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2021新高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第一章第5节一元二次不等式
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第5节 一元二次不等式
考试要求 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，能借助一元二次函数求解一元二次不等式；3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
知 识 梳 理
1.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
2.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式
解集
a
a>b
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a
{x|b
(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
[常用结论与微点提醒]
1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为
(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形.
3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
诊 断 自 测
1.判断下列结论的正误. (在括号内打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )
(3)不等式x2≤a的解集为[－，].( )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.( )
解析 (3)错误.对于不等式x2≤a，当a>0时，其解集为[－，]；当a＝0时，其解集为{0}，当a<0时，其解集为∅.
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为∅.
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.(新教材必修第一册P55T3改编)已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝( )
A.(－2，3) B.(1，3)
C.(3，4) D.(－2，4)
解析 由题意知A＝{x|1
答案 B
3.(教材必修5P77T2改编)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________.
解析 由题意，得3x2－2x－2>0，
令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，
∴3x2－2x－2>0的解集为
∪.
答案 ∪
4.(2020·海安中学期中考试)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b的值是( )
A.－10 B.－14 C.10 D.14
解析 由题意知，－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，所以解得故a－b＝－10.
答案 A
5.(2019·河北重点中学模拟)不等式2x2－x－3>0的解集为________.
解析 由2x2－x－3>0，得(x＋1)(2x－3)>0，
解得x>或x<－1.
∴不等式2x2－x－3>0的解集为.
答案
6.(2019·苏北调研)已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取值范围是______.
解析 若a＝0，则f(x)＝－1≤0恒成立，
若a≠0，则由题意，得
解得－4≤a<0，综上，得a∈[－4，0].
答案 [－4，0]
考点一 一元二次不等式的解法
【例1】 (1)不等式0
即
解得
故原不等式的解集为{x|－2≤x<－1，或2
解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当＜－1，即－2
当a＞0时，不等式的解集为；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为.
规律方法 1.解一元二次不等式的一般步骤
(1)化为标准形式.
(2)确定判别式Δ的符号，若Δ≥0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若Δ<0，则对应的一元二次方程无根.
(3)结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集.
2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.
【训练1】 (1)(2020·泰州月考)不等式≥0的解集为( )
A.[－2，1] B.(－2，1]
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞) D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)
解析 原不等式化为
即解得－2
(2)求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集.
解 原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a>0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；
当a<0时，不等式的解集为.
考点二 一元二次方程与一元二次不等式
【例2】 已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－
故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
答案 {x|x≥3或x≤2}
规律方法 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
【训练2】 (2019·南京外国语学校模拟)关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，
＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是( )
A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)
C.(－1，3) D.(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析 关于x的不等式ax－b<0即ax
答案 C
考点三 一元二次不等式恒成立问题 多维探究
角度1 在实数R上恒成立
【例3－1】 (2020·镇江一中期中)对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，2) B.(－∞，2]
C.(－2，2) D.(－2，2]
解析 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；
当a－2≠0，即a≠2时，
则有
解得－2
答案 D
角度2 在给定区间上恒成立
【例3－2】 (一题多解)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.
解析 要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，
故mx2－mx＋m－6＜0，
则m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.
法一 令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3].
当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.
所以m＜，则0＜m＜.
当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.
所以m＜6，所以m＜0.
综上所述，m的取值范围是.
法二 因为x2－x＋1＝＋＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.
因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可.
因为m≠0，所以m的取值范围是.
答案
角度3 给定参数范围的恒成立问题
【例3－3】 对任意m∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围.
解 由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1，1]上，g(m)的值恒大于零，
所以
解得x<1或x>3.
故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1，1]，函数f(x)的值恒大于零.
规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
【训练3】 (1)(角度1)(2020·宿迁模拟)若不等式4x2＋ax＋4>0的解集为R，则实数a的取值范围是( )
A.(－16，0) B.(－16，0]
C.(－∞，0) D.(－8，8)
(2)(角度2)(2019·泰州一检)若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0对一切x∈(0，2]恒成立，则实数a的取值范围为________________.
(3)(角度3)若mx2－mx－1<0对于m∈[1，2]恒成立，则实数x的取值范围是________.
