2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第八章第九讲第一课时　直线与圆锥曲线的位置关系


第九讲　圆锥曲线的综合问题
第一课时　直线与圆锥曲线的位置关系

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一　直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共 点及有两个相异的公共点．
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程f(x，y)＝0.
由消元，如消去y后得ax2＋bx＋c＝0，
①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．
②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.
当Δ__＞__0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；
当Δ__＝__0时，直线和圆锥曲线相切于一点；
当Δ__＜__0时，直线和圆锥曲线没有公共点．
知识点二　直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k(k不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝__·|x1－x2|__或|P1P2|＝__·|y1－y2|__.
(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．
知识点三　圆锥曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1(a>b>0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.
重要结论
1．判定直线与圆位置关系的关键是圆心到直线的距离与半径的大小关系．
2．判定过定点的直线与椭圆的位置关系应关注定点与椭圆的位置关系．
3．判定过定点的直线与双曲线的位置关系应注意直线斜率与渐近线斜率的关系，过定点与双曲线只有一个公共点的直线可能与双曲线相切，可能与渐近线平行．
4．过定点与抛物线只有一个公共点的直线可能与抛物线相切，可能与对称轴平行．
双基自测
1．(2020·天津模拟)若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝(　D　)
A． B．
C．2 D．4
[解析]　因为双曲线－＝1(p>0)的左焦点为(－，0)，抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，所以－＝－，得p＝4，故选D．
2．(2019·宁夏模拟)直线l过抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(　B　)
A．y2＝－12x B．y2＝－8x
C．y2＝－6x D．y2＝－4x
[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中点到y轴的距离为2，∴－＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B．
3．(2019·广东揭阳模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为(　D　)
A．2 B．
C．－1 D．
[解析]　令x＝c得|y|＝，由题意得
2＝2c，c2－a2＝ac，e2－e－1＝0，e＝，(负值舍去)，选D．
4．(2019·山东济南模拟)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且·＝0，＝2，则椭圆E的离心率为(　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　∵＝2，
设|BF2|＝x，则|AF2|＝2x，
由椭圆的定义，可以得到
|AF1|＝2a－2x，|BF1|＝2a－x，
∵·＝0，∴⊥，
在Rt△AF1B中，有(2a－2x)2＋(3x)2＝(2a－x)2，
解得x＝，
∴|AF2|＝，|AF1|＝，
在Rt△AF1F2中，有()2＋()2＝(2c)2，
整理得＝，∴e＝＝，
故选C．
5．(2019·安徽六校教育研究会联考)已知F1，F2是椭圆＋＝1的左右焦点，点M的坐标为(－1，)，∠F1MF2的角平分线所在直线的斜率为(　A　)
A．－2 B．－1
C．－ D．－
[解析]　∵F(－1,0)，∴|MF1|＝，∴|MF2|＝4－＝，
记∠F1MF2的平分线与x轴交于H，
则＝＝，即＝，
∴xH＝－，∴k＝＝－2，故选A．
6．(2020·温州模拟)双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点M(－3，4)关于一条渐近线的对称点恰为双曲线的右焦点F2，则该双曲线的标准方程为__－＝1__.
[解析]　由题设知点M(－3,4)与右焦点F2(c,0)关于直线y＝x对称，
所以·＝－1，即4b＝a(c＋3)①，
且线段MF2的中点(，2)在直线y＝x上，
即2＝·，得b(c－3)＝4a②.
由①÷②得＝，得c2＝25，c＝5，代入①可得b＝2a.　
又c2＝a2＋b2，所以25＝a2＋(2a)2，所以a2＝5，从而b2＝4a2＝20.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　直线与圆锥曲线的位置关系——自主练透
例1 (1)(2019·兰州检测)若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　B　)
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
(2)(2020·湖北武汉调研)已知不过原点O的直线交抛物线y2＝2px于A，B两点，若OA，AB的斜率分别为kOA＝2，kAB＝6，则OB的斜率为(　D　)
A．3 B．2
C．－2 D．－3
(3)(2020·辽宁沈阳二中月考)直线l：y＝k(x－)与曲线x2－y2＝1(x>0)相交于A，B两点，则直线l倾斜角α的取值范围是(　B　)
A．[0，π) B．(，)∪(，)
C．[0，) D．[，)∪(，]
[解析]　(1)∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴＞2，∴m2＋n2＜4.∴＋＜＋＝1－m2＜1，
∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个，故选B．
(2)由题意可知，直线OA的方程为y＝2x，与抛物线方程y2＝2px联立得得即A(，p)，则直线AB的方程为y－p＝6(x－)，即y＝6x－2p，与抛物线方程y2＝2px联立得得或
所以B(，－)，所以直线OB的斜率为kOB＝＝－3.故选D．
(3)直线l过定点(，0)，曲线x2－y2＝1(x>0)的渐近线的倾斜角分别为，，又直线的斜率存在，结合图形可知选B．

