2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第六章第一节数列的概念与简单表示

第一节数列的概念与简单表示

一、基础知识批注——理解深一点
1．数列的概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.
(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
2．数列的分类
(1)按照项数有限和无限分：
(2)按单调性来分：
3．数列的两种常用的表示方法
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　

(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
通项公式和递推公式的异同点

不同点
相同点
通项公式
可根据某项的序号n的值，直接代入求出an
都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项
递推公式
可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
(2)在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则
三、基础小题强化——功底牢一点

(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　)
(2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．(　　)
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　)
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

(二)选一选
1．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝2n－1　　　　　 　B．an＝(－1)n(1－2n)
C．an＝(－1)n(2n－1) D．an＝(－1)n(2n＋1)
解析：选B　∵数列{an}各项值为1，－3,5，－7,9，…，
∴各项绝对值构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，
∴|an|＝2n－1.
∵数列的奇数项为正，偶数项为负，
∴an＝(－1)n＋1(2n－1)＝(－1)n(1－2n)．故选B.
2．已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项的是(　　)
A．21　　　　　　　　　 　B．33
C．152 D．153
解析：选C　由9＋12n＝152，得n＝∉N*.
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，则a7＝(　　)
A．53 B．54
C．55 D．109
解析：选C　由题意知，a2＝a1＋2×2，a3＝a2＋2×3，…，a7＝a6＋2×7，各式相加得a7＝a1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.
(三)填一填
4．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝________.
解析：由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.
答案：21
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1，则an＝________.
解析：当n＝1时，a1＝S1＝1＋2＋1＝4，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
经检验a1＝4不适合an＝2n＋1，
故an＝
答案：

考点一　由an与Sn的关系求通项an

[典例]　(1)(2018·广州二模)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为____________．
(2)(2018·全国卷Ⅰ改编)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则an＝________.
[解析]　(1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，
所以数列{an}的通项公式为an＝
(2)∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1.
当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.
∴数列{an}是首项a1为－1，公比q为2的等比数列，
∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
[答案]　(1)an＝　(2)－2n－1
[解题技法]
1．已知Sn求an的3个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．
2．Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．

前n项和与通项，二者消元留一象；
何知去留谁更好，变形易把关系找；
通项求出莫疏忽，验证首项满足否．

[题组训练]
1.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)(n∈N*)，则an＝(　　)
A．2n　　　　　　　　　　 　B．2n－1
C．2n D．2n－1
解析：选C　当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
∴an＝2an－1，
∴数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，
∴an＝2n.
2.设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝____________.
解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．
两式相减得(2n－1)an＝2，
所以an＝(n≥2)．
又由题设可得a1＝2，满足上式，
从而{an}的通项公式为an＝.
答案：
考点二　由递推关系式求数列的通项公式

[典例]　(1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________________．
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为________________．
(3)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为________________．
[解析]　(1)累加法
由题意得a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n(n≥2)，
以上各式相加，得an＝a1＋2＋3＋…＋n.
又∵a1＝1，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝(n≥2)．
∵当n＝1时也满足上式，∴an＝(n∈N*)．
(2)累乘法
∵an＝an－1(n≥2)，
∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1.
以上(n－1)个式子相乘得
an＝a1···…·＝＝.
当n＝1时，a1＝1，上式也成立．
∴an＝(n∈N*)．
(3)构造法
∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴＝3，
∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，
∴an＋1＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)．
[答案]　(1)an＝(n∈N*)　(2)an＝(n∈N*)　(3)an＝2·3n－1－1(n∈N*)

[解题技法]
1．正确选用方法求数列的通项公式
(1)对于递推关系式可转化为an＋1＝an＋f(n)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．
(2)对于递推关系式可转化为＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}前n项的积时，采用累乘法求数列{an}的通项公式．
(3)对于递推关系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的数列，采用构造法求数列的通项．
2．避免2种失误
(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立．
(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．

[题组训练]
1.设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________.
解析：原递推公式可化为an＋1＝an＋－，
则a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋－，an＝an－1＋－，以上(n－1)个式子的等号两端分别相加得，an＝a1＋1－，故an＝4－.
答案：4－
2.设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则通项公式an＝________.
解析：由an＋1＝2nan，得＝2n－1(n≥2)，
所以an＝··…··a1＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2.
又a1＝1适合上式，故an＝2.
答案：2
3.在数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．
解析：因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0，即an＋1＝4an＋1，得an＋1＋＝4，所以是首项为a1＋＝，公比为4的等比数列，所以an＋＝·4n－1，故an＝·4n－1－.
答案：an＝·4n－1－

