2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：第十一章第二节　二项式定理

第二节　二项式定理



突破点一　二项式的通项公式及应用


1．二项式定理
二项展开式
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理
二项式的通项
Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第k＋1项

2.二项式系数与项的系数
二项式系数
二项展开式中各项的系数C(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1项的二项式系数
项的
系数
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Can－rbr


一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)Can－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．(　　)
(2)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．(　　)
(3)(a＋b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
二、填空题
1.10的展开式中x2的系数等于________．
答案：45
2．在6的展开式中，常数项为________．
答案：240
3.8的展开式中的有理项共有________项．
答案：3


考法一　形如(a＋b)n的展开式问题　
[例1]　(1)(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为(　　)
A．10　　　　　　　　 　B．20
C．40 D．80
(2)(2019·陕西黄陵中学月考)6的展开式中常数项为(　　)
A. B．160
C．－ D．－160
[解析]　(1)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C·22＝40.
(2)6的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－rr＝rCx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以展开式中的常数项是T4＝3C＝，选A.
[答案]　(1)C　(2)A
[方法技巧]
二项展开式问题的常见类型及解法
(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．
(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．　　
考法二　形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题　
[例2]　(1)(2018·广东一模)(1＋2x)5的展开式中，x3的系数为(　　)
A．120 B．160
C．100 D．80
(2)(2019·陕西两校联考)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)
A．56 B．84
C．112 D．168
[解析]　(1)(1＋2x)5＝x(1＋2x)5＋(1＋2x)5，∵x(1＋2x)5的展开式中含x3的项为x·C(2x)2＝40x3，(1＋2x)5的展开式中含x3的项为·C(2x)4＝80x3，∴x3的系数为40＋80＝120.故选A.
(2)根据(1＋x)8和(1＋y)4的展开式的通项公式可得，x2y2的系数为CC＝168.故选D.
[答案]　(1)A　(2)D
[方法技巧]
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．　　
考法三　形如(a＋b＋c)n的展开式问题　
[例3]　(1)(2019·枣阳模拟)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)
A．10　　　　　　　　　 　B．20
C．30 D．60
(2)(2019·太原模拟)5的展开式中常数项是________．
[解析]　(1)(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，
令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，
又(x2＋x)3的展开式的通项为C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，
令6－k＝5，则k＝1，
所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30，故选C.
(2)由5＝5，则其通项公式为(－1)5－rCr(0≤r≤5)，其中r的通项公式为2r－tCxr－2t(0≤t≤r)．
令r－2t＝0，得或或
所以5的展开式中的常数项为(－1)5C＋(－1)3C×2C＋(－1)1C×22C＝ －161.
[答案]　(1)C　(2)－161

三项展开式问题的破解技巧
破解(a＋b＋c)n的展开式的特定项的系数题，常用如下技巧：若三项能用完全平方公式，那当然比较简单；若三项不能用完全平方公式，只需根据题目特点，把“三项”当成“两项”看，再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数．　　　　

1.(＋)100的展开式中，无理数项的个数是(　　)
A．84 B．85
C．86 D．87
解析：选A　(＋)100展开式的通项为Tr＋1＝C()100－r·()r＝C250－×3，r＝0,1,2，…，100，
所以当r是6的倍数时，Tr＋1为有理项，
所以r＝0,6,12，…，96，共17项，
因为展开式共有101项，所以展开式中无理项的个数是101－17＝84.故选A.
2.(x2－2)5的展开式中x－1的系数为(　　)
A．60 B．50
C．40 D．20
解析：选A　由通项公式得展开式中x－1的系数为23C－22C＝60.
3.(x＋y)(2x－y)6的展开式中x4y3的系数为(　　)
A．－80 B．－40
C．40 D．80
解析：选D　(2x－y)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)6－r(－y)r，当r＝2时，T3＝240x4y2，当r＝3时，T4＝－160x3y3，故x4y3的系数为240－160＝80，故选D.
4.在6的展开式中，含x5项的系数为(　　)
A．6 B．－6
C．24 D．－24
解析：选B　由6＝C6－C5＋C4＋…－C＋C，可知只有－C5的展开式中含有x5，所以6的展开式中含x5项的系数为－CC＝－6，故选B.
突破点二　二项式系数性质及应用


二项式系数的性质


一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)
(2)在(1－x)9的展开式中，系数最大的项是第5项和第6项．(　　)
(3)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
二、填空题
1．若n的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为________．
答案：84
2．已知m是常数，若(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，则m＝________.
答案：3
3．若(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.
答案：2


