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2021届高考物理人教版一轮创新教学案：第23讲 功 功率
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第六章 机械能及其守恒定律
[研读考纲明方向]
考纲要求
复习指南
内容
要求
考情分析：
近几年高考对该部分内容的考查有所加强，单独命题往往以选择题形式出现，难度偏大。要求较高，综合命题的概率几乎是80%以上，是重点考查的内容之一。
命题趋势：
从近几年高考题目来看，这部分内容有所侧重，所以在2021年出现综合计算题的可能性较大，这部分内容很容易和曲线运动、电磁学等内容结合，与生产生活和现代科技相结合进行命题，在复习中应侧重对基础知识的理解和应用。
功和功率
Ⅱ
动能和动能定理
Ⅱ
重力做功与重力势能
Ⅱ
功能关系、机械能守恒定律及其应用
Ⅱ
实验五：探究动能定理
实验六：验证机械能守恒定律
[重读教材定方法]
1．P58功的表达式W＝Flcosα中的l指什么？α指什么？
提示：l指的是物体的位移；α指的是力和位移方向的夹角。
2．P59总功怎样计算？
提示：几个力对物体做的总功等于各个力分别对物体所做功的代数和，也就是这几个力的合力对物体所做的功。
3．P61汽车上坡时，应该减小速度还是增大速度？
提示：汽车上坡时需要较大的牵引力，发动机的功率P＝Fv，牵引力F要增大，则需要减小速度v。
4．P63[问题与练习]T3。
提示：错在前提条件不同，分析时首先要控制变量。
5．P64“重力做的功”一段，重力做功有什么特点？
提示：与物体运动的路径无关，只与物体运动的起点和终点位置有关。
6．P65重力势能的正负表示大小吗？
提示：表示大小。重力势能为正，表示比选定的参考平面上的重力势能大；重力势能为负，表示比选定的参考平面上的重力势能小。
7．P66为什么说势能是系统所共有的？
提示：任何形式的势能，都是物体系统由于其中各物体之间，或物体内的各部分之间存在相互作用(力)而具有的能，是由各物体的相对位置决定的，因此是系统所共有的。
8．P66[问题与练习]T1，物体在几个斜面运动的时间有何关系？若斜面底边长度相等，倾角不同，重力做功有何关系？
提示：高度相同，倾角越小，则物体在斜面上运动的时间越长；若斜面底边长度相等，倾角越大，斜面高度越大，物体从斜面顶端运动到底端重力做功越大。
9．P70参考案例二中应该注意什么问题？
提示：橡皮筋完全相同，每次小车运动初始位置相同。
10．P71[说一说]。
提示：当重物的质量远远小于小车的质量时，可以近似用重物的重量G代表小车受到的牵引力F。
11．P72动能是标量，有正负吗？
提示：动能没有正负。
12．P74[问题与练习]T3，若后面还有同样木板，根据什么判断能否穿过？题目中所说的“平均阻力”中“平均”如何理解？
提示：根据子弹射穿木板克服阻力需要做的功的大小判断能否继续穿过后面同样的木板。“平均”是阻力在运动过程中位移(路程)上的平均。
13．P77[例题]若悬点下方有一钉子挡住，结果如何？
提示：小球运动到最低位置时的速度与没有钉子挡住时相同，但小球运动到最低位置时绳子上的拉力增大。
14．P79实验误差的主要来源在哪里？
提示：主要来源于纸带和打点计时器间的摩擦力和空气阻力。
第23讲 功 功率
基础命题点一 功的正负的判断与计算
1．做功的两个必要条件：力和物体在力的方向上发生的位移。
2．公式：W＝Flcosα。适用于恒力做功。其中l为物体对地的位移，α为F、l的夹角。
3．功的正负判断
(1)当0≤α<90°时，W>0，表示力对物体做正功。
(2)当90°<α≤180°时，W<0，表示力对物体做负功，或说物体克服该力做功。
(3)当α＝90°时，W＝0，表示力对物体不做功。
(4)曲线运动中做功正负的判断：依据合力F合与v的方向的夹角α来判断。0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。
功是标量，正负号不表示方向，只表示是动力做功还是阻力做功；正负号不表示大小，比较做功多少看功的绝对值。
4．总功的计算方法
(1)若各力都是恒力，可以先求F合，再用公式W总＝F合lcosα 计算，或者用W总＝W1＋W2＋W3＋…来求总功。
(2)若有变力做功，则一般用W总＝W1＋W2＋W3＋…。
一物体静止在粗糙水平地面上。现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v。若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v。对于上述两个过程，用WF1、WF2分别表示拉力F1、F2所做的功，Wf1、Wf2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则( )
A．WF2＞4WF1，Wf2＞2Wf1
B．WF2＞4WF1，Wf2＝2Wf1
C．WF2＜4WF1，Wf2＝2Wf1
D．WF2＜4WF1，Wf2＜2Wf1
解析 因为两个过程经过同样的时间t，所以根据x＝t得，两过程的位移关系x1＝x2，再根据x＝at2，得两过程的加速度关系为a1＝。由于在相同的粗糙水平地面上运动，故两过程的摩擦力大小相等，即Ff1＝Ff2＝Ff，根据牛顿第二定律得，F1－Ff1＝ma1，F2－Ff2＝ma2，联立解得F1＝F2＋Ff，即F1>。根据功的计算公式W＝Fl，可知Wf1＝Wf2，WF1>WF2，C正确，A、B、D错误。
答案 C
功的分析和计算
(1)几种力做功比较
①重力、弹簧弹力、电场力、分子力做功与初末位置有关，与路径无关。
②滑动摩擦力、空气阻力、安培力做功与路径有关。
③摩擦力做功有以下特点：
a．单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力)可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
b．相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值。
c．相互作用的一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能转移和机械能转化为内能，内能Q＝Ffx相对。
(2)一对作用力与反作用力的功
做功情形
图例
备注
都做正功
①一对相互作用力做的总功与参考系无关
②一对相互作用力做的总功W＝Flcosα，l是相对位移，α是F与l间的方向夹角
③一对相互作用力做的总功可正、可负，也可为零
都做负功
一正一负
一为零
一为正
一为负
1．(人教版必修2 P59·T1改编)在水平粗糙地面上，使同一物体由静止开始做匀加速直线运动，第一次是斜向上拉，第二次是斜下推，两次力的作用线与水平方向的夹角相同，力的大小也相同，位移大小也相同，则( )
A．力F对物体做的功相同，合力对物体做的总功也相同
B．力F对物体做的功相同，合力对物体做的总功不相同
C．力F对物体做的功不相同，合力对物体做的总功相同
D．力F对物体做的功不相同，合力对物体做的总功也不相同
答案 B
解析 由W＝Flcosθ知，由于两种情况下力的大小、位移的大小和力与位移之间的夹角相同，故力F两种情况下对物体做功一样多；物体在粗糙水平面上运动时会受到阻力的作用，两种情况下物体对地面的压力不同，所以滑动摩擦力的大小也不同，导致水平方向的合力也不同，由牛顿第二定律可以知道，当斜向上拉时，合力F1＝Fcosθ－μ(mg－Fsinθ)，当斜下推时，合力F2＝Fcosθ－μ(mg＋Fsinθ)，很明显合力F1>F2，由于水平方向的位移相同，故第一次合力对物体做的总功大于第二次合力对物体做的总功；故A、C、D错误，B正确。
2．[教材母题] (人教版必修2 P60·T4)一个重量为10 N的物体，在15 N的水平拉力的作用下，一次在光滑水平面上移动0.5 m，另一次在粗糙水平面上移动相同的距离，粗糙面与物体间的动摩擦因数为0.2。在这两种情况下，拉力做的功各是多少？拉力这两次做的功是否相同？各个力对物体做的总功是否相同？
[变式子题] (多选)一个重量为10 N的物体，在15 N的水平拉力的作用下，一次在光滑水平面上移动0.5 m，另一次在粗糙水平面上移动相同的距离，粗糙面与物体间的动摩擦因数为0.2，下面说法正确的是( )
A．在光滑水平面上移动时，水平拉力做功为7.5 J
B．在粗糙水平面上移动时水平拉力做功比在光滑水平面上时的小
C．在粗糙水平面上移动时，各个力对物体做的总功为6.5 J
D．在光滑水平面上移动时各个力对物体做的总功与在粗糙水平面上移动时的相同
答案 AC
解析 由功的定义式W＝Flcosα，α＝0°，代入数据可得，无论在光滑水平面上移动还是在粗糙水平面上移动，水平拉力做功都是W＝Fl＝15 N×0.5 m＝7.5 J，故A正确，B错误；物体在光滑水平面上移动时，只有水平拉力做功，W总＝W＝7.5 J，物体在粗糙水平面上移动时，水平拉力和滑动摩擦力对物体做功，W总′＝W＋Wf，Wf＝－μGl＝－1 J，代入数据得W总′＝6.5 J，故C正确，D错误。
3．如图所示，A、B叠放在一起，A用绳系在固定的墙上， 用力F将B拉着右移。用F拉、FAB、FBA分别表示绳子的拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，则下列说法中正确的是( )
A．F做正功，FAB做负功，FBA做正功，F拉不做功
B．F和FBA做正功，FAB和F拉做负功
C．F做正功，FAB做负功，FBA和F拉不做功
D．F做正功，其他力都不做功
答案 C
解析 根据W＝Flcosα可知，力F作用点的位移不为零且与F方向相同，所以F做正功；绳子的拉力F拉的作用点的位移为零，所以F拉不做功；FBA作用点的位移为零，所以FBA不做功；FAB作用点的位移不为零，且与FAB方向相反，所以FAB做负功。故选C。
4．如图所示，用50 N的力拉一个质量为10 kg的物体在水平地面上由静止前进了10 m。已知该物体与水平面间动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
(1)重力G做的功W1；
(2)拉力F做的功W2；
(3)物体克服阻力做的功W3。
答案 (1)0 J (2)400 J (3)140 J
