2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第六章第二节等差数列及其前n项和

第二节等差数列及其前n项和

一、基础知识批注——理解深一点
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.
3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．
(2)数列{an}是等差数列，且公差不为0⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
二、常用结论汇总——规律多一点
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．
(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.
(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(6)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.
(7)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.
(8)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.
(9)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.
三、基础小题强化——功底牢一点

(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)
(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
(二)选一选
1．在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　)
A．1　　　　　　　　　 　B．2
C．3 D．4
解析：选B　∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，则公差d＝a4－a3＝2，故选B.
2．数列{2n－1}的前10项的和是(　　)
A．120 B．110
C．100 D．10
解析：选C　∵数列{2n－1}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴S10＝＝＝100.故选C.
3．已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝an－1，则a4等于(　　)
A．2 B．0
C．－1 D．－2
解析：选D　因为a1＝1，an＋1＝an－1，所以数列{an}为等差数列，公差d为－1，所以a4＝a1＋3d＝1－3＝－2，故选D.
(三)填一填
4．设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则S3＝________.
解析：设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得解得于是S3＝3×(－9)＋×3＝－18.
答案：－18
5．(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________．
解析：法一：设数列{an}的公差为d.∵a2＋a5＝36，∴(a1＋d)＋(a1＋4d)＝36，∴2a1＋5d＝36.∵a1＝3，∴d＝6，∴an＝6n－3.
法二：设数列{an}的公差为d，∵a2＋a5＝a1＋a6＝36，a1＝3，∴a6＝33，∴d＝＝6.∵a1＝3，∴an＝6n－3.
答案：an＝6n－3


[典例]　(1)(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)
A．－12　　　　　　　　　 　B．－10
C．10 D．12
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝4，S4＝22，an＝28，则n＝(　　)
A．3 B．7
C．9 D．10
[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝ －10.
(2)因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝＝3，a1＝a2－d＝4－3＝1，an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由3n－2＝28，解得n＝10.
[答案]　(1)B　(2)D
[解题技法]　等差数列的基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
[提醒]　在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．
[题组训练]
1．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得解得故选B.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3·a5＝12，a2＝0.若a1>0，则S20＝(　　)
A．420 B．340
C．－420 D．－340
解析：选D　设数列{an}的公差为d，则a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由a3·a5＝12得d＝±2，由a1>0，a2＝0，可知d<0，所以d＝－2，所以a1＝2，故S20＝20×2＋× (－2)＝－340，选D.
3．在等差数列{an}中，已知a5＋a10＝12，则3a7＋a9＝(　　)
A．12 B．18
C．24 D．30
解析：选C　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
因为a5＋a10＝12，
所以2a1＋13d＝12，
所以3a7＋a9＝3(a1＋6d)＋a1＋8d＝4a1＋26d＝2(2a1＋13d)＝2×12＝24.

[典例]　已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：是等差数列．
(2)求an的表达式．
[解]　(1)证明：因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
又an＝－2Sn·Sn－1，所以Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.
因此－＝2(n≥2)．
故由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，
即Sn＝.
由于当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－，
又因为a1＝，不适合上式．
所以an＝
[解题技法]　等差数列的判定与证明方法
方　法
解　读
适合题型
定义法
对于任意自然数n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中证明问题
等差中项法
2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列

[提醒]　用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解．比如，对于满足an－an－1＝1(n≥3)的数列{an}而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定起始项a2－a1是否等于1.

[题组训练]
1．(2019·陕西质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　)
A．13　　　　　　　　　 　B．49
C．35 D．63
解析：选B　由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知数列{an}是等差数列，所以S7＝＝＝49.
2．已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)，设bn＝(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列．
证明：∵an＝2－(n≥2)，∴an＋1＝2－.
∴bn＋1－bn＝－＝－＝＝1，
∴{bn}是首项为b1＝＝1，公差为1的等差数列．



考法(一)　等差数列项的性质
[典例]　(1)已知在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝(　　)
A．10　　　　　　　　　 　B．20
C．40 D．2＋log25
(2)(2019·福建模拟)设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若a5＝2b5，则＝(　　)
A．2　　　　　　　 　B．3
C．4 D．6
[解析]　(1)因为2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，
所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20.选B.
(2)由a5＝2b5，得＝2，所以＝＝＝2，故选A.
[答案]　(1)B　(2)A

考法(二)　等差数列前n项和的性质
[典例]　设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A．63　　　　　　　　　 　B．45
C．36 D．27
[解析]　由{an}是等差数列，
得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，
即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.
[答案]　B

考法(三)　等差数列前n项和的最值
[典例]　在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)
A．S15　　　　　　　　　 　B．S16
C．S15或S16 D．S17
[解析]　∵a1＝29，S10＝S20，
∴10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2，
∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.
∴当n＝15时，Sn取得最大值．
[答案]　A


[解题技法]
1．应用等差数列的性质解题的2个注意点
(1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．
(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等．
2．求等差数列前n项和Sn最值的2种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.

