2020版数学（理）人教A版新设计大一轮讲义：第八章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系

第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系
考试要求　1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

知 识 梳 理
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
方法位置
关系
几何法
代数法
相交
d Δ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜
d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0
[微点提醒]
1.关注一个直角三角形
当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形.
2.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.(　　)
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(　　)
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(　　)
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　)
解析　(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2.(必修2P132A5改编)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析　由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝.
又圆心(1，2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝＝，由＝r2－d2，得|AB|2＝10，即|AB|＝.
答案　
3.(必修2P133A9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________.
解析　由得两圆公共弦所在直线方程x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以，所求弦长为2.
答案　2

4.(2019·大连双基测试)已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m值为(　　)
A.± B.± C.± D.±1
解析　由x2＋y2－4x＋2＝0得圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，所以该圆的圆心坐标为(2，0)，半径r＝，又直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则圆心到直线的距离d＝＝，解得m＝±1.
答案　D
5.(2018·西安八校联考)若过点A(3，0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为(　　)
A.(－，) B.[－，]
C.(－，) D.
解析　数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1，0)与直线y＝k(x－3)的距离应小于等于半径1，即≤1，解得－≤k≤.
答案　D
6.(2019·北京海淀区模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)
A.21 B.19 C.9 D.－11
解析　圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3，4)，半径r2＝(m<25).从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9.
答案　C

考点一　直线与圆的位置关系
【例1】 (1)(2019·青岛测试)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
(2)已知⊙O：x2＋y2＝1，点A(0，－2)，B(a，2)，从点A观察点B，要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B.(－∞，－)∪(，＋∞)
C.(－∞，－)∪(，＋∞)
D.(－，)
解析　(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝＜1，故直线与圆O相交.
(2)易知点B在直线y＝2上，过点A(0，－2)作圆的切线.
设切线的斜率为k，则切线方程为y＝kx－2，
即kx－y－2＝0.
由d＝＝1，得k＝±.
∴切线方程为y＝±x－2，和直线y＝2的交点坐标分别为(－，2)，(，2).
故要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是
(－∞，－)∪(，＋∞).
答案　(1)B　(2)B
规律方法　判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
【训练1】 (1)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)
A.相离 B.相切
C.相交 D.以上都有可能
解析　(1)若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有＝2，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件.
(2)直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，
∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，
∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，
直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交.
答案　(1)A　(2)C
考点二　圆的切线、弦长问题　多维探究
角度1　圆的弦长问题
【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析　由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2.
答案　2
角度2　圆的切线问题
【例2－2】 过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)
A.y＝－ B.y＝－ C.y＝－ D.y＝－
解析　圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1，0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.
答案　B
角度3　与弦长有关的最值和范围问题
【例2－3】 (2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A.[2，6] B.[4，8]
C.[，3] D.[2，3]
解析　圆心(2，0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3].根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为(－2，0)，(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6].
答案　A
规律方法　1.弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
2.过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程；当斜率不存在时，要加以验证.
【训练2】 (1)已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线x－ay＋1＝0平行，则a＝________.
(2)(2019·杭州测试)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.
解析　(1)因为点P在圆(x－1)2＋y2＝5上，所以过点P(2，2)与圆(x－1)2＋y2＝5相切的切线方程为(2－1)(x－1)＋2y＝5，即x＋2y－6＝0，由直线x＋2y－6＝0与直线x－ay＋1＝0平行，得－a＝2，a＝－2.
(2)设P(3，1)，圆心C(2，2)，则|PC|＝，半径r＝2.由题意知最短的弦过P(3，1)且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2.
答案　(1)－2　(2)2
考点三　圆与圆的位置关系
【例3】 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解　因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为，，
(1)当两圆外切时，由＝＋，得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5，所以－＝5，解得m＝25－10.
(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
故两圆的公共弦的长为
2＝2.
规律方法　1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
【训练3】 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
(2)(2018·安阳模拟)已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直线恒过点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析　(1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝，小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.
(2)将圆C1与圆C2的方程相减得公共弦所在直线的方程为kx＋(k－2)y－4＝0，即k(x＋y)－(2y＋4)＝0，由得
即P(2，－2)，因此2m＋2n－2＝0，∴m＋n＝1，则mn≤＝，当且仅当m＝n＝时取等号，∴mn的取值范围是.
答案　(1)B　(2)D

