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    2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义:第九章平面解析几何9.2
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    2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义:第九章平面解析几何9.2

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    §9.2 两条直线的位置关系
    最新考纲
    考情考向分析
    1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
    2.会求过两点的直线斜率、两直线的交点坐标、两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离.
    以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主,有时也会与圆、椭圆、抛物线交汇考查.题型以选择、填空题为主,要求相对较低.


    1.两条直线的位置关系
    (1)两条直线平行与垂直
    ①两条直线平行:
    (ⅰ)对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.
    (ⅱ)当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
    ②两条直线垂直:
    (ⅰ)如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,
    则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.
    (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l1⊥l2.
    (2)两条直线的交点
    直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
    2.几种距离
    (1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=.
    (2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.
    (3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)间的距离d=.


    概念方法微思考
    1.若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率有什么关系?
    提示 当两条直线l1与l2的斜率都存在时,=-1;当两条直线中一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,l1与l2也垂直.
    2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么?
    提示 (1)将方程化为最简的一般形式.
    (2)利用两平行线之间的距离公式时,应使两平行线方程中x,y的系数分别对应相等.

    题组一 思考辨析
    1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
    (1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( × )
    (2)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.( √ )
    (3)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.( × )
    (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )
    (5)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-,且线段AB的中点在直线l上.( √ )
    题组二 教材改编
    2.[P110B组T2]已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于(  )
    A. B.2- C.-1 D.+1
    答案 C
    解析 由题意得=1.
    解得a=-1+或a=-1-.∵a>0,∴a=-1+.
    3.[P101A组T10]已知P(-2,m),Q(m,4),且直线PQ垂直于直线x+y+1=0,则m=________.
    答案 1
    解析 由题意知=1,所以m-4=-2-m,
    所以m=1.
    4.[P110B组T1]若三条直线y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则m的值为________.
    答案 -9
    解析 由得
    所以点(1,2)满足方程mx+2y+5=0,
    即m×1+2×2+5=0,所以m=-9.
    题组三 易错自纠
    5.直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则m等于(  )
    A.2 B.-3
    C.2或-3 D.-2或-3
    答案 C
    解析 直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则有=≠,
    故m=2或-3.故选C.
    6.直线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是______.
    答案 
    解析 先将2x+2y+1=0化为x+y+=0,
    则两平行线间的距离为d==.
    7.若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a=________.
    答案 0或1
    解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得a=0或a=1.

    题型一 两条直线的平行与垂直
    例1 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.
    (1)试判断l1与l2是否平行;
    (2)当l1⊥l2时,求a的值.
    解 (1)方法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0,
    l2:x=0,l1不平行于l2;
    当a=0时,l1:y=-3,
    l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;
    当a≠1且a≠0时,两直线可化为l1:y=-x-3,
    l2:y=x-(a+1),
    l1∥l2⇔解得a=-1,
    综上可知,当a=-1时,l1∥l2,a≠-1时,l1与l2不平行.
    方法二 由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-1×2=0,
    由A1C2-A2C1≠0,得a(a2-1)-1×6≠0,
    ∴l1∥l2⇔
    ⇔可得a=-1,
    故当a=-1时,l1∥l2.
    (2)方法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,
    l1与l2不垂直,故a=1不成立;
    当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2,
    故a=0不成立;
    当a≠1且a≠0时,
    l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),
    由·=-1,得a=.
    方法二 由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,
    可得a=.
    思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
    (2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
    跟踪训练1 (1)(2012·浙江)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的(  )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
    C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
    答案 A
    解析 若直线l1与l2平行,则a(a+1)-2×1=0,且≠,即a=-2或a=1,
    所以a=1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件.
    (2)已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.
    ①l1⊥l2,且直线l1过点(-3,-1);
    ②l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
    解 ①∵l1⊥l2,∴a(a-1)-b=0,
    又∵直线l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.
    故a=2,b=2.
    ②∵直线l2的斜率存在,l1∥l2,
    ∴直线l1的斜率存在.
    ∴k1=k2,即=1-a.
    又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,
    ∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=b.
    故a=2,b=-2或a=,b=2.
    题型二 两直线的交点与距离问题
    1.若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M,N两点,且MN的中点是P(1,-1),则直线l的斜率是(  )
    A.- B.
    C.- D.
    答案 A
    解析 由题意,设直线l的方程为y=k(x-1)-1,分别与y=1,x-y-7=0联立解得M,N.又因为MN的中点是P(1,-1),
    所以由中点坐标公式得k=-.
    2.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为(  )
    A. B.
    C. D.
    答案 C
    解析 因为=≠,所以两直线平行,将直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,所以|PQ|的最小值为.
    3.已知直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是________.
    答案 
    解析 方法一 由方程组
    解得
    ∴交点坐标为.
    又∵交点位于第一象限,

