课时作业(三十) 等差数列及其前n项和 练习

课时作业(三十)　等差数列及其前n项和

一、选择题

1．(2017·太原一模)在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝(　　)

A．－1　　　　B．0

C.            D.

解析：由题知，a2＋a4＝2a3＝2，

又∵a2a4＝，数列{an}单调递增，

∴a2＝，a4＝.

∴公差d＝＝.∴a1＝a2－d＝0.

答案：B

2．数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n(n∈N*)，若p－q＝5，则ap－aq＝(　　)

A．10   B．15

C．－5  D．20

解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，

当n＝1时，a1＝S1＝5，符合上式，

∴an＝4n＋1，∴ap－aq＝4(p－q)＝20.

答案：D

3．(2017·湖南衡阳八中一模)已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则{an}前10项的和S10＝(　　)

A．100  B．210

C．380  D．400

解析：公差d＝＝＝4，∴a1＝7－4＝3，∴S10＝10×3＋×4＝210，故选B.

答案：B

4．等差数列{an}的前n项之和为Sn，若a5＝6，则S9为(　　)

A．45  B．54

C．63  D．27

解析：法一　∵S9＝＝9a5＝9×6＝54.

故选B.

法二：由a5＝6，得a1＋4d＝6，

∴S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝9×6＝54，故选B.

答案：B

5．(2017·河南六市一模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等，则a6＝(　　)

A.  B.

C.   D．1

解析：由题意得，＝＝，

又∵{an}和{}都是等差数列，且公差相同，

∴⇒

∴a6＝a1＋5d＝＋＝，∴故选A.

答案：A

6．(2017·江西红色七校联考)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝(n∈N*)，则＝(　　)

A．16  B.

C.  D.

解析：令Sn＝38n2＋14n，Tn＝2n2＋n，∴a6＝S6－S5＝38×62＋14×6－(38×52＋14×5)＝38×11＋14；b7＝T7－T6＝2×72＋7－(2×62＋6)＝2×13＋1，∴＝＝＝16.故选A.

答案：A

二、填空题

7．(2016·北京，理)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.

解析：∵{an}是等差数列，∴a3＋a5＝2a4＝0.∴a4＝0.

∴a4－a1＝3d＝－6.∴d＝－2.

∴S6＝6a1＋15d＝6×6＋15×(－2)＝6.

答案：6

8．(2017·江苏扬州中学质量检测)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a3＋a9＝a10－a8.若an＝0，则n＝________.

解析：∵a3＋a9＝a10－a8，∴a2＋a10＝a10－a8，

∴a2＋a8＝0，∴2a5＝0，∴a5＝0，则n＝5.

答案：5

9．在等差数列{an}中，3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}的前n项和，当Sn取得最大值时，n等于________．

解析：∵3a4＝7a7，∴3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，∴a1＝－d>0，∴d<0，∴an＝a1＋(n－1)d＝(4n－37)，当n≤9时，an>0，当n≥10时，an<0，∴Sn取得最大值时，n等于9.

答案：9

三、解答题

10．各项均为正数的数列{an}满足a＝4Sn－2an－1(n∈N*)，其中Sn为{an}的前n项和．

(1)求a1，a2的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

解析：(1)当n＝1时，a＝4S1－2a1－1，

即(a1－1)2＝0，解得a1＝1.

当n＝2时，a＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，

解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．

(2)a＝4Sn－2an－1，①

a＝4Sn＋1－2an＋1－1.②

②－①得a－a＝4an＋1－2an＋1＋2an

＝2(an＋1＋an)，

即(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)．

∵数列{an}各项均为正数，

∴an＋1＋an>0，an＋1－an＝2，

∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，

∴an＝2n－1.

11．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.

(1)求a及k的值；

(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.

解析：(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.

由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.

(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝.

12．(2017·济南模拟)等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？

解析：方法一　由S3＝S11得

3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.

从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，

又a1>0，所以－<0.故当n＝7时，Sn最大．

方法二　由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于n＝＝7对称．由方法一可知a＝－<0，故当n＝7时，Sn最大．

方法三　由方法一可知，d＝－a1.

要使Sn最大，则有

即

解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．

方法四　由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，

即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，

故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0，

所以a7>0，a8<0，所以当n＝7时，Sn最大．