[思维升华]
1.解决有关弦长问题的两种方法：
(1)几何法，直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝()2＋d2；
(2)代数法，联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝.
2.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程.注意：斜率不存在的情形.
[易错防范]
1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算.
2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
解析　∵过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，∴点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，
∵圆心与切点连线的斜率k＝＝，
∴切线的斜率为－2，
则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.
答案　B
2.(2018·佛山调研)已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是(　　)
A.{1，－1，3，－3} B.{5，－5，3，－3}
C.{1，－1} D.{3，－3}
解析　由题意得两圆的圆心距d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，解得a＝3或a＝－3或a＝1或a＝－1，所以a的所有取值构成的集合是{1，－1，3，－3}.
答案　A
3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析　圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d＝＝，半径是2，结合图形可知有3个符合条件的点.
答案　C
4.(2019·湖南十四校二联)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为(　　)
A.或－ B.或－
C. D.
解析　因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得＝1，所以a＝±.
答案　B
5.(2019·济南二模)直线l：kx－y＋k＋1＝0与圆x2＋y2＝8交于A，B两点，且|AB|＝4，过点A，B分别作l的垂线与y轴交于点M，N，是|MN|等于(　　)
A.2 B.4 C.4 D.8
解析　|AB|＝4为圆的直径，
所以直线AB过圆心(0，0)，
所以k＝－1，则直线l的方程为y＝－x，
所以两条垂线的斜率均为1，倾斜角45°，
结合图象易知|MN|＝2××2＝8.
答案　D
二、填空题
6.(2019·天津河西区一模)若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________.
解析　圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，
圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，
∴|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，
∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.
答案　8
7.已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，则圆C的方程为________________.
解析　由题意知圆心C(－1，0)，其到已知圆圆心(2，3)的距离d＝3，由两圆相外切可得R＋2＝d＝3，即圆C的半径R＝，故圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案　(x＋1)2＋y2＝2
8.已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴.过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________.
解析　由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，
则圆心C(2，1)满足直线方程x＋ay－1＝0，
所以2＋a－1＝0，解得a＝－1，
所以A点坐标为(－4，－1).
从而|AC|2＝36＋4＝40.
又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.
即|AB|＝6.
答案　6
三、解答题
9.已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上.
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.
解　(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，
则＝.
化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
所以C点坐标为(1，－2)，
半径r＝|AC|＝＝.
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件.
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，
由题意得＝1，解得k＝－，
则直线l的方程为y＝－x.
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.
10.已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解　(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，
由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，所以<1.
解得 所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得
(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设可得＋8＝12，
解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在l上，所以|MN|＝2.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2019·湖北四地七校联考)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　　)
A.3 B.4 C.2 D.8
解析　连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝，
∴在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝2×＝2，∴|AB|＝2|AC|＝4.

答案　B
12.(2018·合肥模拟)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)
A.3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B.3x＋4y－12＝0或x＝0
C.4x－3y＋9＝0或x＝0
D.3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立得方程组解得或∴|AB|＝2，符合题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0即(x－1)2＋(y－1)2＝4，∴圆心为C(1，1)，圆的半径r＝2，易知圆心C(1，1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，∵d2＋＝r2，
∴＋3＝4，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.
答案　B
13.(2019·上海崇明区模拟)直线ax＋by＋c＝0与圆C：x2－2x＋y2＋4y＝0相交于A，B两点，且||＝，则·＝________.
解析　圆C：x2－2x＋y2＋4y＝0可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，
如图，过C作CD⊥AB于D，AB＝2AD＝2AC·cos∠CAD，
∴＝2××cos ∠CAD，
∴∠CAD＝30°，∴∠ACB＝120°，
则·＝××cos 120°＝－.

答案　－
14.已知⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，且截x轴所得线段的长为2.
(1)求⊙H的方程；
(2)若存在过点P(a，0)的直线与⊙H相交于M，N两点，且|PM|＝|MN|，求实数a的取值范围.
解　(1)设⊙H的方程为(x－m)2＋(y－n)2＝r2(r>0)，
因为⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，
所以圆心H(m，n)一定是两互相垂直的直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0的交点，易得交点坐标为(2，1)，
所以m＝2，n＝1.
又⊙H截x轴所得线段的长为2，所以r2＝12＋n2＝2.
所以⊙H的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.
(2)设N(x0，y0)，由题意易知点M是PN的中点，
所以M.
因为M，N两点均在⊙H上，
所以(x0－2)2＋(y0－1)2＝2，①
＋＝2，
即(x0＋a－4)2＋(y0－2)2＝8，②
设⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8，
由①②知⊙H与⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8有公共点，
从而2－≤|HI|≤2＋，
即≤≤3，
整理可得2≤a2－4a＋5≤18，
解得2－≤a≤1或3≤a≤2＋，
所以实数a的取值范围是[2－，1]∪[3，2＋].
新高考创新预测
15.(思维创新)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是________.
解析　C2关于直线x－y＝0的对称圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，由题意，圆C与圆C1有交点，所以r－1≤≤r＋1，所以r的范围是[－1，＋1].
答案　[－1，＋1]