解析 (1)由功的定义式可知，在物体运动过程中，由于其所受重力与其位移始终垂直，故重力不做功，即：
W1＝0 J。
(2)由功的定义式可知拉力F做的功
W2＝Fxcos37°＝400 J。
(3)由滑动摩擦力公式可知，该过程物体所受的摩擦力为：f＝μFN＝μ(mg－Fsin37°)＝14 N，由于滑动摩擦力方向与运动方向相反，故该过程摩擦力做负功，由功的定义式可得：Wf＝－fx＝－140 J，故其克服阻力做的功W3＝140 J。
能力命题点一 求变力做功
所谓变力就是变化的力，因为力是矢量，所以可以是力的大小变化，也可以是力的方向变化，还可以是力的大小和方向都变化，求解变力做功的方法一般有以下五种：
方法
以例说法
方法总结
应用动
能定理
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgL(1－cosθ)＝0，得
WF＝mgL(1－cosθ)
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功，也适用于求变力做功。用动能定理可由动能的变化来求功，是求变力做功的首选
等效
转换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·－
变力做功一般难以直接求解，但若通过转换研究的对象，有时可化为求恒力做功，用W＝Flcosα求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中
微元法
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将求变力做功转化为求在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题
平均
力法
弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝·(x2－x1)
若力的方向不变，而大小随位移(注意不是随时间)均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为＝的恒力作用，然后用公式W＝lcosα求此变力所做的功
图象法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，Fx图线与x轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
在Fx图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负。此方法适用于求图线所围图形规则的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)
某人从井中匀速提水，水面距井口h＝10 m，水和桶共重200 N，提桶的绳长10 m，重20 N，求每提一桶水人做的功。
解析 解法一：作出Fx图象如图所示，则图线与坐标轴包围的面积值就是人做功的数值，所以每提一桶水人做的功为：W＝×(200 N＋220 N)×10 m＝2.1×103 J。
解法二：由于力随位移线性变化，所以可先求出拉力的平均值为＝×(200 N＋220 N)＝210 N，则拉力所做的功为W＝x＝210 N×10 m＝2.1×103 J。
答案 2.1×103 J
求解变力做功的两种思路
(1)直接求解：根据变力做功情况采用合适方法直接求功。
(2)间接求解
①根据能量变化和其他力做功情况来间接求变力做功，因为功是能转化的量度。例如用动能定理或能量守恒定律等求解。
②若功率恒定或平均功率已知，可用W＝Pt求解。例如机车以恒定功率启动的过程，牵引力做的功W＝Pt。(见本讲能力命题点二)
1．如图所示，某力F＝10 N作用于半径R＝1 m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为( )
A．0 J B．20π J
C．10 J D．20 J
答案 B
解析 转盘转动过程中，力F的方向总是与该点切线方向一致，即F与转盘上该点转过的每个极小位移Δx1、Δx2、Δx3、…、Δxn都同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：W＝F(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…＋Δxn)＝F·2πR＝10×2π J＝20π J，故B正确。
2．如图所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F的大小随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆。则小物块运动到x0处时F所做的总功为( )
A．0 B．Fmx0
C．Fmx0 D．x
答案 C
解析 在Fx图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，面积S＝＝＝Fm·＝Fmx0＝x，所以C正确。
3．用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是( )
A．(－1)d B．(－1)d
C． D．d
答案 B
解析 铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功。由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得：W＝F1d＝d，W＝F2d′＝d′，联立解得d′＝(－1)d。
4．如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
A．mgR B．mgR
C．mgR D．mgR
答案 C
解析 小球从P运动到Q，根据动能定理得mgR－Wf＝mv2，在Q点，FN－mg＝m，其中FN＝2mg，联立可得Wf＝mgR，C正确。
5. 人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m＝50 kg的物体，如图所示，开始绳与水平方向的夹角为60°，当人匀速提起重物由A点沿水平方向运动s＝2 m而到达B点，此时绳与水平方向成30°角，求人对绳的拉力做了多少功？(g取10 m/s2)
答案 732 J
解析 设滑轮距人拉绳的作用点的高度为h，则：
h(cot30°－cot60°)＝s
人由A走到B的过程中，重物上升的高度Δh等于滑轮右侧绳子增加的长度，即：Δh＝－
人对绳子做的功为：
W＝mg·Δh＝mgs(－1)＝1000(－1) J≈732 J。
基础命题点二 功率的理解与计算
1．功率
(1)定义：功W与完成这些功所用时间t的比值叫做功率，功率的符号为P。
(2)定义式：P＝。
2．功率的计算
(1)平均功率的计算方法
①利用＝。
②利用＝F·cosα，其中为物体运动的平均速度，F为恒力，α为F与的夹角。
(2)瞬时功率的计算方法
利用公式P＝F·vcosα，其中v为瞬时速度，α为F与v的夹角。分解方法有以下两种：
①P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
②P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。
如图所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球。在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点。在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是( )
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先增大，后减小
D．先减小，后增大
解析 解法一：数学解析法
因小球速率不变，所以小球以O点为圆心做匀速圆周运动，受力如图所示。设绳与竖直方向的夹角为θ，则在切线方向上应有：mgsinθ＝Fcosθ，拉力F的瞬时功率P＝Fvcosθ＝mgvsinθ。小球从A运动到B的过程中，拉力的瞬时功率随θ的增大而增大，A正确。
解法二：转化法
因小球的动能始终不变，故拉力F的瞬时功率就等于克服重力做功的瞬时功率，即P＝－PG＝－mgv·cos(90°＋θ)＝mgvsinθ。小球从A运动到B的过程中，拉力的瞬时功率随θ的增大而增大，A正确。
答案 A
计算功率时的注意事项
(1)要明确是一个力对物体做功的功率，还是合外力对物体做功的功率；是动力还是阻力，是恒力还是变力。不同情况应选择不同的公式。
(2)要明确所求的功率是平均功率还是瞬时功率，二者计算公式不同。
(3)求平均功率时，应明确是哪个力在哪一段时间内的平均功率；求瞬时功率时，应明确是哪个力在哪一时刻的瞬时功率。
1．关于功率，以下说法中正确的是( )
A．据P＝可知，机器做功越多，其功率就越大
B．据P＝Fv可知，汽车牵引力一定与速度成反比
C．据P＝可知，只要知道时间t内机器所做的功，就可以求得这段时间内任一时刻机器做功的功率
D．根据P＝Fv可知，发动机功率一定时，在一定阶段交通工具的牵引力与运动速度成反比
答案 D
解析 由P＝可知，功率P由W、t同时决定，做功越多，时间不知，所以功率不一定越大，A错误；由P＝求出来的是平均功率，C错误；由P＝Fv可知，当功率一定时，在一定阶段牵引力与速度成反比，若功率变化，则牵引力与速度不成反比，B错误，D正确。
2．从空中某点以速度v0水平抛出一个质量为m的石块，不计空气阻力，当其竖直分位移与水平分位移大小相等时，石块所受重力的瞬时功率为( )
A．mgv0 B．2mgv0
C．mgv0 D．0
答案 B
解析 根据竖直分位移与水平分位移大小相等，即v0t＝gt2，可得t＝，则此时竖直方向的速度vy＝gt＝2v0，石块所受重力的瞬时功率P＝mgvy＝2mgv0，B正确。
3．质量为2 kg的物体做自由落体运动，经过2 s落地，取g＝10 m/s2。关于重力做功的功率，下列说法正确的是( )
A．下落过程中重力的平均功率是400 W
B．下落过程中重力的平均功率是100 W
C．落地前的瞬间，重力的瞬时功率是400 W
D．落地前的瞬间，重力的瞬时功率是200 W
