2020版数学（理）人教A版新设计大一轮讲义：第五章第2节等差数列及其前n项和

第2节　等差数列及其前n项和
考试要求　1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.

知 识 梳 理
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.
[微点提醒]
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).
基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　)
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　)
解析　(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.
(4)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数.
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

2.(必修5P46A2改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　)
A.31 B.32 C.33 D.34
解析　由已知可得
解得∴S8＝8a1＋d＝32.
答案　B
3.(必修5P68A8改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
解析　由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
答案　180

4.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)
A.－12 B.－10 C.10 D.12
解析　设等差数列{an}的公差为d，则3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即d＝－a1.又a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
答案　B
5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为(　　)
A.－3 B.－ C.－2 D.－4
解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
因为所以
解得d＝－4.
答案　D
6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{an}中，已知a3＋a8>0，且S9<0，则S1，S2，…，S9中最小的是______.
解析　在等差数列{an}中，
∵a3＋a8>0，S9<0，
∴a5＋a6＝a3＋a8>0，S9＝＝9a5<0，
∴a5<0，a6>0，
∴S1，S2，…，S9中最小的是S5.
答案　S5

考点一　等差数列基本量的运算
【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝(　　)
A.9 B.10 C.11 D.15
解析　(1)法一　设等差数列{an}的公差为d，
依题意得所以d＝4.
法二　等差数列{an}中，S6＝＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5，
又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，则d＝4.
(2)设等差数列{an}的公差为d，依题意得
解得
∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.
答案　(1)C　(2)B
规律方法　1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
【训练1】 (1)等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)，…的第四项等于(　　)
A.3 B.4 C.log318 D.log324
(2)(一题多解)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.
解析　(1)∵log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)成等差数列，
∴log3(2x)＋log3(4x＋2)＝2log3(3x)，
∴log3[2x(4x＋2)]＝log3(3x)2，则2x(4x＋2)＝9x2，
解之得x＝4，x＝0(舍去).
∴等差数列的前三项为log38，log312，log318，
∴公差d＝log312－log38＝log3，
∴数列的第四项为log318＋log3＝log327＝3.
(2)法一　设数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S3＝6，S4＝12，可得解得
所以S6＝6a1＋15d＝30.
法二　由{an}为等差数列，故可设前n项和Sn＝An2＋Bn，
由S3＝6，S4＝12可得
解得即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30.
答案　(1)A　(2)30
考点二　等差数列的判定与证明　典例迁移
【例2】 (经典母题)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，
又＝＝2，
故是首项为2，公差为2的等差数列.
(2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.
当n＝1时，a1＝不适合上式.
故an＝
【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由.
解　因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2SnSn－1＝0，
所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2).
所以－＝2(n≥2).
又＝＝2，
所以是以2为首项，2为公差的等差数列.
所以＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝.
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
所以an＋1＝，又an＋1－an＝－＝＝.
所以当n≥2时，an＋1－an的值不是一个与n无关的常数，故数列{an}不是一个等差数列.
【迁移探究2】 本例中，若将条件变为a1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式.
解　由已知可得＝＋1，即－＝1，又a1＝，
∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，
∴＝＋(n－1)·1＝n－，∴an＝n2－n.
规律方法　1.证明数列是等差数列的主要方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.
2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：
(1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.
(2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.
【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.
解　(1)设{an}的公比为q，由题设可得
解得
故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)由(1)可得
Sn＝＝－＋(－1)n.
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n.
＝2＝2Sn，
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.
考点三　等差数列的性质及应用　多维探究
角度1　等差数列项的性质
【例3－1】 (2019·临沂一模)在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则a2＋a14的值为(　　)
A.6 B.12 C.24 D.48
解析　∵在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，
由等差数列的性质，a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，
∴a8＝24，∴a2＋a14＝2a8＝48.
答案　D
角度2　等差数列和的性质
【例3－2】 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A.63 B.45 C.36 D.27
解析　由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，
即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，
所以a7＋a8＋a9＝45.
答案　B
规律方法　1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an.
【训练3】 (1)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 015，－＝6，则S2 019＝________.
(2)(2019·荆州一模)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是(　　)
A.15 B.30 C.31 D.64
(3)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于(　　)
A. B. C. D.
解析　(1)由等差数列的性质可得也为等差数列.
设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1.
故＝＋2 018d＝－2 015＋2 018＝3，
∴S2 019＝3×2 019＝6 057.
(2)由a3＋a4＋a5＝3及等差数列的性质，
∴3a4＝3，则a4＝1.
又a4＋a12＝2a8，得1＋a12＝2×8.
∴a12＝16－1＝15.
(3)＝＝＝＝
＝＝.
答案　(1)6 057　(2)A　(3)A
考点四　等差数列的前n项和及其最值
【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设a1>0，λ＝100，当n为何值时，数列的前n项和最大？
解　(1)令n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0，
因为a1≠0，所以a1＝，
当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1，
两式相减得2an－2an－1＝an(n≥2).
所以an＝2an－1(n≥2)，
从而数列{an}为等比数列，an＝a1·2n－1＝.
(2)当a1>0，λ＝100时，由(1)知，an＝，
则bn＝lg ＝lg ＝lg 100－lg 2n＝2－nlg 2，
所以数列{bn}是单调递减的等差数列，公差为－lg 2，
所以b1>b2>…>b6＝lg ＝lg >lg 1＝0，
当n≥7时，bn≤b7＝lg 所以数列的前6项和最大.
规律方法　求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法：
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.
(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求Sn的最值.
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最大值)；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最小值).
【训练4】 (1)等差数列{an}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a5＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则数列的前n项和取最小值时的n为(　　)
A.3 B.3或4
C.4或5 D.5
(2)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为________.
解析　(1)由题意知
由d≠0，解得a1＝－3，d＝2，
∴＝＝－3＋n－1＝n－4，
则n－4≥0，得n≥4，
∴数列的前n项和取最小值时的n为3或4.
(2)因为等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，
Sn＝na1＋d＝20n－×2
＝－n2＋21n＝－＋，
又因为n∈N*，所以n＝10或n＝11时，Sn取得最大值，最大值为110.
答案　(1)B　(2)110