    解得- 方法二 如图,已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A(4,0),B(0,2).

    而直线方程y=kx+2k+1可变形为y-1=k(x+2),表示这是一条过定点P(-2,1),斜率为k的动直线.
    ∵两直线的交点在第一象限,
    ∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点),
    ∴动直线的斜率k需满足kPA ∵kPA=-,kPB=.
    ∴- 4.已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,若在坐标平面内存在一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2,则P点坐标为________________.
    答案 或
    解析 设点P的坐标为(a,b).
    ∵A(4,-3),B(2,-1),
    ∴线段AB的中点M的坐标为(3,-2).
    而AB的斜率kAB==-1,
    ∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,
    即x-y-5=0.
    ∵点P(a,b)在直线x-y-5=0上,∴a-b-5=0.①
    又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2,
    ∴=2,即4a+3b-2=±10,②
    由①②联立解得或
    ∴所求点P的坐标为(1,-4)或.
    思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法
    先求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.
    (2)利用距离公式应注意:①点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化为相等.
    题型三 对称问题

    命题点1 点关于点中心对称
    例2 过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________________.
    答案 x+4y-4=0
    解析 设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.






    命题点2 点关于直线对称
    例3 如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是(  )

    A.3 B.6
    C.2 D.2
    答案 C
    解析 直线AB的方程为x+y=4,点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2),

    关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线经过的路程为|CD|==2.
    命题点3 直线关于直线的对称问题
    例4 直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是______________.
    答案 x-2y+3=0
    解析 设所求直线上任意一点P(x,y),
    则P关于x-y+2=0的对称点为P′(x0,y0),


    由点P′(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,
    ∴2(y-2)-(x+2)+3=0,
    即x-2y+3=0.
    思维升华 解决对称问题的方法
    (1)中心对称
    ①点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足
    ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.

    (2)轴对称
    ①点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点A′(m,n),则有
    ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
    跟踪训练2 (2018·宁波模拟)已知直线l:3x-y+3=0,求:
    (1)点P(4,5)关于l的对称点;
    (2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程;
    (3)直线l关于(1,2)的对称直线.
    解 (1)设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P′(x′,y′),∵kPP′·kl=-1,即×3=-1.①
    又PP′的中点在直线3x-y+3=0上,
    ∴3×-+3=0.②
    由①②得
    把x=4,y=5代入③④得x′=-2,y′=7,
    ∴点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(-2,7).
    (2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,
    得关于l对称的直线方程为--2=0,
    化简得7x+y+22=0.
    (3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),
    关于(1,2)的对称点M′(x′,y′),
    ∴=1,x′=2,=2,y′=1,∴M′(2,1).
    l关于(1,2)的对称直线平行于l,∴k=3,
    ∴对称直线方程为y-1=3×(x-2),
    即3x-y-5=0.