答案 C
解析 根据h＝gt2＝×10×4 m＝20 m，则重力做功的平均功率＝＝ W＝200 W，故A、B错误；落地时物体的速度v＝gt＝10×2 m/s＝20 m/s，则重力做功的瞬时功率P＝mgv＝20×20 W＝400 W，故C正确，D错误。
能力命题点二 机车启动问题
1．模型一：以恒定功率启动
(1)动态过程
(2)这一过程的Pt图象和vt图象如图所示：
2．模型二：以恒定加速度启动
(1)动态过程
(2)这一过程的Pt图象和vt图象如图所示：
汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为5×103 kg，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重力的0.1倍(g取10 m/s2)，试求：
(1)若汽车保持额定功率不变从静止启动，汽车所能达到的最大速度是多大？当汽车的加速度为2 m/s2时速度是多大？
(2)若汽车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
解析 汽车运动中所受阻力大小为Ff＝0.1mg①
(1)当a＝0时速度最大，牵引力等于Ff，则最大速度vmax＝②
联立①②式并代入数据得
vmax＝12 m/s
设汽车加速度为2 m/s2时牵引力为F1，
由牛顿第二定律得F1－Ff＝ma③
此时汽车速度v1＝④
联立①③④式并代入数据得v1＝4 m/s。
(2)当汽车以加速度a′＝0.5 m/s2匀加速运动时，设牵引力为F2，
由牛顿第二定律得F2－Ff＝ma′⑤
汽车匀加速过程所能达到的最大速度vt＝⑥
联立①⑤⑥式并代入数据解得t＝＝16 s。
答案 (1)12 m/s 4 m/s (2)16 s
四个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v0＝
(4)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小或时间。
1．质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为时，汽车的瞬时加速度的大小为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 当汽车匀速行驶时，有Ff＝F＝，根据P＝F′·，得F′＝，由牛顿第二定律得a＝＝＝，故B正确。
2．(2019·重庆八中高考模拟)一辆汽车质量为1×103 kg，额定功率为2×104 W，在水平路面由静止开始做直线运动，最大速度为v2，运动中汽车所受阻力恒定，其行驶过程中牵引力F与车速的倒数的关系如图所示。则( )
A．图线AB段汽车匀速运动
B．图线BC段汽车做匀加速运动
C．整个过程中汽车的最大加速度为2 m/s2
D．当汽车的速度为5 m/s时发动机的功率为2×104 W
答案 C
解析 AB段汽车的牵引力不变，根据牛顿第二定律，加速度不变，做匀加速直线运动，故A错误；BC段图线的斜率表示汽车的功率，功率不变，知汽车达到额定功率，当速度增大时，牵引力减小，则加速度减小，汽车做加速度减小的加速运动，到达C点加速度为零，做匀速直线运动，故B错误；在整个运动过程中，AB段的加速度最大，在C点牵引力等于阻力，f＝1000 N，则最大加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2，故C正确；在B点汽车的速度v＝＝ m/s＝ m/s>5 m/s，知汽车速度为5 m/s时发动机的功率小于2×104 W，故D错误。
3．某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究，他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为vt图象，如图所示(除2～10 s时间段内的图象为曲线外，其余时间段图象均为直线)。已知小车运动的过程中，2～14 s时间段内小车的功率保持不变，在14 s末停止遥控而让小车自由滑行。小车的质量为1 kg，可认为在整个过程中小车所受到的阻力大小不变。求：
(1)小车所受到的阻力大小及0～2 s时间内电动机提供的牵引力大小；
(2)小车匀速行驶阶段的功率；
(3)小车在0～10 s运动过程中位移的大小。
答案 (1)0.75 N 1.25 N (2)2.25 W (3)19.7 m
解析 (1)由图象可得，在14～18 s内：
a3＝＝ m/s2＝－0.75 m/s2
小车受到阻力大小：
f＝m|a3|＝0.75 N
在0～2 s内：
a1＝＝ m/s2＝0.5 m/s2
由F－f＝ma1得，电动机提供的牵引力大小
F＝ma1＋f＝1.25 N
即小车所受到的阻力大小为0.75 N,0～2 s时间内电动机提供的牵引力大小为1.25 N。
(2)在10～14 s内小车做匀速直线运动，F′＝f
故小车匀速行驶阶段的功率：
P＝F′v＝0.75×3 W＝2.25 W。
(3)根据速度—时间图象与时间轴围成的“面积”等于物体的位移，可得
0～2 s内，x1＝×2×1 m＝1 m
2～10 s内，根据动能定理有：
Pt－fx2＝mv2－mv
解得：x2＝18.7 m
故小车在加速过程中的位移为：
x＝x1＋x2＝19.7 m
即小车在0～10 s运动过程中位移的大小为19.7 m。
课时作业
1．引体向上是中学生体育测试的项目之一，引体向上运动的吉尼斯世界纪录是53次/分钟。若某中学生在30秒内完成12次引体向上，该学生此过程中克服重力做功的平均功率最接近于( )
A．400 W B．100 W
C．20 W D．5 W
答案 B
解析 学生体重约为50 kg，每次引体向上上升高度约为0.5 m，引体向上一次克服重力做功为W＝mgh＝50×10×0.5 J＝250 J，全过程克服重力做功的平均功率为＝＝＝100 W，故B正确。
2．一辆正沿平直路面行驶的车厢内，一个面向车前进方向站立的人对车厢壁施加水平推力F，在车前进s的过程中，下列说法正确的是( )
A．当车匀速前进时，人对车做的总功为正功
B．当车加速前进时，人对车做的总功为负功
C．当车减速前进时，人对车做的总功为负功
D．不管车如何运动，人对车做的总功都为零
答案 B
解析 当车匀速前进时，人对车的合力为零，人对车做的总功为零，故A错误；当车加速前进时，人受车的合力向前，人对车的合力向后，所以人对车做的总功为负功，故B正确；同理可知当车减速前进时，人对车做的总功为正功，故C错误，D错误。
3．一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s。从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平方向的作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示。设在第1 s内、第2 s内、第3 s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系中正确的是( )
A．W1＝W2＝W3 B．W1
解析 根据功的计算公式W＝Fx，速度—时间图象与时间轴围成的面积代表位移x，对照力F随时间变化的图象和速度—时间图象可知：在0～1 s，力F1＝1 N，x1＝ m＝0.5 m，做功W1＝F1x1＝0.5 J；在1～2 s，力F2＝3 N，x2＝ m＝0.5 m，做功W2＝F2x2＝1.5 J；在2～3 s，力F3＝2 N，x3＝1×1 m＝1 m，做功W3＝F3x3＝2 J，所以有W3>W2>W1，B正确。
4．如图所示，重为G的物体静止在倾角为α的粗糙斜面体上，现使斜面体向右做匀速直线运动，通过的位移为x，物体相对斜面体一直保持静止，则在这个过程中( )
A．弹力对物体做功为Gxcosα
B．静摩擦力对物体做功为Gxsinα
C．重力对物体做功为Gx
D．合力对物体做功为0
答案 D
解析 分析物体的受力情况：重力G、弹力N和摩擦力f，如图所示。根据平衡条件，有：N＝Gcosα，f＝Gsinα，重力与位移垂直，做功为零，C错误；静摩擦力f与位移的夹角为α，所以静摩擦力对物体做功为：Wf＝fxcosα＝Gxsinαcosα，斜面对物体的弹力做功为：WN＝Nxcos(90°＋α)＝－Gxsinαcosα，故A、B错误；因物体做匀速运动，根据动能定理可知，合外力做功为零，故D正确。
5．如图，分别用力F1、F2、F3将质量为m的物体由静止沿同一固定粗糙斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端。在此过程中，F1、F2、F3做功的功率大小关系是( )
A．P1＝P2＝P3 B．P1>P2＝P3
C．P3>P2>P1 D．P2>P1>P3
答案 D
解析 物体的加速度相同，说明物体受到的合力相同，物体在运动过程中，受到拉力F、重力mg、摩擦力f，摩擦力f＝μFN，根据题意可知，f2>f1>f3，由于物体的加速度相同，所以F2cosα>F1>F3cosα，由于斜面的长度相同，物体的加速度相同，所以物体到达顶端的时候速度的大小也是相同的，平均速度也相同，根据P＝F沿斜面·可知，P2>P1>P3，D正确。
6．(多选)一质量为1 kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时刻开始，受到水平外力F作用，如图所示。下列判断正确的是( )
A．0～2 s内外力的平均功率是4 W
B．第2 s内外力所做的功是4 J
C．第2 s末外力的瞬时功率最大
D．第1 s末与第2 s末外力的瞬时功率之比为9∶4
答案 AD
解析 第1 s末质点的速度v1＝t1＝×1 m/s＝3 m/s，第2 s末质点的速度v2＝v1＋t2＝3＋×1 m/s＝4 m/s，则第2 s内外力做功W2＝mv－mv＝3.5 J，0～2 s内外力所做的功等于质点动能的增量，则外力的平均功率P＝＝ W＝4 W，A正确，B错误；第1 s末外力的瞬时功率P1＝F1v1＝3×3 W＝9 W，第2 s末外力的瞬时功率P2＝F2v2＝1×4 W＝4 W，故P1∶P2＝9∶4，C错误，D正确。
7．如图所示，斜面AB、DB动摩擦因数相同，可视为质点的物体分别沿AB、DB从斜面顶端由静止下滑到底端，下列说法正确的是( )
