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2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第九章平面解析几何9.2
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§9.2 两条直线的位置关系
最新考纲
考情考向分析
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
2.会求过两点的直线斜率、两直线的交点坐标、两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离.
以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、抛物线交汇考查.题型以选择、填空题为主，要求相对较低.
1.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，
则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
2.几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.
概念方法微思考
1.若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？
提示 当两条直线l1与l2的斜率都存在时，＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l2也垂直.
2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？
提示 (1)将方程化为最简的一般形式.
(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × )
(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( √ )
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.( × )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )
(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上.( √ )
题组二 教材改编
2.[P110B组T2]已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A. B.2－ C.－1 D.＋1
答案 C
解析 由题意得＝1.
解得a＝－1＋或a＝－1－.∵a>0，∴a＝－1＋.
3.[P101A组T10]已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
答案 1
解析 由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，
所以m＝1.
4.[P110B组T1]若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________.
答案 －9
解析 由得
所以点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.
题组三 易错自纠
5.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( )
A.2 B.－3
C.2或－3 D.－2或－3
答案 C
解析 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，
故m＝2或－3.故选C.
6.直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是______.
答案
解析 先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，
则两平行线间的距离为d＝＝.
7.若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.
答案 0或1
解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值.
解 (1)方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，
l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2⇔解得a＝－1，
综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行.
方法二 由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
∴l1∥l2⇔
⇔可得a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2.
(2)方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，
故a＝0不成立；
当a≠1且a≠0时，
l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由·＝－1，得a＝.
方法二 由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，
可得a＝.
思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
跟踪训练1 (1)(2012·浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若直线l1与l2平行，则a(a＋1)－2×1＝0，且≠，即a＝－2或a＝1，
所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件.
(2)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值.
①l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
②l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.
解 ①∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，
又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
②∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在.
∴k1＝k2，即＝1－a.
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.
故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
题型二 两直线的交点与距离问题
1.若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是( )
A.－ B.
C.－ D.
答案 A
解析 由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立解得M，N.又因为MN的中点是P(1，－1)，
所以由中点坐标公式得k＝－.
2.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.
3.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.
答案
解析 方法一 由方程组
解得
∴交点坐标为.
又∵交点位于第一象限，
∴
解得－
而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2，1)，斜率为k的动直线.
∵两直线的交点在第一象限，
∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，
∴动直线的斜率k需满足kPA
∴－
答案 或
解析 设点P的坐标为(a，b).
∵A(4，－3)，B(2，－1)，
∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2).
而AB的斜率kAB＝＝－1，
∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，
即x－y－5＝0.
∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0.①
又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，
∴＝2，即4a＋3b－2＝±10，②
由①②联立解得或
∴所求点P的坐标为(1，－4)或.
思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法
先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.
题型三 对称问题
命题点1 点关于点中心对称
例2 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________.
答案 x＋4y－4＝0
解析 设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
命题点2 点关于直线对称
例3 如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A.3 B.6
C.2 D.2
答案 C
解析 直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，
关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.
命题点3 直线关于直线的对称问题
例4 直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是______________.
答案 x－2y＋3＝0
解析 设所求直线上任意一点P(x，y)，
则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由
得
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即x－2y＋3＝0.
思维升华 解决对称问题的方法
(1)中心对称
①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
(2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
跟踪训练2 (2018·宁波模拟)已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于(1，2)的对称直线.
解 (1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×－＋3＝0.②
由①②得
把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴点P(4，5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2，7).
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，
得关于l对称的直线方程为－－2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0.
(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0，3)，
关于(1，2)的对称点M′(x′，y′)，
∴＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，∴M′(2，1).
l关于(1，2)的对称直线平行于l，∴k＝3，
∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，
即3x－y－5＝0.
妙用直线系求直线方程
在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系.
一、平行直线系
由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系.
例1 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程.
解 由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，
又因为直线过点(1，2)，
所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
二、垂直直线系
由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系.可以考虑用直线系方程求解.