考法一　二项展开式中系数和的问题　
赋值法在求各项系数和中的应用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．
①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
[例1]　(1)(2019·郑州一中月考)若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为(　　)
A．－1　　　　　　　　　 　B．1
C．27 D．－27
(2)(2019·襄阳四中月考)设(x2＋1)(2x＋1)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a10(x＋2)10，则a0＋a1＋a2＋…＋a10的值为________．
[解析]　(1)依题意得2n＝8，解得n＝3，取x＝1，得该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.故选A.
(2)在所给的多项式中，令x＝－1可得(1＋1)×(－2＋1)8＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，即a0＋a1＋a2＋…＋a10＝2.
[答案]　(1)A　(2)2
[易错提醒]
(1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；
(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．　　
考法二　二项式系数或展开式系数的最值问题　
求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤
第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个．
第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．
[例2]　(1)(2019·内蒙古鄂尔多斯模拟)在5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
(2)(2019·福州高三期末)设n为正整数，n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为________．
[解析]　(1)5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r·r＝(－a)rCx5－2r，令5－2r＝3，则r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1，展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C＝10，选B.
(2)依题意得，n＝8，所以展开式的通项Tr＋1＝Cx8－r·r＝Cx8－4r(－2)r，令8－4r＝0，解得r＝2，所以展开式中的常数项为T3＝C(－2)2＝112.
[答案]　(1)B　(2)112
[方法技巧]　　求展开式系数最值的2个思路
思路一
由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值
思路二
由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案