A．物体沿斜面AB滑动过程中克服摩擦力做的功较多
B．物体沿斜面DB滑动过程中克服摩擦力做的功较多
C．物体沿斜面AB滑动到底端时动能较大
D．物体沿斜面DB滑动到底端时合力做功较大
答案 C
解析 设底边的长度为L，斜面的倾角为θ，则物体沿斜面下滑过程中克服摩擦力做功Wf＝μmgcosθ·＝μmgL，知物体沿斜面AB、DB滑动过程中克服摩擦力做功相等，A、B错误；根据动能定理得mgh－μmgcosθ·＝mv2－0，整理得mgh－μmgL＝mv2，知斜面高度越高，合外力对物体做功越大，物体到达底端时的动能越大，C正确，D错误。
8. (多选)如图所示，n个完全相同(n足够大)、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。若小方块恰能全部进入粗糙水平面，则所有小方块克服摩擦力做的功为( )
A．Mv2 B．Mv2
C．μMgl D．μMgl
答案 AC
解析 小方块恰能完全进入粗糙水平面，说明小方块进入粗糙水平面后速度为零。以所有小方块为研究对象，由动能定理可知，所有小方块克服摩擦力做功Wf＝Mv2，A正确，B错误；设进入粗糙水平面的距离为x，则f＝μgx，f与x成正比，＝μMg，所以Wf＝l＝μMgl，C正确，D错误。
9．(多选)汽车以恒定功率P、初速度v0冲上倾角一定的斜坡时，汽车受到的阻力恒定不变，则汽车上坡过程的vt图象可能是选项图中的( )
答案 BCD
解析 由瞬时功率P＝Fv可知，汽车功率恒定，汽车开始所受牵引力F＝，若汽车冲上斜坡后，牵引力与汽车所受阻力相等，则汽车做匀速运动，B项中vt图象是可能的；若牵引力大于阻力，则汽车做加速运动，随着速度的增大，牵引力减小，而汽车所受阻力不变，由牛顿第二定律可知，汽车的加速度减小，直至减小到零，C项中vt图象是可能的，A项中vt图象是不可能的；若牵引力小于阻力，则汽车做减速运动，牵引力增大，汽车所受阻力不变，由牛顿第二定律可知，汽车的加速度减小，直至减小到零，D项中vt图象是可能的。故选B、C、D。
10．(2018·全国卷Ⅲ)(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程( )
A．矿车上升所用的时间之比为4∶5
B．电机的最大牵引力之比为2∶1
C．电机输出的最大功率之比为2∶1
D．电机所做的功之比为4∶5
答案 AC
解析 设第②次所用时间为t，根据速度图象与t轴所围的面积等于位移(此题中为提升的高度)可知，×2t0×v0＝××v0，解得：t＝，所以第①次和第②次提升过程所用时间之比为2t0∶＝4∶5，A正确；由于两次提升变速阶段的加速度大小相同，在匀加速阶段，由牛顿第二定律，F－mg＝ma，可得提升的最大牵引力之比为1∶1，B错误；由功率公式P＝Fv，电机输出的最大功率之比等于最大速度之比，为2∶1，C正确；两次提升过程中动能增加量均为0，由动能定理得W电－mgh＝0，两次提升高度h相同，所以电机两次做功相同，D错误。
11．(2018·江苏高考)(多选)如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为弹簧在原长时物块的位置。物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B点。在从A到B的过程中，物块( )
A．加速度先减小后增大
B．经过O点时的速度最大
C．所受弹簧弹力始终做正功
D．所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功
答案 AD
解析 物体从A点到O点的过程，弹力逐渐减为零，刚开始弹簧弹力大于摩擦力，故可分为弹力大于摩擦力过程和弹力小于摩擦力过程：弹力大于摩擦力过程，合力向右，加速度也向右，由于弹力逐渐减小，摩擦力不变，物块所受合力逐渐减小，加速度逐渐减小，当弹力等于摩擦力时速度最大，此位置在A点与O点之间；弹力小于摩擦力过程，合力方向与运动方向相反，弹力减小，摩擦力大小不变，物体所受合力增大，物体的加速度随弹簧形变量的减小而增大，方向向左，物体做减速运动；从O点到B点的过程弹力增大，合力向左，加速度继续增大，A正确、B错误；从A点到O点过程，弹簧由压缩恢复原长，弹力做正功，从O点到B点的过程，弹簧被拉伸，弹力做负功，故C错误；从A到B的过程中根据动能定理弹簧弹力做的功等于物体克服摩擦力做的功，故D正确。
12．(2016·天津高考)(多选)我国高铁技术处于世界领先水平。和谐号动车组是由动车和拖车编组而成的，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车厢叫拖车。假设动车组各车厢质量均相等，动车的额定功率都相同，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比。某列动车组由8节车厢组成，其中第1、5节车厢为动车，其余为拖车，则该动车组( )
A．启动时乘客受到车厢作用力的方向与车运动的方向相反
B．做匀加速运动时，第5、6节与第6、7节车厢间的作用力之比为3∶2
C．进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比
D．与改为4节动车带4节拖车的动车组最大速度之比为1∶2
答案 BD
解析 启动时，动车组做加速运动，加速度方向向前，乘客受到竖直向下的重力和车厢对乘客的作用力，由牛顿第二定律可知，这两个力的合力方向向前，所以启动时乘客受到车厢作用力的方向一定倾斜向前，A错误。设每节车厢质量为m，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比，则有每节车厢所受阻力f＝kmg；设动车组匀加速直线运动的加速度为a，每节动车的牵引力为F，对8节车厢组成的动车组整体，由牛顿第二定律得，2F－8f＝8ma；设第5节车厢对第6节车厢的拉力为F5，把第6、7、8节车厢作为整体进行受力分析，由牛顿第二定律得，F5－3f＝3ma，解得F5＝；设第6节车厢对第7节车厢的拉力为F6，把第7、8节车厢作为整体进行受力分析，由牛顿第二定律得，F6－2f＝2ma，解得F6＝；则F5∶F6＝∶＝3∶2，B正确。关闭发动机后，动车组在阻力作用下滑行，由匀变速直线运动规律，滑行距离x＝，与关闭发动机时速度的二次方成正比，C错误。设每节动车的额定功率为P，当有2节动车带6节拖车时，2P＝8f·v1m；当改为4节动车带4节拖车时，4P＝8f·v2m；联立解得v1m∶v2m＝1∶2，D正确。
13．(2015·全国卷Ⅱ)一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小f恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是( )
答案 A
解析 在vt图象中，图线的斜率代表汽车运动时的加速度，由牛顿第二定律可得：在0～t1时间内，－f＝ma，当速度v不变时，加速度a为零，在vt图象中为一条水平线；当速度v变大时，加速度a变小，在vt图象中为一条斜率逐渐减小的曲线，B、D错误。同理，在t1～t2时间内，－f＝ma，图象变化情况与0～t1时间内情况相似，由于汽车在运动过程中速度不会发生突变，故C错误，A正确。
14. (2020·四川绵阳高三上学期一诊)(多选)一辆汽车从静止开始以恒定功率P启动，若汽车行驶过程中受到的阻力恒定，其加速度与速度的倒数的关系如图所示，图象斜率为k，横截距为b，则( )
A．汽车所受阻力为
B．汽车的质量为
C．汽车的最大速度为
D．汽车从静止到获得最大速度的时间为
答案 BC
解析 当加速度为零时，速度最大，由图象知：＝b，解得汽车的最大速度为：vm＝，汽车受到的阻力为：f＝＝Pb，故A错误，C正确。汽车从静止开始启动时，由P＝Fv及F－f＝ma得：a＝·－，故图象的斜率k＝，解得：m＝，故B正确。汽车以恒定功率启动，做加速度减小的加速运动，根据已知条件无法求出从静止到获得最大速度的时间，故D错误。
15．(2019·天津高考模拟)(多选)如图所示，某中学科技小组制作了利用太阳能驱动小车的装置。当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机带动小车前进。小车在平直的公路上由静止开始匀加速行驶，经过时间t，速度为v时功率达到额定功率，并保持不变；小车又继续前进了距离s，达到最大速度vm。设小车的质量为m，运动过程所受阻力恒为f，则( )
A．小车的额定功率为fvm
B．小车的额定功率为fv
C．小车做匀加速直线运动时的牵引力为f＋
D．小车速度由零至vm的过程，牵引力做功为mv＋fs＋
答案 ACD
解析 小车启动过程中，当功率达到额定功率、牵引力等于阻力时，速度达到最大值vm，则额定功率P＝Fvm＝fvm，故A正确，B错误；小车在时间t内从静止开始做匀加速直线运动，达到速度v，故有a＝，由牛顿第二定律得：F－f＝ma＝m，解得：F＝f＋m，故C正确；小车速度由零至vm的过程，由动能定理可得：WF－ft＋s＝mv，故牵引力做功为WF＝ft＋s＋mv＝ft＋s＋mv，故D正确。
16．(2019·江西临川高三上三校联考)(多选)某质量m＝1500 kg的“双引擎”小汽车，行驶速度v≤54 km/h时靠电动机输出动力；行驶速度在54 km/h90 km/h时汽油机和电动机同时工作，这种汽车更节能环保。该小汽车在一条平直的公路上由静止启动，汽车的牵引力F随运动时间t变化的图线如图所示，所受阻力恒为1250 N。已知汽车在t0时刻第一次切换动力引擎，以后保持恒定功率行驶至第11 s末。则在前11 s内( )
A．经过计算t0＝6 s
B．电动机输出的最大功率为60 kW
C．汽油机工作过程牵引力做的功为4.5×105 J
D．汽车的位移大小为90 m
答案 AC
解析 由题意得汽车开始阶段靠电动机工作来加速，根据牛顿运动定律有：F1－f＝ma，解得：a＝2.5 m/s2，由题意可知t0时刻的速度为v1＝15 m/s，由v1＝at0得：t0＝6 s，A正确；t0时刻，电动机输出的最大功率Pm＝F1v1＝75 kW，B错误；t0时刻切换动力引擎，汽油机开始工作，P＝F2v1＝90 kW，由P＝F3v2得，t＝11 s时刻汽车的速度v2＝25 m/s＝90 km/h，知t＝11 s后汽车将启动双引擎工作，故后5 s内汽油机工作过程牵引力做的功W＝Pt＝4.5×105 J，C正确；汽车前6 s内的位移x1＝at＝45 m，后5 s内根据动能定理得：Pt－fx2＝mv－mv，解得：x2＝120 m，前11 s时间内汽车的位移x＝x1＋x2＝165 m，D错误。