例2 求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.
解 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C＝0，又直线过点A(2，1)，
所以有2－2×1＋C＝0，解得C＝0，
即所求直线方程为x－2y＝0.
三、过直线交点的直线系
例3 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程.
解 方法一 将直线l1，l2的方程联立，
得解得
即直线l1，l2的交点为(－1，2).
由题意得直线l3的斜率为，又直线l⊥l3，
所以直线l的斜率为－，
则直线l的方程是y－2＝－，
即5x＋3y－1＝0.
方法二 由于l⊥l3，所以可设直线l的方程是5x＋3y＋C＝0，将直线l1，l2的方程联立，
得解得
即直线l1，l2的交点为(－1，2)，则点(－1，2)在直线l上，
所以5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，
所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
方法三 设直线l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，
整理得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.
由于l⊥l3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，解得λ＝，
所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不能确定
答案 C
解析 直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.
2.(2018·嘉兴期末)点(－1，0)到直线x＋y－1＝0的距离是( )
A. B.
C.1 D.
答案 A
解析 由点到直线的距离公式得点(－1，0)到直线x＋y－1＝0的距离为＝，故选A.
3.(2018·浙江嘉兴一中月考)点P在直线l：x－y－1＝0上运动，A(4，1)，B(2，0)，则|PA|＋|PB|的最小值是( )
A. B.
C.3 D.4
答案 C
解析 A(4，1)关于直线x－y－1＝0的对称点为A′(2，3)，
∴|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，
当P，A′，B三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值|A′B|＝＝3.
4.过点M(－3，2)，且与直线x＋2y－9＝0平行的直线方程是( )
A.2x－y＋8＝0 B.x－2y＋7＝0
C.x＋2y＋4＝0 D.x＋2y－1＝0
答案 D
解析 方法一 因为直线x＋2y－9＝0的斜率为－，
所以与直线x＋2y－9＝0平行的直线的斜率为－，
又所求直线过M(－3，2)，
所以所求直线的点斜式方程为y－2＝－(x＋3)，
化为一般式得x＋2y－1＝0.故选D.
方法二 由题意，设所求直线方程为x＋2y＋c＝0(c≠－9)，将M(－3，2)代入，解得c＝－1，所以所求直线为x＋2y－1＝0.故选D.
5.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为( )
A. B.4
C. D.2
答案 C
解析 ∵l1∥l2，∴a≠2且a≠0，
∴＝≠，解得a＝－1，
∴l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，
∴l1与l2的距离d＝＝.
6.已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为( )
A. B.－ C.2 D.－2
答案 A
解析 直线y＝2x＋3与y＝－x的交点为A(－1，1)，而直线y＝2x＋3上的点(0，3)关于y＝－x的对称点为B(－3，0)，而A，B两点都在l2上，所以＝＝.
7.(2018·绍兴调研)设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2－a＝0，直线l2：2x＋(a＋2)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________，若l1∥l2，则实数a的值为________.
答案 － －4
解析 由l1⊥l2得2(a＋1)＋3(a＋2)＝0，故a＝－；当l1∥l2时，有则a＝－4.
8.已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为____________________.
答案 2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
解析 显然当直线l的斜率不存在时，不满足题意；
设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
由已知，得＝，
∴k＝2或k＝－.
∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
9.(2018·浙江嘉兴一中月考)已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________.
答案 1 (3，3)
解析 ∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，
∴a×1＋1×(a－2)＝0，
即a＝1，联立方程
易得x＝3，y＝3，∴P(3，3).
10.(2018·浙江杭州名校协作体月考)已知点A(0，1)，直线l1：x－y－1＝0，直线l2：x－2y＋2＝0，则点A关于直线l1的对称点B的坐标为________，直线l2关于直线l1的对称直线的方程是______________.
答案 (2，－1) 2x－y－5＝0
解析 设B(x，y)，
则
解得即B(2，－1).