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研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数．注意：(1)在没有给出直线方程时，要对直线斜率不存在的情况进行讨论，避免漏解；(2)对于选择题、填空题，常根据几何条件，利用数形结合的方法求解．
考点二　直线与圆锥曲线相交的弦的问题——多维探究
角度1　弦长问题
例2 (2020·广东省佛山市质检)已知F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，过原点O的动直线l与C交于A，B两点．当A的坐标为(1，)时，|OB|＝|BF|.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)延长BF交椭圆C于Q，求△QAB的面积的最大值．
[解析]　(1)由A(1，)，得B(－1，－)，
而|OB|＝|BF|.∴F(－2,0)，即c＝2.
由，解得a2＝5，b2＝1.
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)当直线BF斜率不存在时，BF：x＝－2，
此时B(－2，－)，|BQ|＝，A(2，)，
S△QAB＝××4＝；
当BF所在直线斜率存在时，设BF：y＝k(x＋2)(k≠0)，
联立，得
(1＋5k2)x2＋20k2x＋20k2－5＝0，
设B(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
则|BQ|＝
＝·
＝·.
又O到BQ的距离d＝，则A到BQ的距离为，
∴S△QAB＝.
令1＋5k2＝t(t>1)，
则S△QAB＝8
＝.
∴当＝时，(S△QAB)max＝2.
综上，△QAB的面积的最大值为2.
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处理弦长问题的两个注意点
(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．
(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．
〔变式训练1〕
(多选题)(2020·山东德州期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　ABC　)
A．p＝4 B．＝
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
[解析]　如下图所示：

分别过点A、B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E、M.
抛物线C的准线m交x轴于点P，则|PF|＝p，
由于直线l的斜率为，其倾斜角为60°，
∵AE∥x轴，∴∠EAF＝60°，
由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，
∴∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，
∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，
A选项正确；
∵|AE|＝|EF|＝2|PF|，又PF∥AE，
∴F为AD的中点，则＝，B选项正确；
∴∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，
∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，C选项正确；
∵|BD|＝2|BF|，
∴|BF|＝|DF|＝|AF|＝，D选项错误，故选ABC．
角度2　利用中点弦解决对称问题
例3 已知双曲线－＝1(a，b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y＝ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m的值为(　A　)
A． B．
C．2 D．3
[解析]　由双曲线的定义知2a＝4，得a＝2，所以抛物线的方程为y＝2x2.因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，所以y1＝2x，y2＝2x，两式相减得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)，不妨设x1 名师点拨 ☞
处理中点弦问题常用的求解方法