第六章 机械能及其守恒定律
[研读考纲明方向]
考纲要求
复习指南
内容
要求
考情分析：
近几年高考对该部分内容的考查有所加强，单独命题往往以选择题形式出现，难度偏大。要求较高，综合命题的概率几乎是80%以上，是重点考查的内容之一。
命题趋势：
从近几年高考题目来看，这部分内容有所侧重，所以在2021年出现综合计算题的可能性较大，这部分内容很容易和曲线运动、电磁学等内容结合，与生产生活和现代科技相结合进行命题，在复习中应侧重对基础知识的理解和应用。
功和功率
Ⅱ
动能和动能定理
Ⅱ
重力做功与重力势能
Ⅱ
功能关系、机械能守恒定律及其应用
Ⅱ
实验五：探究动能定理
实验六：验证机械能守恒定律
[重读教材定方法]
1．P58功的表达式W＝Flcosα中的l指什么？α指什么？
提示：l指的是物体的位移；α指的是力和位移方向的夹角。
2．P59总功怎样计算？
提示：几个力对物体做的总功等于各个力分别对物体所做功的代数和，也就是这几个力的合力对物体所做的功。
3．P61汽车上坡时，应该减小速度还是增大速度？
提示：汽车上坡时需要较大的牵引力，发动机的功率P＝Fv，牵引力F要增大，则需要减小速度v。
4．P63[问题与练习]T3。
提示：错在前提条件不同，分析时首先要控制变量。
5．P64“重力做的功”一段，重力做功有什么特点？
提示：与物体运动的路径无关，只与物体运动的起点和终点位置有关。
6．P65重力势能的正负表示大小吗？
提示：表示大小。重力势能为正，表示比选定的参考平面上的重力势能大；重力势能为负，表示比选定的参考平面上的重力势能小。
7．P66为什么说势能是系统所共有的？
提示：任何形式的势能，都是物体系统由于其中各物体之间，或物体内的各部分之间存在相互作用(力)而具有的能，是由各物体的相对位置决定的，因此是系统所共有的。
8．P66[问题与练习]T1，物体在几个斜面运动的时间有何关系？若斜面底边长度相等，倾角不同，重力做功有何关系？
提示：高度相同，倾角越小，则物体在斜面上运动的时间越长；若斜面底边长度相等，倾角越大，斜面高度越大，物体从斜面顶端运动到底端重力做功越大。
9．P70参考案例二中应该注意什么问题？
提示：橡皮筋完全相同，每次小车运动初始位置相同。
10．P71[说一说]。
提示：当重物的质量远远小于小车的质量时，可以近似用重物的重量G代表小车受到的牵引力F。
11．P72动能是标量，有正负吗？
提示：动能没有正负。
12．P74[问题与练习]T3，若后面还有同样木板，根据什么判断能否穿过？题目中所说的“平均阻力”中“平均”如何理解？
提示：根据子弹射穿木板克服阻力需要做的功的大小判断能否继续穿过后面同样的木板。“平均”是阻力在运动过程中位移(路程)上的平均。
13．P77[例题]若悬点下方有一钉子挡住，结果如何？
提示：小球运动到最低位置时的速度与没有钉子挡住时相同，但小球运动到最低位置时绳子上的拉力增大。
14．P79实验误差的主要来源在哪里？
提示：主要来源于纸带和打点计时器间的摩擦力和空气阻力。
第23讲 功 功率
基础命题点一 功的正负的判断与计算
1．做功的两个必要条件：力和物体在力的方向上发生的位移。
2．公式：W＝Flcosα。适用于恒力做功。其中l为物体对地的位移，α为F、l的夹角。
3．功的正负判断
(1)当0≤α<90°时，W>0，表示力对物体做正功。
(2)当90°<α≤180°时，W<0，表示力对物体做负功，或说物体克服该力做功。
(3)当α＝90°时，W＝0，表示力对物体不做功。
(4)曲线运动中做功正负的判断：依据合力F合与v的方向的夹角α来判断。0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。
功是标量，正负号不表示方向，只表示是动力做功还是阻力做功；正负号不表示大小，比较做功多少看功的绝对值。
4．总功的计算方法
(1)若各力都是恒力，可以先求F合，再用公式W总＝F合lcosα 计算，或者用W总＝W1＋W2＋W3＋…来求总功。
(2)若有变力做功，则一般用W总＝W1＋W2＋W3＋…。
一物体静止在粗糙水平地面上。现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v。若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v。对于上述两个过程，用WF1、WF2分别表示拉力F1、F2所做的功，Wf1、Wf2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则( )
A．WF2＞4WF1，Wf2＞2Wf1
B．WF2＞4WF1，Wf2＝2Wf1
C．WF2＜4WF1，Wf2＝2Wf1
D．WF2＜4WF1，Wf2＜2Wf1
解析 因为两个过程经过同样的时间t，所以根据x＝t得，两过程的位移关系x1＝x2，再根据x＝at2，得两过程的加速度关系为a1＝。由于在相同的粗糙水平地面上运动，故两过程的摩擦力大小相等，即Ff1＝Ff2＝Ff，根据牛顿第二定律得，F1－Ff1＝ma1，F2－Ff2＝ma2，联立解得F1＝F2＋Ff，即F1>。根据功的计算公式W＝Fl，可知Wf1＝Wf2，WF1>WF2，C正确，A、B、D错误。
答案 C
功的分析和计算
(1)几种力做功比较
①重力、弹簧弹力、电场力、分子力做功与初末位置有关，与路径无关。
②滑动摩擦力、空气阻力、安培力做功与路径有关。
③摩擦力做功有以下特点：
a．单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力)可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
b．相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值。
c．相互作用的一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能转移和机械能转化为内能，内能Q＝Ffx相对。
(2)一对作用力与反作用力的功
做功情形
图例
备注
都做正功
①一对相互作用力做的总功与参考系无关
②一对相互作用力做的总功W＝Flcosα，l是相对位移，α是F与l间的方向夹角
③一对相互作用力做的总功可正、可负，也可为零
都做负功
一正一负
一为零
一为正
一为负
1．(人教版必修2 P59·T1改编)在水平粗糙地面上，使同一物体由静止开始做匀加速直线运动，第一次是斜向上拉，第二次是斜下推，两次力的作用线与水平方向的夹角相同，力的大小也相同，位移大小也相同，则( )
A．力F对物体做的功相同，合力对物体做的总功也相同
B．力F对物体做的功相同，合力对物体做的总功不相同
C．力F对物体做的功不相同，合力对物体做的总功相同
D．力F对物体做的功不相同，合力对物体做的总功也不相同
答案 B
解析 由W＝Flcosθ知，由于两种情况下力的大小、位移的大小和力与位移之间的夹角相同，故力F两种情况下对物体做功一样多；物体在粗糙水平面上运动时会受到阻力的作用，两种情况下物体对地面的压力不同，所以滑动摩擦力的大小也不同，导致水平方向的合力也不同，由牛顿第二定律可以知道，当斜向上拉时，合力F1＝Fcosθ－μ(mg－Fsinθ)，当斜下推时，合力F2＝Fcosθ－μ(mg＋Fsinθ)，很明显合力F1>F2，由于水平方向的位移相同，故第一次合力对物体做的总功大于第二次合力对物体做的总功；故A、C、D错误，B正确。
2．[教材母题] (人教版必修2 P60·T4)一个重量为10 N的物体，在15 N的水平拉力的作用下，一次在光滑水平面上移动0.5 m，另一次在粗糙水平面上移动相同的距离，粗糙面与物体间的动摩擦因数为0.2。在这两种情况下，拉力做的功各是多少？拉力这两次做的功是否相同？各个力对物体做的总功是否相同？
[变式子题] (多选)一个重量为10 N的物体，在15 N的水平拉力的作用下，一次在光滑水平面上移动0.5 m，另一次在粗糙水平面上移动相同的距离，粗糙面与物体间的动摩擦因数为0.2，下面说法正确的是( )
A．在光滑水平面上移动时，水平拉力做功为7.5 J
B．在粗糙水平面上移动时水平拉力做功比在光滑水平面上时的小
C．在粗糙水平面上移动时，各个力对物体做的总功为6.5 J
D．在光滑水平面上移动时各个力对物体做的总功与在粗糙水平面上移动时的相同
答案 AC
解析 由功的定义式W＝Flcosα，α＝0°，代入数据可得，无论在光滑水平面上移动还是在粗糙水平面上移动，水平拉力做功都是W＝Fl＝15 N×0.5 m＝7.5 J，故A正确，B错误；物体在光滑水平面上移动时，只有水平拉力做功，W总＝W＝7.5 J，物体在粗糙水平面上移动时，水平拉力和滑动摩擦力对物体做功，W总′＝W＋Wf，Wf＝－μGl＝－1 J，代入数据得W总′＝6.5 J，故C正确，D错误。
3．如图所示，A、B叠放在一起，A用绳系在固定的墙上， 用力F将B拉着右移。用F拉、FAB、FBA分别表示绳子的拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，则下列说法中正确的是( )
A．F做正功，FAB做负功，FBA做正功，F拉不做功
B．F和FBA做正功，FAB和F拉做负功
C．F做正功，FAB做负功，FBA和F拉不做功
D．F做正功，其他力都不做功
答案 C
解析 根据W＝Flcosα可知，力F作用点的位移不为零且与F方向相同，所以F做正功；绳子的拉力F拉的作用点的位移为零，所以F拉不做功；FBA作用点的位移为零，所以FBA不做功；FAB作用点的位移不为零，且与FAB方向相反，所以FAB做负功。故选C。
4．如图所示，用50 N的力拉一个质量为10 kg的物体在水平地面上由静止前进了10 m。已知该物体与水平面间动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
(1)重力G做的功W1；
(2)拉力F做的功W2；
(3)物体克服阻力做的功W3。
答案 (1)0 J (2)400 J (3)140 J
解析 (1)由功的定义式可知，在物体运动过程中，由于其所受重力与其位移始终垂直，故重力不做功，即：