由得
设C(4，3)，由(1)得l2上的点A(0，1)关于直线l1的对称点为B，因此所求对称直线过B，C两点，
所以y－3＝(x－4)，即2x－y－5＝0.
11.已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2).
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.
(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
∴解得
故直线经过的定点为M(2，－2).
(2)证明 过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4，
∴|PQ|<4，故所证成立.
12.已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由.
解 (1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，
所以＝，即＝，
又a>0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0).
若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且＝×，即c＝或，
所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有＝×，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能.
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得(舍去)
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得
所以存在点P同时满足三个条件.
13.已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为( )
A.(－2，4) B.(－2，－4)
C.(2，4) D.(2，－4)
答案 C
解析 设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得
∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，
即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3，1)关于直线y＝2x的对称点为(－1，3)，
∴AC所在直线方程为y－2＝(x＋4)，
即x－3y＋10＝0.
联立解得
则C(2，4).故选C.
14.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为( )
A. B. C.2 D.2
答案 A
解析 联立解得x＝1，y＝2.
把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.
∴m＝－5－2n.
∴点(m，n)到原点的距离d＝＝＝≥，
当n＝－2，m＝－1时取等号.
∴点(m，n)到原点的距离的最小值为.
15.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A.4x＋2y＋3＝0 B.2x－4y＋3＝0
C.x－2y＋3＝0 D.2x－y＋3＝0
答案 B
解析 因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，
又A(1，0)，B(0，2)，故AB的中点为，kAB＝－2，
故AB的中垂线方程为y－1＝，
即2x－4y＋3＝0.
16.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2，4)对称，求直线l的方程.
解 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，
沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，
将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，
沿y轴负方向平移2个单位长度，
则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，
即y＝kx＋3－4k＋b，
∴b＝3－4k＋b，解得k＝，
∴直线l的方程为y＝x＋b，
直线l1为y＝x＋＋b，取直线l上的一点P，
则点P关于点(2，4)的对称点为，
∴8－b－＝(4－m)＋b＋，
解得b＝.
∴直线l的方程是y＝x＋，
即6x－8y＋9＝0.
最新考纲
考情考向分析
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
2.会求过两点的直线斜率、两直线的交点坐标、两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离.
以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、抛物线交汇考查.题型以选择、填空题为主，要求相对较低.
1.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，
则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
2.几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.
概念方法微思考
1.若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？
提示 当两条直线l1与l2的斜率都存在时，＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l2也垂直.
2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？
提示 (1)将方程化为最简的一般形式.
(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × )
(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( √ )
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.( × )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )
(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上.( √ )
题组二 教材改编
2.[P110B组T2]已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A. B.2－ C.－1 D.＋1
答案 C
解析 由题意得＝1.
解得a＝－1＋或a＝－1－.∵a>0，∴a＝－1＋.
3.[P101A组T10]已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
答案 1
解析 由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，
所以m＝1.
4.[P110B组T1]若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________.
答案 －9
解析 由得
所以点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.
题组三 易错自纠
5.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( )
A.2 B.－3
C.2或－3 D.－2或－3
答案 C
解析 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，
故m＝2或－3.故选C.
6.直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是______.
答案
解析 先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，
则两平行线间的距离为d＝＝.
7.若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.
答案 0或1
解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值.
解 (1)方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，
l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2⇔解得a＝－1，
综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行.
方法二 由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
∴l1∥l2⇔
⇔可得a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2.
(2)方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，
故a＝0不成立；
当a≠1且a≠0时，
l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由·＝－1，得a＝.
方法二 由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，
可得a＝.
思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
跟踪训练1 (1)(2012·浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若直线l1与l2平行，则a(a＋1)－2×1＝0，且≠，即a＝－2或a＝1，
所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件.
(2)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值.
①l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
②l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.
解 ①∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，
又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
②∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在.
∴k1＝k2，即＝1－a.
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.
故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
题型二 两直线的交点与距离问题
1.若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是( )
A.－ B.
C.－ D.
