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2020版数学（理）新设计大一轮人教A版新高考（鲁津京琼）讲义：第二章函数第9节
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第9节 函数与数学模型
考试要求 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义；3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.
知 识 梳 理
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化
而各有不同
2.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数
相关模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数
相关模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数
相关模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
[微点提醒]
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( )
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.( )
(3)不存在x0，使ax0
解析 (1)9折出售的售价为100(1＋10%)×＝99元.
∴每件赔1元，(1)错.
(2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.
(3)中，如a＝x0＝，n＝，不等式成立，(3)错.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(必修1P107A1改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A.y＝2x B.y＝x2－1
C.y＝2x－2 D.y＝log2x
解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意.
答案 D
3.(必修1P59A6改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A.2020年 B.2021年
C.2022年 D.2023年
解析 设经过n年资金开始超过200万元，
即130(1＋12%)n>200.
两边取对数，得n·lg1.12>lg 2－lg 1.3，
∴n>≈＝，∴n≥4，
∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.
答案 B
4.(2019·上海静安区月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元).一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )
A.36万件 B.18万件
C.22万件 D.9万件
解析 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18万件时，L(x)有最大值.
答案 B
5.(2019·天津和平区质检)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x)
解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次g(x)>f(x)>h(x).
答案 B
6.(2019·枣庄调研)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元.销售额x为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元.
解析 依题意解得
∴y＝2log4x－2，
令2log4x－2＝8，得x＝45＝1 024.
答案 1 024
考点一 利用函数的图象刻画实际问题
【例1】 (2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是( )
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
解析 由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误.
答案 A
规律方法 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.
2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.
【训练1】 高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
解析 v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.
答案 B
考点二 已知函数模型求解实际问题
【例2】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.
解 (1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40，
∴C(x)＝(0≤x≤10)，
∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10).
(2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋－10.
令3x＋5＝t，t∈[5，35]，
则y＝2t＋－10≥2－10＝70(当且仅当2t＝，即t＝20时等号成立)，
此时x＝5，因此f(x)的最小值为70.
∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.
规律方法 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
【训练2】 (2019·日照月考)已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝求该服装厂所获得的最大效益是多少元？
解 设该服装厂所获效益为f(x)元，
则f(x)＝100xq(x)＝
当0
令f′(x)＝0，∴x＝80.
当200，f(x)单调递增，当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
所以当x＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.
由于120 000<240 000.
故该服装厂所获得的最大效益是240 000元.
考点三 构造函数模型求解实际问题多维探究
角度1 二次函数、分段函数模型
【例3－1】 (2019·锦州模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4
解 (1)由题意得当0
由已知得解得
所以v＝－x＋.故函数v＝
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意，
由(1)得f(x)＝
当0
角度2 构建指数(对数)型函数模型
【例3－2】 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0
解得x＝1－.
故每年砍伐面积的百分比为1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，把x＝1－代入，
即＝，即＝，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年.
规律方法 1.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.
2.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：
①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.
【训练3】 (1)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )
A.13 m3 B.14 m3 C.18 m3 D.26 m3
(2)(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( )
(参考数据：lg 3≈0.48)
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
解析 (1)设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝
则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.
(2)M≈3361，N≈1080，≈，则lg≈lg＝lg 3361－lg1080＝361lg 3－80≈93.∴≈1093.
答案 (1)A (2)D
[思维升华]
解函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题.
以上过程用框图表示如下：
[易错防范]
1.解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯.
2.在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系.
3.解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为图中的( )
解析 由题意得关系式为h＝20－5t(0≤t≤4).图象应为B项.
答案 B
2.设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0
解析 由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，则由解得0
答案 B
3.某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A.10.5万元 B.11万元
C.43万元 D.43.025万元
解析 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1＋0.1×＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.
答案 C
4.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的( )
A.倍 B.10倍 C.10倍 D.ln倍
解析 由η＝10lg 得I＝I010，所以I1＝I0107，I2＝I0106，所以＝10，所以70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的10倍.
答案 C
5.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，由<，得n≥10.
所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.
答案 C
二、填空题
6.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.
解析 一年的总运费与总存储费用之和为y＝6×＋4x＝＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时，y有最小值240.
答案 30
7.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示).
解析 令t＝(t≥0)，则A＝t2，所以D＝at－t2＝－＋a2.所以当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值.
答案 a2
8.一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，
t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.
解析 当t＝8时，y＝ae－8b＝a，所以e－8b＝.
容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24.
所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一.
答案 16
三、解答题
9.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
解 (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2，3
＝30(x－4)·(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3，4)
4
(4，6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值42
单调递减
由上表可得，x＝4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，
即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组得
(2)由(1)知，v＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为( )
A.5 B.8 C.9 D.10
解析 ∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，
可得n＝ln ，∴f(t)＝a·，
因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，
f(k)＝a·＝a，即＝，
∴k＝10，由题可知m＝k－5＝5.
答案 A
12.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A.略有盈利 B.略有亏损
C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况
解析 设该股民购这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损.
答案 B
13.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.
解析 由已知条件，得192＝eb，
又48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2，
∴e11k＝＝＝.
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，
则t＝e33k＋b＝192 e33k＝192(e11k)3＝192×＝24.
答案 24
14.某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，员工每年净增a人(a∈N*).
(1)若a＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？
(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？
解 设从今年起的第x年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y万元.
则y＝(a∈N*，1≤x≤10，x∈N*).
(1)当a＝10时，假设该企业的人均年终奖会超过3万元，则>3，解得x>>10.
所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元.