考法(一)　数列的周期性
[典例]　数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2 019项为________．
[解析]　因为a1＝，故a2＝2a1－1＝，a3＝2a2＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，a7＝2a6＝，…，
故数列{an}是周期数列且周期为4，故a2 019＝a504×4＋3＝a3＝.
[答案]　
考法(二)　数列的单调性(最值)
[典例]　(1)(2018·百校联盟联考)已知数列{an}满足2Sn＝4an－1，当n∈N*时，{(log2an)2＋λlog2an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
(2)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·n，则当an取得最大值时，n＝________.
[解析]　(1)∵2Sn＝4an－1,2Sn－1＝4an－1－1(n≥2)，
两式相减可得2an＝4an－4an－1(n≥2)，
∴an＝2an－1(n≥2)．
又2a1＝4a1－1，∴a1＝，
∴数列{an}是公比为2的等比数列，∴an＝2n－2，
设bn＝(log2an)2＋λlog2an＝(n－2)2＋λ(n－2)，
∵{(log2an)2＋λlog2an}是递增数列，
∴bn＋1－bn＝2n－3＋λ>0恒成立，∴λ>3－2n恒成立，
∵(3－2n)max＝1，∴λ>1，
故实数λ的取值范围是(1，＋∞)．
(2)当an取得最大值时，有
∴解得
∴当an取得最大值时，n＝5或6.
[答案]　(1)(1，＋∞)　(2)5或6

[解题技法]
1．解决数列的单调性问题的3种方法
作差比较法
根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列
作商比较法
根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断
数形结合法
结合相应函数的图象直观判断

2．解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．

[题组训练]
1．设数列{an}，an＝，其中a，b，c均为正数，则此数列(　　)
A．递增　　　　　　　　　 　B．递减
C．先增后减 D．先减后增
解析：选A　因为an＝＝，而函数f(x)＝(a>0，b>0，c>0)在(0，＋∞)上是增函数，故数列{an}是递增数列．
2．已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 019＝(　　)
A．－1 B.
C．1 D．2
解析：选A　由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，
a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…，
于是可知数列{an}是以3为周期的周期数列，因此a2 019＝a3×673＝a3＝－1.

A级——保大分专练
1．(2019·郑州模拟)已知数列1，，，，…，，若3是这个数列的第n项，则n＝(　　)
A．20　　　　　　　　　 　B．21
C．22 D．23
解析：选D　由＝3＝，得2n－1＝45，即2n＝46，解得n＝23，故选D.
2．(2019·福建四校联考)若数列的前4项分别是，－，，－，则此数列的一个通项公式为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由于数列的前4项分别是，－，，－，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n项的绝对值等于，故此数列的一个通项公式为.故选A.
3．(2019·莆田诊断)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则a5的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选A　由题意可得，an＋2＝an＋1－an，则a3＝a2－a1＝2－1＝1，a4＝a3－a2＝1－2＝－1，a5＝a4－a3＝－1－1＝－2.故选A.
4．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，则ap－aq＝(　　)
A．10 B．15
C．－5 D．20
解析：选D　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，当n＝1时，a1＝S1＝－1，符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20.
5．设数列{an}的通项公式为an＝n2－bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
C．(－∞，3) D.
解析：选C　因为数列{an}是单调递增数列，
所以an＋1－an＝2n＋1－b>0(n∈N*)，
所以b<2n＋1(n∈N*)，
所以b<(2n＋1)min＝3，即b<3.
6．若数列{an}满足≤≤2(n∈N*)，则称{an}是“紧密数列”．若{an}(n＝1,2,3,4)是“紧密数列”，且a1＝1，a2＝，a3＝x，a4＝4，则x的取值范围为(　　)
A．[1,3) B．[1,3]
C．[2,3] D．[2,3)
解析：选C　依题意可得解得2≤x≤3，故x的取值范围为[2,3]．
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________.
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，
因此an＝
答案：
8．已知数列，，，，，…，根据前3项给出的规律，实数对(m，n)为________．
解析：由数列的前3项的规律可知解得故实数对(m，n)为.
答案：
9．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________．
解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，
得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，
令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，
则a3＝S3－S2＝－1，
所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.
答案：－1
10．已知数列{an}满足an＝(n－λ)2n(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围为________．
解析：因为an＝(n－λ)2n(n∈N*)且数列{an}是递增数列，所以an＋1－an＝2n(n＋2－λ)>0，所以n＋2－λ>0，则λ 答案：(－∞，3)
11．(2019·衡阳四校联考)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝4an＋3.
(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式；
(2)证明：＝4.
解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.
因为a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，
所以归纳得an＝4n－1.
(2)证明：因为an＋1＝4an＋3，所以＝＝＝4.
12．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1 因为n∈N*，所以n＝2,3，
所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.
因为an＝n2－5n＋4＝2－，
由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.
(2)由an＋1>an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，解得k>－3.
所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．
B级——创高分自选
1.已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n·2n＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．
a1
a2　a3
a4　a5　a6
……
解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝＋3＝48项，而a48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97.
答案：97
2．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
解析：依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
答案：28
3．在数列{an}中，an＝(n＋1)n(n∈N*)．
(1)讨论数列{an}的增减性；
(2)求数列{an}的最大项．

解：(1)由题意，知an>0，
令>1(n≥2)，即>1(n≥2)，
解得2≤n<10，即a9>a8>…>a1.
令>1，即>1，
整理得>，解得n>9，即a10>a11>….
又＝1，所以数列{an}从第1项到第9项单调递增，从第10项起单调递减．
(2)由(1)知a9＝a10＝为数列的最大项．