答案 A
解析 由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立解得M，N.又因为MN的中点是P(1，－1)，
所以由中点坐标公式得k＝－.
2.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.
3.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.
答案
解析 方法一 由方程组
解得
∴交点坐标为.
又∵交点位于第一象限，
∴
解得－
而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2，1)，斜率为k的动直线.
∵两直线的交点在第一象限，
∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，
∴动直线的斜率k需满足kPA
∴－
答案 或
解析 设点P的坐标为(a，b).
∵A(4，－3)，B(2，－1)，
∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2).
而AB的斜率kAB＝＝－1，
∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，
即x－y－5＝0.
∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0.①
又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，
∴＝2，即4a＋3b－2＝±10，②
由①②联立解得或
∴所求点P的坐标为(1，－4)或.
思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法
先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.
题型三 对称问题
命题点1 点关于点中心对称
例2 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________.
答案 x＋4y－4＝0
解析 设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
命题点2 点关于直线对称
例3 如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A.3 B.6
C.2 D.2
答案 C
解析 直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，
关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.
命题点3 直线关于直线的对称问题
例4 直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是______________.
答案 x－2y＋3＝0
解析 设所求直线上任意一点P(x，y)，
则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由
得
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即x－2y＋3＝0.
思维升华 解决对称问题的方法
(1)中心对称
①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
(2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
跟踪训练2 (2018·宁波模拟)已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于(1，2)的对称直线.
解 (1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×－＋3＝0.②
由①②得
把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴点P(4，5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2，7).
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，
得关于l对称的直线方程为－－2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0.
(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0，3)，
关于(1，2)的对称点M′(x′，y′)，
∴＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，∴M′(2，1).
l关于(1，2)的对称直线平行于l，∴k＝3，
∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，
即3x－y－5＝0.
妙用直线系求直线方程
在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系.
一、平行直线系
由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系.
例1 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程.
解 由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，
又因为直线过点(1，2)，
所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
二、垂直直线系
由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系.可以考虑用直线系方程求解.
例2 求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.
解 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C＝0，又直线过点A(2，1)，
所以有2－2×1＋C＝0，解得C＝0，
即所求直线方程为x－2y＝0.
三、过直线交点的直线系
例3 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程.
解 方法一 将直线l1，l2的方程联立，
得解得
即直线l1，l2的交点为(－1，2).
由题意得直线l3的斜率为，又直线l⊥l3，
所以直线l的斜率为－，
则直线l的方程是y－2＝－，
即5x＋3y－1＝0.
方法二 由于l⊥l3，所以可设直线l的方程是5x＋3y＋C＝0，将直线l1，l2的方程联立，
得解得
即直线l1，l2的交点为(－1，2)，则点(－1，2)在直线l上，
所以5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，
所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
方法三 设直线l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，
整理得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.
由于l⊥l3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，解得λ＝，
所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不能确定
答案 C
解析 直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.
2.(2018·嘉兴期末)点(－1，0)到直线x＋y－1＝0的距离是( )
A. B.
C.1 D.
答案 A
解析 由点到直线的距离公式得点(－1，0)到直线x＋y－1＝0的距离为＝，故选A.
3.(2018·浙江嘉兴一中月考)点P在直线l：x－y－1＝0上运动，A(4，1)，B(2，0)，则|PA|＋|PB|的最小值是( )
A. B.
C.3 D.4
答案 C
解析 A(4，1)关于直线x－y－1＝0的对称点为A′(2，3)，
∴|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，
当P，A′，B三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值|A′B|＝＝3.
4.过点M(－3，2)，且与直线x＋2y－9＝0平行的直线方程是( )
A.2x－y＋8＝0 B.x－2y＋7＝0
C.x＋2y＋4＝0 D.x＋2y－1＝0
答案 D
解析 方法一 因为直线x＋2y－9＝0的斜率为－，
所以与直线x＋2y－9＝0平行的直线的斜率为－，
又所求直线过M(－3，2)，
所以所求直线的点斜式方程为y－2＝－(x＋3)，
化为一般式得x＋2y－1＝0.故选D.