〔变式训练2〕
已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，点A和点B关于直线l对称，l与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围是__(－，0)__.
[解析]　设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，
代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
因为直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，
所以方程有两个不等实根．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点N(x0，y0)，
则x1＋x2＝－，
x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝k(x0＋1)＝，
因为点A和点B关于直线l对称，
所以直线l为AB的垂直平分线，其方程为
y－y0＝－(x－x0)．
令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋＝－＝－＋，
因为k≠0，所以－ 即点G横坐标的取值范围为(－，0)．故填(－，0)．
角度3　求直线的方程
例4 (2019·湖南醴陵期中)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，过点P(0，－2)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆x2＋y2＝8于A，B两点，l2交椭圆C于另一个点D，求△ABD面积取得最大值时直线l1的方程．
[解析]　(1)由题意得⇒，
所以椭圆方程为＋＝1.
方法二：由e＝＝得a＝c，由椭圆经过点P(0，－2)得b＝c＝2，所以a＝2，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)由题知直线l1的斜率存在，不妨设为k，
则l1：y＝kx－2.
若k＝0时，直线l1的方程为y＝－2，l2的方程为x＝0，易求得|AB|＝4.|DP|＝4.
此时S△ABD＝|AB|·|DP|＝8.
若k≠0时，则直线l2：y＝－x－2.
圆心(0,0)到直线l1的距离为d＝.
直线l1被圆x2＋y2＝8截得的弦长为
|AB|＝2＝.
由⇒(k2＋2)x2＋8kx＝0，
得xD＋xP＝－
故|DP|＝＝
∴S△ABD＝|AB|·|DP|
＝··＝
＝＝
＝≤＝.
当＝，即k＝±1时上式等号成立．
因为8<，
所以△ABD面积取得最大值时直线l1的方程应该是y＝±x－2.
名师点拨 ☞
设直线方程时一定要关注直线的斜率是否存在，若不能确定，应分类求解，当过点P(a，b)的直线不与x轴垂直时，可设其方程为y＝k(x－a)＋b；当过点P(a，b)的直线不与y轴垂直时，可设其方程为x＝m(y－b)＋a.
〔变式训练3〕
(2020·广西桂林、崇左模拟)椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，过点A(－a,0)和B(0，b)的直线与原点间的距离为.
(1)求椭圆M的方程；
(2)过点E(1,0)的直线l与椭圆M交于C、D两点，且点D位于第一象限，当＝3时，求直线l的方程．
[解析]　(1)据题知，直线AB的方程为bx－ay＋ab＝0.
依题意得.
解得a2＝2，b2＝1，
所以椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)(x2>0，y2>0)，
设直线l的方程为x＝my＋1(m∈R)．
代入椭圆方程整理得：(m2＋2)y2＋2my－1＝0.
Δ＝8m2＋8>0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝－.①
由＝3，依题意可得：y1＝－3y2，②
结合①②得，
消去y2解得m＝1，m＝－1(不合题意)．
所以直线l的方程为y＝x－1.

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
“设而不求，整体代换”解决圆锥曲线问题
例5 (2020·山西太原模拟)已知动点C到点F(1,0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，动点C的轨迹为E.
(1)求曲线E的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(km<0)与曲线E相交于A，B两个不同点，且·＝5，证明：直线l经过一个定点．
[解析]　(1)由题意可得动点C到点F(1,0)的距离等于到直线x＝－1的距离，∴曲线E是以点(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线．设其方程为y2＝2px(p>0)，
∴＝1，∴p＝2，
∴曲线E的方程为y2＝4x.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
Δ＝(2km－4)2－4m2k2＝16(1－km)>0.
∵·＝5，
∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝5，
∴m2＋4km－5k2＝0，∴m＝k或m＝－5k.
∵km<0，则m＝k舍去，∴m＝－5k，满足Δ＝16(1－km)>0，
∴直线l的方程为y＝k(x－5)，
∴直线l必经过定点(5,0)．
名师点拨 ☞
对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果．
〔变式训练4〕
(2020·福建龙岩质检)已知椭圆E的方程为＋y2＝1，点A为长轴的右端点．B，C为椭圆E上关于原点对称的两点．直线AB与直线AC的斜率kAB和kAC满足：kAB·kAC＝－.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋t与圆x2＋y2＝相切，且与椭圆E相交于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆恒过原点．
[解析]　(1)设B(x0，y0)，则C(－x0，－y0)
由＋y＝1得，y＝1－＝，
由kAB·kAC＝－，即·＝－得，
y＝，
所以＝，所以a2＝2，
即椭圆E的标准方程为：＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得：(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝.
y1y2＝(kx1＋t)(kx2＋t)＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2
＝＋＋t2＝，
又l与圆C相切，所以＝即＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝
＝＝＝0，
所以，⊥，即∠MON＝90°，
所以，以线段MN为直径的圆经过原点．