(2)任取x1，x2∈N*，且1≤x1
＝>0，
所以60×800－2 000a>0，解得a<24.
所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人.
考试要求 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义；3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.
知 识 梳 理
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化
而各有不同
2.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数
相关模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数
相关模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数
相关模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
[微点提醒]
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( )
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.( )
(3)不存在x0，使ax0
解析 (1)9折出售的售价为100(1＋10%)×＝99元.
∴每件赔1元，(1)错.
(2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.
(3)中，如a＝x0＝，n＝，不等式成立，(3)错.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(必修1P107A1改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A.y＝2x B.y＝x2－1
C.y＝2x－2 D.y＝log2x
解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意.
答案 D
3.(必修1P59A6改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A.2020年 B.2021年
C.2022年 D.2023年
解析 设经过n年资金开始超过200万元，
即130(1＋12%)n>200.
两边取对数，得n·lg1.12>lg 2－lg 1.3，
∴n>≈＝，∴n≥4，
∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.
答案 B
4.(2019·上海静安区月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元).一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )
A.36万件 B.18万件
C.22万件 D.9万件
解析 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18万件时，L(x)有最大值.
答案 B
5.(2019·天津和平区质检)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x)
解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次g(x)>f(x)>h(x).
答案 B
6.(2019·枣庄调研)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元.销售额x为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元.
解析 依题意解得
∴y＝2log4x－2，
令2log4x－2＝8，得x＝45＝1 024.
答案 1 024
考点一 利用函数的图象刻画实际问题
【例1】 (2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是( )
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
解析 由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误.
答案 A
规律方法 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.
2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.
【训练1】 高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
解析 v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.
答案 B
考点二 已知函数模型求解实际问题
【例2】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.
解 (1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40，
∴C(x)＝(0≤x≤10)，
∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10).
(2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋－10.
令3x＋5＝t，t∈[5，35]，
则y＝2t＋－10≥2－10＝70(当且仅当2t＝，即t＝20时等号成立)，
此时x＝5，因此f(x)的最小值为70.
∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.
规律方法 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
【训练2】 (2019·日照月考)已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝求该服装厂所获得的最大效益是多少元？
解 设该服装厂所获效益为f(x)元，
则f(x)＝100xq(x)＝
当0
令f′(x)＝0，∴x＝80.
当20
所以当x＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.
由于120 000<240 000.
故该服装厂所获得的最大效益是240 000元.
考点三 构造函数模型求解实际问题多维探究
角度1 二次函数、分段函数模型
【例3－1】 (2019·锦州模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4
解 (1)由题意得当0
由已知得解得
所以v＝－x＋.故函数v＝
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意，
由(1)得f(x)＝
当0
角度2 构建指数(对数)型函数模型
【例3－2】 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0
解得x＝1－.
故每年砍伐面积的百分比为1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，把x＝1－代入，
即＝，即＝，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年.
规律方法 1.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.
2.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：
①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.
【训练3】 (1)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )
A.13 m3 B.14 m3 C.18 m3 D.26 m3
(2)(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( )
(参考数据：lg 3≈0.48)
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
解析 (1)设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝
则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.
(2)M≈3361，N≈1080，≈，则lg≈lg＝lg 3361－lg1080＝361lg 3－80≈93.∴≈1093.
答案 (1)A (2)D
[思维升华]
解函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题.
以上过程用框图表示如下：
[易错防范]
1.解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯.
2.在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系.
3.解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为图中的( )
解析 由题意得关系式为h＝20－5t(0≤t≤4).图象应为B项.
答案 B
2.设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0
解析 由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，则由解得0
答案 B
3.某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A.10.5万元 B.11万元
C.43万元 D.43.025万元
解析 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1＋0.1×＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.
答案 C
4.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的( )
A.倍 B.10倍 C.10倍 D.ln倍
解析 由η＝10lg 得I＝I010，所以I1＝I0107，I2＝I0106，所以＝10，所以70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的10倍.
答案 C
5.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，由<，得n≥10.
所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.
答案 C
二、填空题
6.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.
解析 一年的总运费与总存储费用之和为y＝6×＋4x＝＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时，y有最小值240.
答案 30
7.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示).
解析 令t＝(t≥0)，则A＝t2，所以D＝at－t2＝－＋a2.所以当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值.
答案 a2
8.一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，
t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.
解析 当t＝8时，y＝ae－8b＝a，所以e－8b＝.
容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24.
所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一.
答案 16
三、解答题
9.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
解 (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2，3
＝30(x－4)·(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3，4)
4
(4，6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值42
单调递减
由上表可得，x＝4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，
即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组得
(2)由(1)知，v＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为( )
A.5 B.8 C.9 D.10
解析 ∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，
可得n＝ln ，∴f(t)＝a·，
因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，
f(k)＝a·＝a，即＝，
∴k＝10，由题可知m＝k－5＝5.
答案 A
12.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A.略有盈利 B.略有亏损
C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况
解析 设该股民购这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损.
答案 B
13.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.
解析 由已知条件，得192＝eb，
又48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2，
∴e11k＝＝＝.
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，
则t＝e33k＋b＝192 e33k＝192(e11k)3＝192×＝24.
答案 24
14.某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，员工每年净增a人(a∈N*).
(1)若a＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？
(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？
解 设从今年起的第x年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y万元.
则y＝(a∈N*，1≤x≤10，x∈N*).
(1)当a＝10时，假设该企业的人均年终奖会超过3万元，则>3，解得x>>10.
所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元.
(2)任取x1，x2∈N*，且1≤x1
＝>0，
所以60×800－2 000a>0，解得a<24.
所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人.
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