[思维升华]
1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n项和Sn＝An2＋Bn及通项an＝pn＋q来判断一个数列是否为等差数列.
2.等差数列基本量思想
(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解.
(2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋d.
若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.
(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量.
[易错防范]
1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列.
2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)
A.100 B.99 C.98 D.97
解析　设等差数列{an}的公差为d，由已知，
得所以
所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98.
答案　C
2.(2019·淄博调研)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　)
A.1 B.－1 C.2 D.
解析　由于＝＝×＝1.
答案　A
3.(2019·中原名校联考)若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列，已知数列为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝(　　)
A.10 B.20 C.30 D.40
解析　依题意，－＝xn＋1－xn＝d，
∴{xn}是等差数列.
又x1＋x2＋…＋x20＝＝200.
∴x1＋x20＝20，从而x5＋x16＝x1＋x20＝20.
答案　B
4.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是(　　)
A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤
解析　用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，
由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，
∴8a1＋×17＝996，解之得a1＝65.
∴a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.
答案　B
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，－＝－4，则Sn取最大值时的n为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.4或5
解析　由{an}为等差数列，得－＝a5－a3＝2d＝－4，
即d＝－2，
由于a1＝9，所以an＝－2n＋11，令an＝－2n＋11<0，得n>，
所以Sn取最大值时的n为5.
答案　B
二、填空题
6.已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________.
解析　设项数为2n ，则由S偶－S奇＝nd得，25－15＝2n解得n＝5，故这个数列的项数为10.
答案　10
7.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝2anan＋1，则a6＝________.
解析　将an－an＋1＝2anan＋1两边同时除以anan＋1，－＝2.
所以是以＝1为首项，2为公差的等差数列，
所以＝1＋5×2＝11，即a6＝.
答案　
8.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.
解析　依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.
答案　200
三、解答题
9.等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解　(1)设数列{an}首项为a1，公差为d，
由题意得解得
所以{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，bn＝.
当n＝1，2，3时，1≤<2，bn＝1；
当n＝4，5时，2≤<3，bn＝2；
当n＝6，7，8时，3≤<4，bn＝3；
当n＝9，10时，4≤<5，bn＝4.
所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
10.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
(1)解　设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k，
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
(2)证明　由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，
则bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn＝＝.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2019·济宁模拟)设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则a18＝(　　)
A. B. C.3 D.
解析　令bn＝nan，则2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，
所以{bn}为等差数列，
因为b1＝1，b2＝4，所以公差d＝3，则bn＝3n－2，
所以b18＝52，
则18a18＝52，所以a18＝.
答案　B
12.(2019·青岛诊断)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn(n∈N*)，若＝，则＝(　　)
A. B. C. D.3
解析　由题意不妨设Sn＝n(2n－1)，Tn＝n(n＋1)，
所以a12＝S12－S11＝12×23－11×21＝45，
b6＝T6－T5＝6×(6＋1)－5×(5＋1)＝42－30＝12，
所以＝＝.
答案　A
13.设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
解析　由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
答案　130
14.(2019·长沙雅礼中学模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a13＝26，S9＝81.
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，若30Tn－m≤0对一切n∈N*成立，求实数m的最小值.
解　(1)∵等差数列{an}中，a1＋a13＝26，S9＝81，
∴解得
∴d＝＝＝2，
∴an＝a5＋(n－5)d＝9＋2(n－5)＝2n－1.
(2)∵bn＝＝
＝，
∴Tn＝
＝，
∵随着n的增大而增大，知{Tn}单调递增.
又>0，∴Tn<，∴m≥5，
∴实数m的最小值为5.
新高考创新预测
15.(多填题)设Sn为等差数列{an}的前n项和，满足S2＝S6，－＝2，则a1＝________，公差d＝________.
解析　由{an}为等差数列，得数列是首项为a1，公差为的等差数列，∵－＝2，∴＝2⇒d＝4，又S2＝S6⇒2a1＋4＝6a1＋×4⇒a1＝－14.
答案　－14　4