W1＝0 J。
(2)由功的定义式可知拉力F做的功
W2＝Fxcos37°＝400 J。
(3)由滑动摩擦力公式可知，该过程物体所受的摩擦力为：f＝μFN＝μ(mg－Fsin37°)＝14 N，由于滑动摩擦力方向与运动方向相反，故该过程摩擦力做负功，由功的定义式可得：Wf＝－fx＝－140 J，故其克服阻力做的功W3＝140 J。
能力命题点一 求变力做功
所谓变力就是变化的力，因为力是矢量，所以可以是力的大小变化，也可以是力的方向变化，还可以是力的大小和方向都变化，求解变力做功的方法一般有以下五种：
方法
以例说法
方法总结
应用动
能定理
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgL(1－cosθ)＝0，得
WF＝mgL(1－cosθ)
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功，也适用于求变力做功。用动能定理可由动能的变化来求功，是求变力做功的首选
等效
转换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·－
变力做功一般难以直接求解，但若通过转换研究的对象，有时可化为求恒力做功，用W＝Flcosα求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中
微元法
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将求变力做功转化为求在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题
平均
力法
弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝·(x2－x1)
若力的方向不变，而大小随位移(注意不是随时间)均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为＝的恒力作用，然后用公式W＝lcosα求此变力所做的功
图象法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，Fx图线与x轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
在Fx图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负。此方法适用于求图线所围图形规则的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)
某人从井中匀速提水，水面距井口h＝10 m，水和桶共重200 N，提桶的绳长10 m，重20 N，求每提一桶水人做的功。
解析 解法一：作出Fx图象如图所示，则图线与坐标轴包围的面积值就是人做功的数值，所以每提一桶水人做的功为：W＝×(200 N＋220 N)×10 m＝2.1×103 J。
解法二：由于力随位移线性变化，所以可先求出拉力的平均值为＝×(200 N＋220 N)＝210 N，则拉力所做的功为W＝x＝210 N×10 m＝2.1×103 J。
答案 2.1×103 J
求解变力做功的两种思路
(1)直接求解：根据变力做功情况采用合适方法直接求功。
(2)间接求解
①根据能量变化和其他力做功情况来间接求变力做功，因为功是能转化的量度。例如用动能定理或能量守恒定律等求解。
②若功率恒定或平均功率已知，可用W＝Pt求解。例如机车以恒定功率启动的过程，牵引力做的功W＝Pt。(见本讲能力命题点二)
1．如图所示，某力F＝10 N作用于半径R＝1 m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为( )
A．0 J B．20π J
C．10 J D．20 J
答案 B
解析 转盘转动过程中，力F的方向总是与该点切线方向一致，即F与转盘上该点转过的每个极小位移Δx1、Δx2、Δx3、…、Δxn都同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：W＝F(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…＋Δxn)＝F·2πR＝10×2π J＝20π J，故B正确。
2．如图所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F的大小随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆。则小物块运动到x0处时F所做的总功为( )
A．0 B．Fmx0
C．Fmx0 D．x
答案 C
解析 在Fx图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，面积S＝＝＝Fm·＝Fmx0＝x，所以C正确。
3．用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是( )
A．(－1)d B．(－1)d
C． D．d
答案 B
解析 铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功。由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得：W＝F1d＝d，W＝F2d′＝d′，联立解得d′＝(－1)d。
4．如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
A．mgR B．mgR
C．mgR D．mgR
答案 C
解析 小球从P运动到Q，根据动能定理得mgR－Wf＝mv2，在Q点，FN－mg＝m，其中FN＝2mg，联立可得Wf＝mgR，C正确。
5. 人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m＝50 kg的物体，如图所示，开始绳与水平方向的夹角为60°，当人匀速提起重物由A点沿水平方向运动s＝2 m而到达B点，此时绳与水平方向成30°角，求人对绳的拉力做了多少功？(g取10 m/s2)
答案 732 J
解析 设滑轮距人拉绳的作用点的高度为h，则：
h(cot30°－cot60°)＝s
人由A走到B的过程中，重物上升的高度Δh等于滑轮右侧绳子增加的长度，即：Δh＝－
人对绳子做的功为：
W＝mg·Δh＝mgs(－1)＝1000(－1) J≈732 J。
基础命题点二 功率的理解与计算
1．功率
(1)定义：功W与完成这些功所用时间t的比值叫做功率，功率的符号为P。
(2)定义式：P＝。
2．功率的计算
(1)平均功率的计算方法
①利用＝。
②利用＝F·cosα，其中为物体运动的平均速度，F为恒力，α为F与的夹角。
(2)瞬时功率的计算方法
利用公式P＝F·vcosα，其中v为瞬时速度，α为F与v的夹角。分解方法有以下两种：
①P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
②P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。
如图所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球。在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点。在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是( )
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先增大，后减小
D．先减小，后增大
解析 解法一：数学解析法
因小球速率不变，所以小球以O点为圆心做匀速圆周运动，受力如图所示。设绳与竖直方向的夹角为θ，则在切线方向上应有：mgsinθ＝Fcosθ，拉力F的瞬时功率P＝Fvcosθ＝mgvsinθ。小球从A运动到B的过程中，拉力的瞬时功率随θ的增大而增大，A正确。
解法二：转化法
因小球的动能始终不变，故拉力F的瞬时功率就等于克服重力做功的瞬时功率，即P＝－PG＝－mgv·cos(90°＋θ)＝mgvsinθ。小球从A运动到B的过程中，拉力的瞬时功率随θ的增大而增大，A正确。
答案 A
计算功率时的注意事项
(1)要明确是一个力对物体做功的功率，还是合外力对物体做功的功率；是动力还是阻力，是恒力还是变力。不同情况应选择不同的公式。
(2)要明确所求的功率是平均功率还是瞬时功率，二者计算公式不同。
(3)求平均功率时，应明确是哪个力在哪一段时间内的平均功率；求瞬时功率时，应明确是哪个力在哪一时刻的瞬时功率。
1．关于功率，以下说法中正确的是( )
A．据P＝可知，机器做功越多，其功率就越大
B．据P＝Fv可知，汽车牵引力一定与速度成反比
C．据P＝可知，只要知道时间t内机器所做的功，就可以求得这段时间内任一时刻机器做功的功率
D．根据P＝Fv可知，发动机功率一定时，在一定阶段交通工具的牵引力与运动速度成反比
答案 D
解析 由P＝可知，功率P由W、t同时决定，做功越多，时间不知，所以功率不一定越大，A错误；由P＝求出来的是平均功率，C错误；由P＝Fv可知，当功率一定时，在一定阶段牵引力与速度成反比，若功率变化，则牵引力与速度不成反比，B错误，D正确。
2．从空中某点以速度v0水平抛出一个质量为m的石块，不计空气阻力，当其竖直分位移与水平分位移大小相等时，石块所受重力的瞬时功率为( )
A．mgv0 B．2mgv0
C．mgv0 D．0
答案 B
解析 根据竖直分位移与水平分位移大小相等，即v0t＝gt2，可得t＝，则此时竖直方向的速度vy＝gt＝2v0，石块所受重力的瞬时功率P＝mgvy＝2mgv0，B正确。
3．质量为2 kg的物体做自由落体运动，经过2 s落地，取g＝10 m/s2。关于重力做功的功率，下列说法正确的是( )
A．下落过程中重力的平均功率是400 W
B．下落过程中重力的平均功率是100 W
C．落地前的瞬间，重力的瞬时功率是400 W
D．落地前的瞬间，重力的瞬时功率是200 W
答案 C