解析 (1)由题意知Δ＝a2－4×4×4<0，解得－8
要使a2－a≥在x∈(0，2]上恒成立，则a2－a≥.由基本不等式得x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立.则＝，故a2－a≥，解得a≤或a≥.故实数a的取值范围为∪.
(3)设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1，2]时，图象为一条线段，
则，即
解得
答案 (1)D (2)∪
(3)
考点四 一元二次不等式的实际应用
【例4】 甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
解 (1)根据题意，得200≥3 000，
整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0，
解得x≥3或x≤－，
又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.
即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是[3，10].
(2)设利润为y元，则
y＝·100
＝9×104
＝9×104，
故当x＝6时，ymax＝457 500元.
即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元.
规律方法 求解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.
(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.
(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.
(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.
【训练4】 已知产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2，x∈(0，240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )
A.100台 B.120台
C.150台 D.180台
解析 由题设，产量x台时，总售价为25x；欲使生产者不亏本时，必须满足总售价大于等于总成本，
即25x≥3 000＋20x－0.1x2，
即0.1x2＋5x－3 000≥0，x2＋50x－30 000≥0，
解之得x≥150或x≤－200(舍去).
故欲使生产者不亏本，最低产量是150台.
故选C.
答案 C
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2019·海安中学月考)不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集是( )
A.(－2，－1) B.(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
C.(1，2) D.(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析 由(x＋1)(x＋2)＜0得－2＜x＜－1，故选A.
答案 A
2.不等式≥2的解集是( )
A. B.
C.∪(1，3] D.∪(1，3]
解析 不等式可化为≤0，
即≤0，
解得－≤x<1或1
3.(2020·南京模拟)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－12ax的解集为( )
A.{x|－21}
C.{x|03}
解析 由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax整理得
ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)>0.①
又不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1
由根与系数的关系可知
即②
将①两边同除以a得x2＋x＋<0，
将②代入得x2－3x<0，解得0
4.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是( )
A.(－1，0) B.(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.不能确定
解析 由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)图象的对称轴为直线x＝1，则有＝1，故a＝2.由f(x)的图象可知f(x)在[－1，1]上为增函数.所以x∈[－1，1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.
答案 C
5.(2020·河南豫西南五校联考)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A.[0，1] B.(0，1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析 当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，其恒成立，当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，
只需解得0
答案 A
二、填空题
6.若不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________.
解析 由题意得Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.
∴a>4或a<－4.
答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)
7.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数)，若1⊙k2<3，则k的取值范围是________.
解析 由题意知＋1＋k2<3，
化为(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，
所以－1
8.(2020·北京海淀区质检)设a<0，若不等式－cos2x＋(a－1)cos x＋a2≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是________.
解析 令t＝cos x，t∈[－1，1]，则不等式f(t)＝t2－(a－1)t－a2≤0对t∈[－1，1]恒成立，因此⇒∵a<0，∴a≤－2.
答案 (－∞，－2]
三、解答题
9.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)＞0；
(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值.
解 (1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－2＜a＜3＋2.
所以不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}.
(2)∵f(x)＞b的解集为(－1，3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
∴解得
故a的值为3±，b的值为－3.
10.若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围.
解 (1)由f(0)＝2，得c＝2，
所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，
由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－[ax2＋bx＋2]＝4ax＋4a＋2b，
又f(x＋2)－f(x)＝16x，得4ax＋4a＋2b＝16x，
所以故a＝4，b＝－8，
所以f(x)＝4x2－8x＋2.
(2)因为存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，
即存在x∈[1，2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，
令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1，2]，
故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，
即m的取值范围为(－∞，－2).
B级 能力提升
11.(2019·青岛调研)已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d.若f(x)＝2 019－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A.a＞c＞b＞d B.a＞b＞c＞d
C.c＞d＞a＞b D.c＞a＞b＞d
解析 由f(x)＝2 019－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋
2 019，又f(a)＝f(b)＝2 019，c，d为函数f(x)的零点，且a＞b，c＞d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示.由图可知c＞a＞b＞d，故选D.
答案 D
12.(2020·西安模拟)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值是( )
A.0 B.－2 C.－ D.－3
解析 由于x∈，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，
则a≥－，x∈时恒成立，
令g(x)＝x＋，x∈，
易知g(x)在上是减函数，则y＝－g(x)在上是增函数.