    妙用直线系求直线方程
    在求解直线方程的题目中,可采用设直线系方程的方式简化运算,常见的直线系有平行直线系,垂直直线系和过直线交点的直线系.
    一、平行直线系
    由于两直线平行,它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,因此两直线平行时,它们的一次项系数与常数项有必然的联系.
    例1 求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程.
    解 由题意,设所求直线方程为3x+4y+c=0(c≠1),
    又因为直线过点(1,2),
    所以3×1+4×2+c=0,解得c=-11.
    因此,所求直线方程为3x+4y-11=0.
    二、垂直直线系
    由于直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件为A1A2+B1B2=0.因此,当两直线垂直时,它们的一次项系数有必然的联系.可以考虑用直线系方程求解.
    例2 求经过A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.
    解 因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方程为x-2y+C=0,又直线过点A(2,1),
    所以有2-2×1+C=0,解得C=0,
    即所求直线方程为x-2y=0.
    三、过直线交点的直线系
    例3 求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.
    解 方法一 将直线l1,l2的方程联立,
    得解得
    即直线l1,l2的交点为(-1,2).
    由题意得直线l3的斜率为,又直线l⊥l3,
    所以直线l的斜率为-,
    则直线l的方程是y-2=-,
    即5x+3y-1=0.
    方法二 由于l⊥l3,所以可设直线l的方程是5x+3y+C=0,将直线l1,l2的方程联立,
    得解得
    即直线l1,l2的交点为(-1,2),则点(-1,2)在直线l上,
    所以5×(-1)+3×2+C=0,解得C=-1,
    所以直线l的方程为5x+3y-1=0.
    方法三 设直线l的方程为3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0,
    整理得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0.
    由于l⊥l3,所以3(3+5λ)-5(2+2λ)=0,解得λ=,
    所以直线l的方程为5x+3y-1=0.


    1.直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是(  )
    A.平行 B.垂直
    C.相交但不垂直 D.不能确定
    答案 C
    解析 直线2x+y+m=0的斜率k1=-2,直线x+2y+n=0的斜率k2=-,则k1≠k2,且k1k2≠-1.故选C.
    2.(2018·嘉兴期末)点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离是(  )
    A. B.
    C.1 D.
    答案 A
    解析 由点到直线的距离公式得点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离为=,故选A.
    3.(2018·浙江嘉兴一中月考)点P在直线l:x-y-1=0上运动,A(4,1),B(2,0),则|PA|+|PB|的最小值是(  )
    A. B.
    C.3 D.4
    答案 C
    解析 A(4,1)关于直线x-y-1=0的对称点为A′(2,3),
    ∴|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|,
    当P,A′,B三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值|A′B|==3.
    4.过点M(-3,2),且与直线x+2y-9=0平行的直线方程是(  )
    A.2x-y+8=0 B.x-2y+7=0
    C.x+2y+4=0 D.x+2y-1=0
    答案 D
    解析 方法一 因为直线x+2y-9=0的斜率为-,
    所以与直线x+2y-9=0平行的直线的斜率为-,
    又所求直线过M(-3,2),
    所以所求直线的点斜式方程为y-2=-(x+3),
    化为一般式得x+2y-1=0.故选D.
    方法二 由题意,设所求直线方程为x+2y+c=0(c≠-9),将M(-3,2)代入,解得c=-1,所以所求直线为x+2y-1=0.故选D.
    5.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2之间的距离为(  )
    A. B.4
    C. D.2
    答案 C
    解析 ∵l1∥l2,∴a≠2且a≠0,
    ∴=≠,解得a=-1,
    ∴l1与l2的方程分别为l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,
    ∴l1与l2的距离d==.
    6.已知直线l1:y=2x+3,直线l2与l1关于直线y=-x对称,则直线l2的斜率为(  )
    A. B.- C.2 D.-2
    答案 A
    解析 直线y=2x+3与y=-x的交点为A(-1,1),而直线y=2x+3上的点(0,3)关于y=-x的对称点为B(-3,0),而A,B两点都在l2上,所以==.
    7.(2018·绍兴调研)设直线l1:(a+1)x+3y+2-a=0,直线l2:2x+(a+2)y+1=0.若l1⊥l2,则实数a的值为________,若l1∥l2,则实数a的值为________.
    答案 - -4
    解析 由l1⊥l2得2(a+1)+3(a+2)=0,故a=-;当l1∥l2时,有则a=-4.
    8.已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为____________________.
    答案 2x+3y-18=0或2x-y-2=0
    解析 显然当直线l的斜率不存在时,不满足题意;
    设所求直线方程为y-4=k(x-3),
    即kx-y+4-3k=0,
    由已知,得=,
    ∴k=2或k=-.
    ∴所求直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.
    9.(2018·浙江嘉兴一中月考)已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则a=________,此时点P的坐标为________.
    答案 1 (3,3)
    解析 ∵直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,且l1⊥l2,
    ∴a×1+1×(a-2)=0,
    即a=1,联立方程
    易得x=3,y=3,∴P(3,3).
    10.(2018·浙江杭州名校协作体月考)已知点A(0,1),直线l1:x-y-1=0,直线l2:x-2y+2=0,则点A关于直线l1的对称点B的坐标为________,直线l2关于直线l1的对称直线的方程是______________.
    答案 (2,-1) 2x-y-5=0
    解析 设B(x,y),