方法二 由题意，设所求直线方程为x＋2y＋c＝0(c≠－9)，将M(－3，2)代入，解得c＝－1，所以所求直线为x＋2y－1＝0.故选D.
5.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为( )
A. B.4
C. D.2
答案 C
解析 ∵l1∥l2，∴a≠2且a≠0，
∴＝≠，解得a＝－1，
∴l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，
∴l1与l2的距离d＝＝.
6.已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为( )
A. B.－ C.2 D.－2
答案 A
解析 直线y＝2x＋3与y＝－x的交点为A(－1，1)，而直线y＝2x＋3上的点(0，3)关于y＝－x的对称点为B(－3，0)，而A，B两点都在l2上，所以＝＝.
7.(2018·绍兴调研)设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2－a＝0，直线l2：2x＋(a＋2)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________，若l1∥l2，则实数a的值为________.
答案 － －4
解析 由l1⊥l2得2(a＋1)＋3(a＋2)＝0，故a＝－；当l1∥l2时，有则a＝－4.
8.已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为____________________.
答案 2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
解析 显然当直线l的斜率不存在时，不满足题意；
设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
由已知，得＝，
∴k＝2或k＝－.
∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
9.(2018·浙江嘉兴一中月考)已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________.
答案 1 (3，3)
解析 ∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，
∴a×1＋1×(a－2)＝0，
即a＝1，联立方程
易得x＝3，y＝3，∴P(3，3).
10.(2018·浙江杭州名校协作体月考)已知点A(0，1)，直线l1：x－y－1＝0，直线l2：x－2y＋2＝0，则点A关于直线l1的对称点B的坐标为________，直线l2关于直线l1的对称直线的方程是______________.
答案 (2，－1) 2x－y－5＝0
解析 设B(x，y)，
则
解得即B(2，－1).
由得
设C(4，3)，由(1)得l2上的点A(0，1)关于直线l1的对称点为B，因此所求对称直线过B，C两点，
所以y－3＝(x－4)，即2x－y－5＝0.
11.已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2).
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.
(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
∴解得
故直线经过的定点为M(2，－2).
(2)证明 过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4，
∴|PQ|<4，故所证成立.
12.已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由.
解 (1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，
所以＝，即＝，
又a>0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0).
若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且＝×，即c＝或，
所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有＝×，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能.
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得(舍去)
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得
所以存在点P同时满足三个条件.
13.已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为( )
A.(－2，4) B.(－2，－4)
C.(2，4) D.(2，－4)
答案 C
解析 设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得
∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，
即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3，1)关于直线y＝2x的对称点为(－1，3)，
∴AC所在直线方程为y－2＝(x＋4)，
即x－3y＋10＝0.
联立解得
则C(2，4).故选C.
14.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为( )
A. B. C.2 D.2
答案 A
解析 联立解得x＝1，y＝2.
把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.
∴m＝－5－2n.
∴点(m，n)到原点的距离d＝＝＝≥，
当n＝－2，m＝－1时取等号.
∴点(m，n)到原点的距离的最小值为.
15.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A.4x＋2y＋3＝0 B.2x－4y＋3＝0
C.x－2y＋3＝0 D.2x－y＋3＝0
答案 B
解析 因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，
又A(1，0)，B(0，2)，故AB的中点为，kAB＝－2，
故AB的中垂线方程为y－1＝，
即2x－4y＋3＝0.
16.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2，4)对称，求直线l的方程.
解 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，
沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，
将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，
沿y轴负方向平移2个单位长度，
则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，
即y＝kx＋3－4k＋b，
∴b＝3－4k＋b，解得k＝，
∴直线l的方程为y＝x＋b，
直线l1为y＝x＋＋b，取直线l上的一点P，
则点P关于点(2，4)的对称点为，
∴8－b－＝(4－m)＋b＋，
解得b＝.
∴直线l的方程是y＝x＋，
即6x－8y＋9＝0.
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