∴y＝－g(x)的最大值是－＝－.
因此a≥－，则a的最小值为－.
答案 C
13.(2020·盐城中学阶段性考试)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝3x2，且不等式f(x＋m2)≥4f(x)对任意的x∈[m，m＋2]恒成立，则实数m的取值范围是________________.
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x).
设x<0，则－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－3x2，
故f(x)＝
从而4f(x)＝＝f(2x)，
故不等式f(x＋m2)≥4f(x)同解于f(x＋m2)≥f(2x)，
又f(x)为R上的单调增函数，故x＋m2≥2x，
即m2≥x对任意的x∈[m，m＋2]恒成立，
∴m2≥m＋2，即m≤－1或m≥2.
答案 (－∞，－1]∪[2，＋∞)
14.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.
解 (1)由题意得，y＝100·100.
因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0，解得0≤x≤2.
所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，
定义域为{x|0≤x≤2}.
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，
化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.
所以x的取值范围是.
C级 创新猜想
15.(多选题)(2020·山东省实验中学月考)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值可以是( )
A.0 B. C. D.2
解析 ∵(m2－m)4x－2x＜0，∴m2－m＜＝.又∵函数y＝在(－∞，－1]上单调递减，∴≥＝2.∴m2－m＜2，即(m＋1)(m－2)＜0，解得－1＜m＜2.结合选项可知，选ABC.
答案 ABC
16.(多填题)(2019·镇江中学调研)已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则b＝________；若对于任意x∈[－1，0]，不等式f(x)＋t≤4恒成立，则实数t的取值范围是________.
解析 由不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，可知－1和3是方程－2x2＋bx＋c＝0的根，即解得所以f(x)＝－2x2＋4x＋6.所以不等式f(x)＋t≤4可化为t≤2x2－4x－2，x∈[－1，0].令g(x)＝2x2－4x－2，x∈[－1，0]，由二次函数的性质可知g(x)在[－1，0]上单调递减，则g(x)的最小值为g(0)＝－2，则t≤－2.
答案 4 (－∞，－2]
第5节 一元二次不等式
考试要求 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，能借助一元二次函数求解一元二次不等式；3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
知 识 梳 理
1.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
2.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式
解集
a
a>b
(x－a)·(x－b)>0
{x|x
{x|x≠a}
{x|x
(x－a)·(x－b)<0
{x|a
{x|b
(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
[常用结论与微点提醒]
1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|
(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形.
3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
诊 断 自 测
1.判断下列结论的正误. (在括号内打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )
(3)不等式x2≤a的解集为[－，].( )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.( )
解析 (3)错误.对于不等式x2≤a，当a>0时，其解集为[－，]；当a＝0时，其解集为{0}，当a<0时，其解集为∅.
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为∅.
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.(新教材必修第一册P55T3改编)已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝( )
A.(－2，3) B.(1，3)
C.(3，4) D.(－2，4)
解析 由题意知A＝{x|1
答案 B
3.(教材必修5P77T2改编)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________.
解析 由题意，得3x2－2x－2>0，
令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，
∴3x2－2x－2>0的解集为
∪.
答案 ∪
4.(2020·海安中学期中考试)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b的值是( )
A.－10 B.－14 C.10 D.14
解析 由题意知，－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，所以解得故a－b＝－10.
答案 A
5.(2019·河北重点中学模拟)不等式2x2－x－3>0的解集为________.
解析 由2x2－x－3>0，得(x＋1)(2x－3)>0，
解得x>或x<－1.
∴不等式2x2－x－3>0的解集为.
答案
6.(2019·苏北调研)已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取值范围是______.
解析 若a＝0，则f(x)＝－1≤0恒成立，
若a≠0，则由题意，得
解得－4≤a<0，综上，得a∈[－4，0].
答案 [－4，0]
考点一 一元二次不等式的解法
【例1】 (1)不等式0
即
解得
故原不等式的解集为{x|－2≤x<－1，或2
解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当＜－1，即－2
当a＞0时，不等式的解集为；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为.
规律方法 1.解一元二次不等式的一般步骤
(1)化为标准形式.
(2)确定判别式Δ的符号，若Δ≥0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若Δ<0，则对应的一元二次方程无根.