解析 根据h＝gt2＝×10×4 m＝20 m，则重力做功的平均功率＝＝ W＝200 W，故A、B错误；落地时物体的速度v＝gt＝10×2 m/s＝20 m/s，则重力做功的瞬时功率P＝mgv＝20×20 W＝400 W，故C正确，D错误。
能力命题点二 机车启动问题
1．模型一：以恒定功率启动
(1)动态过程
(2)这一过程的Pt图象和vt图象如图所示：
2．模型二：以恒定加速度启动
(1)动态过程
(2)这一过程的Pt图象和vt图象如图所示：
汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为5×103 kg，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重力的0.1倍(g取10 m/s2)，试求：
(1)若汽车保持额定功率不变从静止启动，汽车所能达到的最大速度是多大？当汽车的加速度为2 m/s2时速度是多大？
(2)若汽车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
解析 汽车运动中所受阻力大小为Ff＝0.1mg①
(1)当a＝0时速度最大，牵引力等于Ff，则最大速度vmax＝②
联立①②式并代入数据得
vmax＝12 m/s
设汽车加速度为2 m/s2时牵引力为F1，
由牛顿第二定律得F1－Ff＝ma③
此时汽车速度v1＝④
联立①③④式并代入数据得v1＝4 m/s。
(2)当汽车以加速度a′＝0.5 m/s2匀加速运动时，设牵引力为F2，
由牛顿第二定律得F2－Ff＝ma′⑤
汽车匀加速过程所能达到的最大速度vt＝⑥
联立①⑤⑥式并代入数据解得t＝＝16 s。
答案 (1)12 m/s 4 m/s (2)16 s
四个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v0＝
(4)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小或时间。
1．质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为时，汽车的瞬时加速度的大小为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 当汽车匀速行驶时，有Ff＝F＝，根据P＝F′·，得F′＝，由牛顿第二定律得a＝＝＝，故B正确。
2．(2019·重庆八中高考模拟)一辆汽车质量为1×103 kg，额定功率为2×104 W，在水平路面由静止开始做直线运动，最大速度为v2，运动中汽车所受阻力恒定，其行驶过程中牵引力F与车速的倒数的关系如图所示。则( )
A．图线AB段汽车匀速运动
B．图线BC段汽车做匀加速运动
C．整个过程中汽车的最大加速度为2 m/s2
D．当汽车的速度为5 m/s时发动机的功率为2×104 W
答案 C
解析 AB段汽车的牵引力不变，根据牛顿第二定律，加速度不变，做匀加速直线运动，故A错误；BC段图线的斜率表示汽车的功率，功率不变，知汽车达到额定功率，当速度增大时，牵引力减小，则加速度减小，汽车做加速度减小的加速运动，到达C点加速度为零，做匀速直线运动，故B错误；在整个运动过程中，AB段的加速度最大，在C点牵引力等于阻力，f＝1000 N，则最大加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2，故C正确；在B点汽车的速度v＝＝ m/s＝ m/s>5 m/s，知汽车速度为5 m/s时发动机的功率小于2×104 W，故D错误。
3．某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究，他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为vt图象，如图所示(除2～10 s时间段内的图象为曲线外，其余时间段图象均为直线)。已知小车运动的过程中，2～14 s时间段内小车的功率保持不变，在14 s末停止遥控而让小车自由滑行。小车的质量为1 kg，可认为在整个过程中小车所受到的阻力大小不变。求：
(1)小车所受到的阻力大小及0～2 s时间内电动机提供的牵引力大小；
(2)小车匀速行驶阶段的功率；
(3)小车在0～10 s运动过程中位移的大小。
答案 (1)0.75 N 1.25 N (2)2.25 W (3)19.7 m
解析 (1)由图象可得，在14～18 s内：
a3＝＝ m/s2＝－0.75 m/s2
小车受到阻力大小：
f＝m|a3|＝0.75 N
在0～2 s内：
a1＝＝ m/s2＝0.5 m/s2
由F－f＝ma1得，电动机提供的牵引力大小
F＝ma1＋f＝1.25 N
即小车所受到的阻力大小为0.75 N,0～2 s时间内电动机提供的牵引力大小为1.25 N。
(2)在10～14 s内小车做匀速直线运动，F′＝f
故小车匀速行驶阶段的功率：
P＝F′v＝0.75×3 W＝2.25 W。
(3)根据速度—时间图象与时间轴围成的“面积”等于物体的位移，可得
0～2 s内，x1＝×2×1 m＝1 m
2～10 s内，根据动能定理有：
Pt－fx2＝mv2－mv
解得：x2＝18.7 m
故小车在加速过程中的位移为：
x＝x1＋x2＝19.7 m
即小车在0～10 s运动过程中位移的大小为19.7 m。
课时作业
1．引体向上是中学生体育测试的项目之一，引体向上运动的吉尼斯世界纪录是53次/分钟。若某中学生在30秒内完成12次引体向上，该学生此过程中克服重力做功的平均功率最接近于( )
A．400 W B．100 W
C．20 W D．5 W
答案 B
解析 学生体重约为50 kg，每次引体向上上升高度约为0.5 m，引体向上一次克服重力做功为W＝mgh＝50×10×0.5 J＝250 J，全过程克服重力做功的平均功率为＝＝＝100 W，故B正确。
2．一辆正沿平直路面行驶的车厢内，一个面向车前进方向站立的人对车厢壁施加水平推力F，在车前进s的过程中，下列说法正确的是( )
A．当车匀速前进时，人对车做的总功为正功
B．当车加速前进时，人对车做的总功为负功
C．当车减速前进时，人对车做的总功为负功
D．不管车如何运动，人对车做的总功都为零
答案 B
解析 当车匀速前进时，人对车的合力为零，人对车做的总功为零，故A错误；当车加速前进时，人受车的合力向前，人对车的合力向后，所以人对车做的总功为负功，故B正确；同理可知当车减速前进时，人对车做的总功为正功，故C错误，D错误。
3．一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s。从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平方向的作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示。设在第1 s内、第2 s内、第3 s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系中正确的是( )
A．W1＝W2＝W3 B．W1
解析 根据功的计算公式W＝Fx，速度—时间图象与时间轴围成的面积代表位移x，对照力F随时间变化的图象和速度—时间图象可知：在0～1 s，力F1＝1 N，x1＝ m＝0.5 m，做功W1＝F1x1＝0.5 J；在1～2 s，力F2＝3 N，x2＝ m＝0.5 m，做功W2＝F2x2＝1.5 J；在2～3 s，力F3＝2 N，x3＝1×1 m＝1 m，做功W3＝F3x3＝2 J，所以有W3>W2>W1，B正确。
4．如图所示，重为G的物体静止在倾角为α的粗糙斜面体上，现使斜面体向右做匀速直线运动，通过的位移为x，物体相对斜面体一直保持静止，则在这个过程中( )
A．弹力对物体做功为Gxcosα
B．静摩擦力对物体做功为Gxsinα
C．重力对物体做功为Gx
D．合力对物体做功为0
答案 D
解析 分析物体的受力情况：重力G、弹力N和摩擦力f，如图所示。根据平衡条件，有：N＝Gcosα，f＝Gsinα，重力与位移垂直，做功为零，C错误；静摩擦力f与位移的夹角为α，所以静摩擦力对物体做功为：Wf＝fxcosα＝Gxsinαcosα，斜面对物体的弹力做功为：WN＝Nxcos(90°＋α)＝－Gxsinαcosα，故A、B错误；因物体做匀速运动，根据动能定理可知，合外力做功为零，故D正确。
5．如图，分别用力F1、F2、F3将质量为m的物体由静止沿同一固定粗糙斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端。在此过程中，F1、F2、F3做功的功率大小关系是( )
A．P1＝P2＝P3 B．P1>P2＝P3
C．P3>P2>P1 D．P2>P1>P3
答案 D
解析 物体的加速度相同，说明物体受到的合力相同，物体在运动过程中，受到拉力F、重力mg、摩擦力f，摩擦力f＝μFN，根据题意可知，f2>f1>f3，由于物体的加速度相同，所以F2cosα>F1>F3cosα，由于斜面的长度相同，物体的加速度相同，所以物体到达顶端的时候速度的大小也是相同的，平均速度也相同，根据P＝F沿斜面·可知，P2>P1>P3，D正确。
6．(多选)一质量为1 kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时刻开始，受到水平外力F作用，如图所示。下列判断正确的是( )
A．0～2 s内外力的平均功率是4 W
B．第2 s内外力所做的功是4 J
C．第2 s末外力的瞬时功率最大
D．第1 s末与第2 s末外力的瞬时功率之比为9∶4
答案 AD
解析 第1 s末质点的速度v1＝t1＝×1 m/s＝3 m/s，第2 s末质点的速度v2＝v1＋t2＝3＋×1 m/s＝4 m/s，则第2 s内外力做功W2＝mv－mv＝3.5 J，0～2 s内外力所做的功等于质点动能的增量，则外力的平均功率P＝＝ W＝4 W，A正确，B错误；第1 s末外力的瞬时功率P1＝F1v1＝3×3 W＝9 W，第2 s末外力的瞬时功率P2＝F2v2＝1×4 W＝4 W，故P1∶P2＝9∶4，C错误，D正确。
7．如图所示，斜面AB、DB动摩擦因数相同，可视为质点的物体分别沿AB、DB从斜面顶端由静止下滑到底端，下列说法正确的是( )
A．物体沿斜面AB滑动过程中克服摩擦力做的功较多