    解得即B(2,-1).
    由得
    设C(4,3),由(1)得l2上的点A(0,1)关于直线l1的对称点为B,因此所求对称直线过B,C两点,
    所以y-3=(x-4),即2x-y-5=0.
    11.已知方程(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2).
    (1)证明:对任意的实数λ,该方程都表示直线,且这些直线都经过同一定点,并求出这一定点的坐标;
    (2)证明:该方程表示的直线与点P的距离d小于4.
    (1)解 显然2+λ与-(1+λ)不可能同时为零,故对任意的实数λ,该方程都表示直线.
    ∵方程可变形为2x-y-6+λ(x-y-4)=0,
    ∴解得
    故直线经过的定点为M(2,-2).
    (2)证明 过P作直线的垂线段PQ,由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|,当且仅当Q与M重合时,|PQ|=|PM|,
    此时对应的直线方程是y+2=x-2,即x-y-4=0.
    但直线系方程唯独不能表示直线x-y-4=0,
    ∴M与Q不可能重合,而|PM|=4,
    ∴|PQ|<4,故所证成立.
    12.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0);l2:-4x+2y+1=0;l3:x+y-1=0,且l1与l2间的距离是.
    (1)求a的值;
    (2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:
    ①点P在第一象限;
    ②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;
    ③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能,求点P的坐标;若不能,请说明理由.
    解 (1)直线l2:2x-y-=0,所以两条平行线l1与l2间的距离为d==,
    所以=,即=,
    又a>0,解得a=3.
    (2)假设存在点P,设点P(x0,y0).
    若P点满足条件②,则P点在与l1,l2平行的直线l′:2x-y+c=0上,
    且=×,即c=或,
    所以2x0-y0+=0或2x0-y0+=0;
    若P点满足条件③,由点到直线的距离公式,
    有=×,
    即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,
    所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0;
    由于点P在第一象限,所以3x0+2=0不可能.
    联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,
    解得(舍去)
    联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,
    解得
    所以存在点P同时满足三个条件.

    13.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为(  )
    A.(-2,4) B.(-2,-4)
    C.(2,4) D.(2,-4)
    答案 C
    解析 设A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为(x,y),则解得
    ∴BC所在直线方程为y-1=(x-3),
    即3x+y-10=0.同理可得点B(3,1)关于直线y=2x的对称点为(-1,3),
    ∴AC所在直线方程为y-2=(x+4),
    即x-3y+10=0.
    联立解得
    则C(2,4).故选C.
    14.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为(  )
    A. B. C.2 D.2
    答案 A
    解析 联立解得x=1,y=2.
    把(1,2)代入mx+ny+5=0可得,m+2n+5=0.
    ∴m=-5-2n.
    ∴点(m,n)到原点的距离d===≥,
    当n=-2,m=-1时取等号.
    ∴点(m,n)到原点的距离的最小值为.

    15.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(1,0),B(0,2),且AC=BC,则△ABC的欧拉线的方程为(  )
    A.4x+2y+3=0 B.2x-4y+3=0
    C.x-2y+3=0 D.2x-y+3=0
    答案 B
    解析 因为AC=BC,所以欧拉线为AB的中垂线,
    又A(1,0),B(0,2),故AB的中点为,kAB=-2,
    故AB的中垂线方程为y-1=,
    即2x-4y+3=0.
    16.在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,4)对称,求直线l的方程.
    解 由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,
    沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1:y=k(x-3)+5+b,
    将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,
    沿y轴负方向平移2个单位长度,
    则平移后的直线方程为y=k(x-3-1)+b+5-2,
    即y=kx+3-4k+b,
    ∴b=3-4k+b,解得k=,
    ∴直线l的方程为y=x+b,
    直线l1为y=x++b,取直线l上的一点P,
    则点P关于点(2,4)的对称点为,
    ∴8-b-=(4-m)+b+,
    解得b=.
    ∴直线l的方程是y=x+,
    即6x-8y+9=0.

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