(3)结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集.
2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.
【训练1】 (1)(2020·泰州月考)不等式≥0的解集为( )
A.[－2，1] B.(－2，1]
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞) D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)
解析 原不等式化为
即解得－2
(2)求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集.
解 原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a>0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；
当a<0时，不等式的解集为.
考点二 一元二次方程与一元二次不等式
【例2】 已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－
故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
答案 {x|x≥3或x≤2}
规律方法 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
【训练2】 (2019·南京外国语学校模拟)关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，
＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是( )
A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)
C.(－1，3) D.(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析 关于x的不等式ax－b<0即ax
答案 C
考点三 一元二次不等式恒成立问题 多维探究
角度1 在实数R上恒成立
【例3－1】 (2020·镇江一中期中)对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，2) B.(－∞，2]
C.(－2，2) D.(－2，2]
解析 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；
当a－2≠0，即a≠2时，
则有
解得－2
答案 D
角度2 在给定区间上恒成立
【例3－2】 (一题多解)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.
解析 要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，
故mx2－mx＋m－6＜0，
则m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.
法一 令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3].
当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.
所以m＜，则0＜m＜.
当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.
所以m＜6，所以m＜0.
综上所述，m的取值范围是.
法二 因为x2－x＋1＝＋＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.
因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可.
因为m≠0，所以m的取值范围是.
答案
角度3 给定参数范围的恒成立问题
【例3－3】 对任意m∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围.
解 由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1，1]上，g(m)的值恒大于零，
所以
解得x<1或x>3.
故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1，1]，函数f(x)的值恒大于零.
规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
【训练3】 (1)(角度1)(2020·宿迁模拟)若不等式4x2＋ax＋4>0的解集为R，则实数a的取值范围是( )
A.(－16，0) B.(－16，0]
C.(－∞，0) D.(－8，8)
(2)(角度2)(2019·泰州一检)若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0对一切x∈(0，2]恒成立，则实数a的取值范围为________________.
(3)(角度3)若mx2－mx－1<0对于m∈[1，2]恒成立，则实数x的取值范围是________.
解析 (1)由题意知Δ＝a2－4×4×4<0，解得－8
要使a2－a≥在x∈(0，2]上恒成立，则a2－a≥.由基本不等式得x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立.则＝，故a2－a≥，解得a≤或a≥.故实数a的取值范围为∪.
(3)设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1，2]时，图象为一条线段，
则，即
解得
答案 (1)D (2)∪
(3)
考点四 一元二次不等式的实际应用
【例4】 甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
解 (1)根据题意，得200≥3 000，
整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0，
解得x≥3或x≤－，
又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.
即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是[3，10].
(2)设利润为y元，则
y＝·100
＝9×104
＝9×104，
故当x＝6时，ymax＝457 500元.
即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元.
规律方法 求解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.
(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.
(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.
(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.
【训练4】 已知产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2，x∈(0，240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )
A.100台 B.120台
C.150台 D.180台
解析 由题设，产量x台时，总售价为25x；欲使生产者不亏本时，必须满足总售价大于等于总成本，
即25x≥3 000＋20x－0.1x2，
即0.1x2＋5x－3 000≥0，x2＋50x－30 000≥0，
解之得x≥150或x≤－200(舍去).
故欲使生产者不亏本，最低产量是150台.
故选C.
答案 C
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2019·海安中学月考)不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集是( )
A.(－2，－1) B.(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
C.(1，2) D.(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析 由(x＋1)(x＋2)＜0得－2＜x＜－1，故选A.
答案 A
2.不等式≥2的解集是( )
A. B.
C.∪(1，3] D.∪(1，3]
解析 不等式可化为≤0，
即≤0，
解得－≤x<1或1
3.(2020·南京模拟)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1
A.{x|－2
C.{x|0
解析 由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax整理得
ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)>0.①
又不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1
由根与系数的关系可知
即②
将①两边同除以a得x2＋x＋<0，
将②代入得x2－3x<0，解得0
4.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是( )
A.(－1，0) B.(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.不能确定
解析 由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)图象的对称轴为直线x＝1，则有＝1，故a＝2.由f(x)的图象可知f(x)在[－1，1]上为增函数.所以x∈[－1，1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.