[题组训练]
1．在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝(　　)
A．－12 B．－13
C．12 D．13
解析：选B　法一：设公差为d，则2d＝a5－a3＝－9＋5＝－4，则d＝－2，故a7＝a3＋4d＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.
法二：由等差数列的性质得a7＝2a5－a3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B.
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为(　　)
A．6 B．7
C．12 D．13
解析：选C　因为a1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以S12>0，S13<0，所以满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则数列{an}的项数为________．
解析：由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①
an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②
①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，
∴a1＋an＝36，又Sn＝＝324，
∴18n＝324，∴n＝18.
答案：18


A级——保大分专练

1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2，Sn为{an}的前n项和，则S10等于(　　)
A．90　　　　　　　　　 　B．100
C．110 D．130
解析：选C　由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列，S10＝10×2＋×2＝110.故选C.
2．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7的值是(　　)
A．30 B．29
C．28 D．27
解析：选C　由题意，设等差数列的公差为d，则d＝＝1，故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝＝＝7×4＝28.故选C.
3．(2019·山西五校联考)在数列{an}中，an＝28－5n，Sn为数列{an}的前n项和，当Sn最大时，n＝(　　)
A．2 B．3
C．5 D．6
解析：选C　∵an＝28－5n，∴数列{an}为递减数列．
令an＝28－5n≥0，则n≤，又n∈N*，∴n≤5.
∵Sn为数列{an}的前n项和，∴当n＝5时，Sn最大．故选C.
4．(2019·广东中山一中统测)设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝－2n＋1，则数列的前11项和为(　　)
A．－45 B．－50
C．－55 D．－66
解析：选D　∵an＝－2n＋1，∴数列{an}是以－1为首项，－2为公差的等差数列， ∴Sn＝＝－n2，∴＝＝－n，∴数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列的前11项和为11×(－1)＋×(－1)＝－66，故选D.
5．(2018·南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝50，S10＝200，则a10＋a11的值为(　　)
A．20 B．40
C．60 D．80
解析：选D　设等差数列{an}的公差为d，
由已知得
即解得
∴a10＋a11＝2a1＋19d＝80.故选D.
6．(2019·广州高中综合测试)等差数列{an}的各项均不为零，其前n项和为Sn.若a＝an＋2＋an，则S2n＋1＝(　　)
A．4n＋2 B．4n
C．2n＋1 D．2n
解析：选A　因为{an}为等差数列，所以an＋2＋an＝2an＋1，又a＝an＋2＋an，所以a＝2an＋1.因为数列{an}的各项均不为零，所以an＋1＝2，所以S2n＋1＝＝＝4n＋2.故选A.
7．已知等差数列5,4，3，…，则前n项和Sn＝________.
解析：由题知公差d＝－，所以Sn＝na1＋d＝(15n－n2)．
答案：(15n－n2)
8．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.
解析：∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.
∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.
∴S6＝6a1＋d＝6×6－30＝6.
答案：6
9．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为________．
解析：∵∴
∴Sn的最大值为S5.
答案：S5
10．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.
解析：因为S100＝(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝，
a1＋a99＝a1＋a100－d＝，
则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(a1＋a99)＝×＝10.
答案：10
11．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
解：(1)设{an}的公差为d，
由题意得3a1＋3d＝－15.
又a1＝－7，所以d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝＝n2－8n＝(n－4)2－16，
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
12．(2019·山东五校联考)已知等差数列{an}为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，d>0，
∵等差数列{an}的前3项的和为－3，前3项的积为8，
∴
∴或
∵d>0，∴a1＝－4，d＝3，∴an＝3n－7.
(2)∵an＝3n－7，∴a1＝3－7＝－4，
∴Sn＝＝.

B级——创高分自选

1．设an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中不正确的是(　　)
A．{an＋1－an}是等差数列　 　B．{bn＋1－bn}是等差数列
C．{an－bn}是等差数列 D．{an＋bn}是等差数列
解析：选D　对于A，因为an＝(n＋1)2，
所以an＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3，
设cn＝2n＋3，
所以cn＋1－cn＝2.
所以{an＋1－an}是等差数列，故A正确；
对于B，因为bn＝n2－n(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝2n，
设cn＝2n，所以cn＋1－cn＝2，
所以{bn＋1－bn}是等差数列，故B正确；
对于C，因为an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，
所以an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1，
设cn＝3n＋1，所以cn＋1－cn＝3，
所以{an－bn}是等差数列，故C正确；
对于D，an＋bn＝2n2＋n＋1，设cn＝an＋bn，cn＋1－cn不是常数，故D错误．
2．(2019·武汉调研)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a7＝36，
∴a4＋a6＝36，又a4a6＝275，
联立，解得或
当时，可得此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an<0，当n≥3时，an>0，
∴a2a3＝－12为anan＋1的最小值；
当时，可得此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，当n≥8时，an<0，
∴a7a8＝－12为anan＋1的最小值．
综上，anan＋1的最小值为－12.
答案：－12
3．(2018·辽宁五校协作体模考)已知数列{an}是等差数列，且a1，a2(a1 (1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)在(1)中，设bn＝，求证：当c＝－时，数列{bn}是等差数列．
解：(1)∵a1，a2(a1 ∴a1＝1，a2＝5，
∴等差数列{an}的公差为4，
∴Sn＝n×1＋×4＝2n2－n.
(2)证明：当c＝－时，bn＝＝＝2n，
∴bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2，b1＝2.
∴数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列．