1.设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是(　　)
A．15x3　　　　　　　　　 　B．20x3
C．21x3 D．35x3
解析：选B　在(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn中，
令x＝1得2n＝a0＋a1＋a2＋…＋an；
令x＝0，得1＝a0，
∴a1＋a2＋…＋an＝2n－1＝63，∴n＝6.
而(1＋x)6的展开式中系数最大的项为T4＝Cx3＝20x3.
2.(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.
令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.
答案：3
3.设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中二项式系数最大的项为________．
解析：依题意得，M＝4n＝(2n)2，N＝2n，
于是有(2n)2－2n＝240，(2n＋15)(2n－16)＝0，
∴2n＝16＝24，解得n＝4.
要使二项式系数C最大，只有k＝2，
故展开式中二项式系数最大的项为
T3＝C(5x)2·(－)2＝150x3.
答案：150x3
[课时跟踪检测]
[A级　基础题——基稳才能楼高]
1．5的展开式中x2y3的系数是(　　)
A．－20　　　　　　　　 　B．－5
C．5 D．20
解析：选A　由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系数为－20，选A.
2．二项式10的展开式中的常数项是(　　)
A．180 B．90
C．45 D．360
解析：选A　10的展开式的通项为Tk＋1＝C·()10－kk＝2kCx5－k，
令5－k＝0，得k＝2，故常数项为22C＝180.
3．在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选C　二项式中仅x5项系数最大，其最大值必为Cn，即得＝5，解得n＝10.
4．(2019·东北三校联考)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝(　　)
A．0 B．1
C．32 D．－1
解析：选A　由(1－x)5的展开式的通项Tr＋1＝C(－x)r＝C(－1)rxr，可知a1，a3，a5都小于0.则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.
在原二项展开式中令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.故选A.
5．(2019·广西阳朔中学月考)(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中，x2y3z2的系数为(　　)
A．－30 B．120
C．240 D．420
解析：选B　[(x＋2y)＋z]6的展开式中含z2的项为C(x＋2y)4z2，(x＋2y)4的展开式中xy3项的系数为C×23，x2y2项的系数为C×22，∴(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中x2y3z2的系数为CC×23－CC×22＝480－360＝120，故选B.
6．(2019·太原模拟)在多项式(1＋2x)6(1＋y)5的展开式中，xy3的系数为________．
解析：因为二项式(1＋2x)6的展开式中含x的项的系数为2C，二项式(1＋y)5的展开式中含y3的项的系数为C，所以在多项式(1＋2x)6(1＋y)5的展开式中，xy3的系数为2CC＝120.
答案：120
[B级　保分题——准做快做达标]
1．若二项式n展开式中的第5项是常数，则自然数n的值为(　　)
A．6 B．10
C．12 D．15
解析：选C　由二项式n展开式的第5项C()n－44＝16Cx－6是常数项，可得－6＝0，
解得n＝12.
2．(2019·新乡模拟)(1－3x)7的展开式的第4项的系数为(　　)
A．－27C B．－81C
C．27C D．81C
解析：选A　(1－3x)7的展开式的第4项为T3＋1＝C×17－3×(－3x)3＝－27Cx3，其系数为－27C，选A.
3．(2019·益阳、湘潭高三调考)若(1－3x)2 018＝a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018的值为(　　)
A．22 018－1 B．82 018－1
C．22 018 D．82 018
解析：选B　由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝82 018－a0＝82 018－1，故选B.
4．在二项式n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为(　　)
A．6 B．9
C．12 D．18
解析：选B　在二项式n的展开式中，令x＝1得各项系数之和为4n，即A＝4n，二项展开式中的二项式系数之和为2n，即B＝2n.∵A＋B＝72，∴4n＋2n＝72，解得n＝3，∴n＝3的展开式的通项为Tr＋1＝C()3－rr＝3rCx，令＝0，得r＝1，故展开式中的常数项为T2＝3×C＝9，故选B.
5．(2019·山西五校联考)5的展开式中常数项为(　　)
A．－30 B．30
C．－25 D．25
解析：选C　5＝x25－3x5＋5，5的展开式的通项Tr＋1＝C(－1)rr，易知当r＝4或r＝2时原式有常数项，令r＝4，T5＝C(－1)44，令r＝2，T3＝C(－1)2·2，故所求常数项为C－3×C＝5－30＝－25，故选C.
6．(2019·武昌调研)若n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1 024，则该展开式中的常数项为(　　)
A．－270 B．270
C．－90 D．90
解析：选C　n的展开式中所有项系数的绝对值之和等于n的展开式中所有项系数之和．令x＝1，得4n＝1 024，∴n＝5.则n＝5，其通项Tr＋1＝C5－r·(－)r＝C·35－r·(－1)r·x，令＋＝0，解得r＝3，∴该展开式中的常数项为T4＝C·32·(－1)3＝－90，故选C.
7．(2018·四川双流中学月考)在(x－2)6展开式中，二项式系数的最大值为m，含x5项的系数为n，则＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选D　因为n＝6是偶数，所以展开式共有7项，其中中间一项的二项式系数最大，其二项式系数为m＝C＝20，含x5项的系数为n＝(－1)C×2＝－12，则＝－＝ －.故选D.
8．(2019·河南师范大学附属中学月考)已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为(　　)
A．39 B．310
C．311 D．312
解析：选D　由题意得，因为(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，两边同时求导，可得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝310，令x＝ －1，得a1－2a2＋3a3－4a4＋…＋9a9＝9，又(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＋7a7＋8a8＋9a9)·(a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5－6a6＋7a7－8a8＋9a9)＝310×9＝312.
9．(2019·衡水调研)若(x－2y)6的展开式中的二项式系数和为S，x2y4的系数为P，则为(　　)
A. B．
C．120 D．240
解析：选B　由题意知，S＝C＋C＋…＋C＝26＝64，
P＝C(－2)4＝15×16＝240，
故＝＝.
故选B.
10．(2019·达州期末)已知(3x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，设(3x－1)n展开式的二项式系数和为Sn，Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an(n∈N*)，Sn与Tn的大小关系是(　　)
A．Sn＞Tn
B．Sn＜Tn
C．n为奇数时，Sn＜Tn，n为偶数时，Sn＞Tn
D．Sn＝Tn
解析：选C　Sn＝2n，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2n，令x＝0，得a0＝(－1)n，所以Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝Sn－a0＝Sn－(－1)n，所以当n为偶数时，Tn＝Sn－1＜Sn，当n为奇数时，Tn＝Sn＋1＞Sn，故选C.
11．(2019·成都检测)在二项式5的展开式中，若常数项为－10，则a＝________.
解析：5的展开式的通项Tr＋1＝C(ax2)5－r×r＝Ca5－rx10－，令10－＝0，得r＝4，所以Ca5－4＝－10，解得a＝－2.
答案：－2
12．(2019·济南模拟)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x4项的系数为________．
解析：因为展开式中各项系数的和为2，所以令x＝1，得(1－a)×1＝2，解得a＝ －1.5展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)5－rr＝(－1)r25－rCx5－2r，令5－2r＝3，得r＝1，展开式中含x3项的系数为T2＝(－1)×24C＝－80，令5－2r＝5，得r＝0，展开式中含x5项的系数为T1＝25C＝32，所以5的展开式中含x4项的系数为－80＋32＝－48.
答案：－48
13．(2019·贵阳调研)9的展开式中x3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________．
解析：二项展开式的通项Tr＋1＝Cx9－rr＝arCx9－2r，令9－2r＝3，得r＝3，所以a3C＝－84，所以a＝－1，所以二项式为9，令x＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.
答案：0
14．(2019·天水一中一模)已知(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x的系数为2，则实数a的值为________．
解析：因为(1－2x)5的展开式中的常数项为1，x的系数为C×(－2)＝－10；(1＋ax)4的展开式中的常数项为1，x的系数为C·a＝4a，所以(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x的系数为1×4a＋1×(－10)＝2，所以a＝3.
答案：3