2＝0所得弦长的最小值等于(　B　)
A．2 B．4
C． D．2
[解析]　(1)由圆心到切线的距离等于半径，
得＝，∴|1＋b|＝2，
∴b＝1或b＝－3，故选C．
(2)设圆心坐标P为(a，－2)，则r2＝(1－a)2＋(3＋2)2＝(4－a)2＋(2＋2)2，解得a＝1，r＝5，所以P(1，－2)．又直线过定点Q(－2,0)，当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，根据圆的性质可知弦长为2＝2＝4，∴直线x＋ay＋2＝0被圆截得的弦长为4.故选B．
考点三　圆与圆的位置关系——师生共研
例4　已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为(　C　)
A． B．
C． D．2
[解析]　由圆C1与圆C2相外切，
可得＝2＋1＝3，
即(a＋b)2＝9，根据基本(均值)不等式可知ab≤()2＝，当且仅当a＝b时等号成立．故选C．
[引申1]把本例中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值．
[解析]　由C1与C2内切，得＝1．
即(a＋b)2＝1，又ab≤()2＝，
当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为．
[引申2]把本例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程．
[解析]　把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程．
圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0， ①
圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0， ②
由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，
即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在的直线方程．
[引申3]将本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置关系．
[解析]　由两圆存在四条公切线，故两圆外离，
故>3，
∴(a＋b)2>9，即a＋b>3或a＋b<－3．
∴圆心(a，b)到直线x＋y－1＝0的距离d＝>1，
∴直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相离．
名师点拨 ☞
如何处理两圆的位置关系
判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径和、差之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2、y2项得到．
〔变式训练3〕
(1)(2019·山东模拟)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　B　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
(2)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__4__．
[解析]　(1)由垂径定理得()2＋()2＝a2，解得a2＝4，又a>0，所以a＝2，所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，所以圆M与圆N的圆心距d＝＝.因为2－1<<2＋1，所以两圆相交．故选B．
(2)由题意⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，
∴O1A⊥OA．
又∵|OA|＝，|O1A|＝2，
∴|OO1|＝5.又A，B关于OO1对称，
∴AB为Rt△OAO1斜边上的高的2倍．
∴|AB|＝2×＝4．


MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
解决直线与圆问题中的数学思想
1．数形结合思想
例5　(2019·长春模拟)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　B　)
A． B．－
C．± D．－
[解析]　∵S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB
＝sin∠AOB≤．
当∠AOB＝时，△AOB面积最大．

此时O到AB的距离d＝．
设AB方程为y＝k(x－)(k<0)，
即kx－y－k＝0.由d＝＝得k＝－．
2．转化与化归
例6　(2019·江西临川一中、南昌二中联考)已知两点A(－2,0)，B(2,0)以及圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝r2(r>0)，若圆C上存在点P，满足·＝0，则r的取值范围是(　B　)
A．[3,6] B．[3,7]
C．[4,6] D．[4,7]
[解析]　由·＝0知PA⊥PB，即P在以AB为直径的圆D：x2＋y2＝4上，由题意可知圆C与圆D相交或相切，∴|r－2|≤≤r＋2，解得3≤r≤7.故选B．
[引申]若将“·＝0”改为“·<0”，则r的取值范围为__(3,7)__．
名师点拨 ☞
根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题，以形助数，使问题变得简单．——数形结合
将生疏、复杂、难解的问题通过变换化为熟悉、简单、易解的问题．——转化与化归
〔变式训练4〕
(2019·山西模拟)直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有1个公共点，则b的取值范围是(　B　)
A．{，－} B．(－1,1]∪{－}
C．[－1,1] D．[－1,1]∪{，－}
[解析]　x＝可化简为x2＋y2＝1(x≥0)，所以它表示单位圆在y轴及其右侧的半圆，其与y轴的交点分别为(0,1)，(0，－1)．直线y＝x＋b与直线y＝x平行，b表示直线y＝x＋b的纵截距，将直线y＝x上下平移，可知当b∈(－1,1]时，直线y＝x＋b与曲线x＝有一个交点；当直线与曲线在第四象限相切时，只有一个公共点，此时b＝－.综上，b的取值范围是(－1,1]∪{－}．