B．物体沿斜面DB滑动过程中克服摩擦力做的功较多
C．物体沿斜面AB滑动到底端时动能较大
D．物体沿斜面DB滑动到底端时合力做功较大
答案 C
解析 设底边的长度为L，斜面的倾角为θ，则物体沿斜面下滑过程中克服摩擦力做功Wf＝μmgcosθ·＝μmgL，知物体沿斜面AB、DB滑动过程中克服摩擦力做功相等，A、B错误；根据动能定理得mgh－μmgcosθ·＝mv2－0，整理得mgh－μmgL＝mv2，知斜面高度越高，合外力对物体做功越大，物体到达底端时的动能越大，C正确，D错误。
8. (多选)如图所示，n个完全相同(n足够大)、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。若小方块恰能全部进入粗糙水平面，则所有小方块克服摩擦力做的功为( )
A．Mv2 B．Mv2
C．μMgl D．μMgl
答案 AC
解析 小方块恰能完全进入粗糙水平面，说明小方块进入粗糙水平面后速度为零。以所有小方块为研究对象，由动能定理可知，所有小方块克服摩擦力做功Wf＝Mv2，A正确，B错误；设进入粗糙水平面的距离为x，则f＝μgx，f与x成正比，＝μMg，所以Wf＝l＝μMgl，C正确，D错误。
9．(多选)汽车以恒定功率P、初速度v0冲上倾角一定的斜坡时，汽车受到的阻力恒定不变，则汽车上坡过程的vt图象可能是选项图中的( )
答案 BCD
解析 由瞬时功率P＝Fv可知，汽车功率恒定，汽车开始所受牵引力F＝，若汽车冲上斜坡后，牵引力与汽车所受阻力相等，则汽车做匀速运动，B项中vt图象是可能的；若牵引力大于阻力，则汽车做加速运动，随着速度的增大，牵引力减小，而汽车所受阻力不变，由牛顿第二定律可知，汽车的加速度减小，直至减小到零，C项中vt图象是可能的，A项中vt图象是不可能的；若牵引力小于阻力，则汽车做减速运动，牵引力增大，汽车所受阻力不变，由牛顿第二定律可知，汽车的加速度减小，直至减小到零，D项中vt图象是可能的。故选B、C、D。
10．(2018·全国卷Ⅲ)(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程( )
A．矿车上升所用的时间之比为4∶5
B．电机的最大牵引力之比为2∶1
C．电机输出的最大功率之比为2∶1
D．电机所做的功之比为4∶5
答案 AC
解析 设第②次所用时间为t，根据速度图象与t轴所围的面积等于位移(此题中为提升的高度)可知，×2t0×v0＝××v0，解得：t＝，所以第①次和第②次提升过程所用时间之比为2t0∶＝4∶5，A正确；由于两次提升变速阶段的加速度大小相同，在匀加速阶段，由牛顿第二定律，F－mg＝ma，可得提升的最大牵引力之比为1∶1，B错误；由功率公式P＝Fv，电机输出的最大功率之比等于最大速度之比，为2∶1，C正确；两次提升过程中动能增加量均为0，由动能定理得W电－mgh＝0，两次提升高度h相同，所以电机两次做功相同，D错误。
11．(2018·江苏高考)(多选)如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为弹簧在原长时物块的位置。物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B点。在从A到B的过程中，物块( )
A．加速度先减小后增大
B．经过O点时的速度最大
C．所受弹簧弹力始终做正功
D．所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功
答案 AD
解析 物体从A点到O点的过程，弹力逐渐减为零，刚开始弹簧弹力大于摩擦力，故可分为弹力大于摩擦力过程和弹力小于摩擦力过程：弹力大于摩擦力过程，合力向右，加速度也向右，由于弹力逐渐减小，摩擦力不变，物块所受合力逐渐减小，加速度逐渐减小，当弹力等于摩擦力时速度最大，此位置在A点与O点之间；弹力小于摩擦力过程，合力方向与运动方向相反，弹力减小，摩擦力大小不变，物体所受合力增大，物体的加速度随弹簧形变量的减小而增大，方向向左，物体做减速运动；从O点到B点的过程弹力增大，合力向左，加速度继续增大，A正确、B错误；从A点到O点过程，弹簧由压缩恢复原长，弹力做正功，从O点到B点的过程，弹簧被拉伸，弹力做负功，故C错误；从A到B的过程中根据动能定理弹簧弹力做的功等于物体克服摩擦力做的功，故D正确。
12．(2016·天津高考)(多选)我国高铁技术处于世界领先水平。和谐号动车组是由动车和拖车编组而成的，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车厢叫拖车。假设动车组各车厢质量均相等，动车的额定功率都相同，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比。某列动车组由8节车厢组成，其中第1、5节车厢为动车，其余为拖车，则该动车组( )
A．启动时乘客受到车厢作用力的方向与车运动的方向相反
B．做匀加速运动时，第5、6节与第6、7节车厢间的作用力之比为3∶2
C．进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比
D．与改为4节动车带4节拖车的动车组最大速度之比为1∶2
答案 BD
解析 启动时，动车组做加速运动，加速度方向向前，乘客受到竖直向下的重力和车厢对乘客的作用力，由牛顿第二定律可知，这两个力的合力方向向前，所以启动时乘客受到车厢作用力的方向一定倾斜向前，A错误。设每节车厢质量为m，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比，则有每节车厢所受阻力f＝kmg；设动车组匀加速直线运动的加速度为a，每节动车的牵引力为F，对8节车厢组成的动车组整体，由牛顿第二定律得，2F－8f＝8ma；设第5节车厢对第6节车厢的拉力为F5，把第6、7、8节车厢作为整体进行受力分析，由牛顿第二定律得，F5－3f＝3ma，解得F5＝；设第6节车厢对第7节车厢的拉力为F6，把第7、8节车厢作为整体进行受力分析，由牛顿第二定律得，F6－2f＝2ma，解得F6＝；则F5∶F6＝∶＝3∶2，B正确。关闭发动机后，动车组在阻力作用下滑行，由匀变速直线运动规律，滑行距离x＝，与关闭发动机时速度的二次方成正比，C错误。设每节动车的额定功率为P，当有2节动车带6节拖车时，2P＝8f·v1m；当改为4节动车带4节拖车时，4P＝8f·v2m；联立解得v1m∶v2m＝1∶2，D正确。
13．(2015·全国卷Ⅱ)一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小f恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是( )
答案 A
解析 在vt图象中，图线的斜率代表汽车运动时的加速度，由牛顿第二定律可得：在0～t1时间内，－f＝ma，当速度v不变时，加速度a为零，在vt图象中为一条水平线；当速度v变大时，加速度a变小，在vt图象中为一条斜率逐渐减小的曲线，B、D错误。同理，在t1～t2时间内，－f＝ma，图象变化情况与0～t1时间内情况相似，由于汽车在运动过程中速度不会发生突变，故C错误，A正确。
14. (2020·四川绵阳高三上学期一诊)(多选)一辆汽车从静止开始以恒定功率P启动，若汽车行驶过程中受到的阻力恒定，其加速度与速度的倒数的关系如图所示，图象斜率为k，横截距为b，则( )
A．汽车所受阻力为
B．汽车的质量为
C．汽车的最大速度为
D．汽车从静止到获得最大速度的时间为
答案 BC
解析 当加速度为零时，速度最大，由图象知：＝b，解得汽车的最大速度为：vm＝，汽车受到的阻力为：f＝＝Pb，故A错误，C正确。汽车从静止开始启动时，由P＝Fv及F－f＝ma得：a＝·－，故图象的斜率k＝，解得：m＝，故B正确。汽车以恒定功率启动，做加速度减小的加速运动，根据已知条件无法求出从静止到获得最大速度的时间，故D错误。
15．(2019·天津高考模拟)(多选)如图所示，某中学科技小组制作了利用太阳能驱动小车的装置。当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机带动小车前进。小车在平直的公路上由静止开始匀加速行驶，经过时间t，速度为v时功率达到额定功率，并保持不变；小车又继续前进了距离s，达到最大速度vm。设小车的质量为m，运动过程所受阻力恒为f，则( )
A．小车的额定功率为fvm
B．小车的额定功率为fv
C．小车做匀加速直线运动时的牵引力为f＋
D．小车速度由零至vm的过程，牵引力做功为mv＋fs＋
答案 ACD
解析 小车启动过程中，当功率达到额定功率、牵引力等于阻力时，速度达到最大值vm，则额定功率P＝Fvm＝fvm，故A正确，B错误；小车在时间t内从静止开始做匀加速直线运动，达到速度v，故有a＝，由牛顿第二定律得：F－f＝ma＝m，解得：F＝f＋m，故C正确；小车速度由零至vm的过程，由动能定理可得：WF－ft＋s＝mv，故牵引力做功为WF＝ft＋s＋mv＝ft＋s＋mv，故D正确。
16．(2019·江西临川高三上三校联考)(多选)某质量m＝1500 kg的“双引擎”小汽车，行驶速度v≤54 km/h时靠电动机输出动力；行驶速度在54 km/h
A．经过计算t0＝6 s
B．电动机输出的最大功率为60 kW
C．汽油机工作过程牵引力做的功为4.5×105 J
D．汽车的位移大小为90 m
答案 AC
解析 由题意得汽车开始阶段靠电动机工作来加速，根据牛顿运动定律有：F1－f＝ma，解得：a＝2.5 m/s2，由题意可知t0时刻的速度为v1＝15 m/s，由v1＝at0得：t0＝6 s，A正确；t0时刻，电动机输出的最大功率Pm＝F1v1＝75 kW，B错误；t0时刻切换动力引擎，汽油机开始工作，P＝F2v1＝90 kW，由P＝F3v2得，t＝11 s时刻汽车的速度v2＝25 m/s＝90 km/h，知t＝11 s后汽车将启动双引擎工作，故后5 s内汽油机工作过程牵引力做的功W＝Pt＝4.5×105 J，C正确；汽车前6 s内的位移x1＝at＝45 m，后5 s内根据动能定理得：Pt－fx2＝mv－mv，解得：x2＝120 m，前11 s时间内汽车的位移x＝x1＋x2＝165 m，D错误。
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