答案 C
5.(2020·河南豫西南五校联考)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A.[0，1] B.(0，1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析 当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，其恒成立，当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，
只需解得0
答案 A
二、填空题
6.若不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________.
解析 由题意得Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.
∴a>4或a<－4.
答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)
7.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数)，若1⊙k2<3，则k的取值范围是________.
解析 由题意知＋1＋k2<3，
化为(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，
所以－1
8.(2020·北京海淀区质检)设a<0，若不等式－cos2x＋(a－1)cos x＋a2≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是________.
解析 令t＝cos x，t∈[－1，1]，则不等式f(t)＝t2－(a－1)t－a2≤0对t∈[－1，1]恒成立，因此⇒∵a<0，∴a≤－2.
答案 (－∞，－2]
三、解答题
9.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)＞0；
(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值.
解 (1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－2＜a＜3＋2.
所以不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}.
(2)∵f(x)＞b的解集为(－1，3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
∴解得
故a的值为3±，b的值为－3.
10.若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围.
解 (1)由f(0)＝2，得c＝2，
所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，
由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－[ax2＋bx＋2]＝4ax＋4a＋2b，
又f(x＋2)－f(x)＝16x，得4ax＋4a＋2b＝16x，
所以故a＝4，b＝－8，
所以f(x)＝4x2－8x＋2.
(2)因为存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，
即存在x∈[1，2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，
令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1，2]，
故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，
即m的取值范围为(－∞，－2).
B级 能力提升
11.(2019·青岛调研)已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d.若f(x)＝2 019－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A.a＞c＞b＞d B.a＞b＞c＞d
C.c＞d＞a＞b D.c＞a＞b＞d
解析 由f(x)＝2 019－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋
2 019，又f(a)＝f(b)＝2 019，c，d为函数f(x)的零点，且a＞b，c＞d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示.由图可知c＞a＞b＞d，故选D.
答案 D
12.(2020·西安模拟)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值是( )
A.0 B.－2 C.－ D.－3
解析 由于x∈，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，
则a≥－，x∈时恒成立，
令g(x)＝x＋，x∈，
易知g(x)在上是减函数，则y＝－g(x)在上是增函数.
∴y＝－g(x)的最大值是－＝－.
因此a≥－，则a的最小值为－.
答案 C
13.(2020·盐城中学阶段性考试)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝3x2，且不等式f(x＋m2)≥4f(x)对任意的x∈[m，m＋2]恒成立，则实数m的取值范围是________________.
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x).
设x<0，则－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－3x2，
故f(x)＝
从而4f(x)＝＝f(2x)，
故不等式f(x＋m2)≥4f(x)同解于f(x＋m2)≥f(2x)，
又f(x)为R上的单调增函数，故x＋m2≥2x，
即m2≥x对任意的x∈[m，m＋2]恒成立，
∴m2≥m＋2，即m≤－1或m≥2.
答案 (－∞，－1]∪[2，＋∞)
14.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.
解 (1)由题意得，y＝100·100.
因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0，解得0≤x≤2.
所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，
定义域为{x|0≤x≤2}.
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，
化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.
所以x的取值范围是.
C级 创新猜想
15.(多选题)(2020·山东省实验中学月考)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值可以是( )
A.0 B. C. D.2
解析 ∵(m2－m)4x－2x＜0，∴m2－m＜＝.又∵函数y＝在(－∞，－1]上单调递减，∴≥＝2.∴m2－m＜2，即(m＋1)(m－2)＜0，解得－1＜m＜2.结合选项可知，选ABC.
答案 ABC
16.(多填题)(2019·镇江中学调研)已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则b＝________；若对于任意x∈[－1，0]，不等式f(x)＋t≤4恒成立，则实数t的取值范围是________.
解析 由不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，可知－1和3是方程－2x2＋bx＋c＝0的根，即解得所以f(x)＝－2x2＋4x＋6.所以不等式f(x)＋t≤4可化为t≤2x2－4x－2，x∈[－1，0].令g(x)＝2x2－4x－2，x∈[－1，0]，由二次函数的性质可知g(x)在[－1，0]上单调递减，则g(x)的最小值为g(0)＝－2，则t≤－2.
答案 4 (－∞，－2]
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