2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第10章第5节 n次独立重复试验与二项分布
展开第五节 n次独立重复试验与二项分布
[考纲传真] 1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题．
1．条件概率
条件概率的定义 | 条件概率的性质 |
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 | (1)0≤P(B|A)≤1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) |
2.事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．
②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次试验结果，则
P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相互独立事件就是互斥事件． ( )
(2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)． ( )
(3)公式P(AB)＝P(A)P(B)对任意两个事件都成立． ( )
(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．设随机变量X～B，则P(X＝3)等于( )
A. B. C. D.
A [∵X～B，∴P(X＝3)＝C6＝.故选A.]
3．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)等于( )
A. B. C. D.
C [由P(AB)＝P(A)P(B|A)，得＝P(A)，
∴P(A)＝.]
4．某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．
[P＝C0.620.4＋C0.63＝.]
5．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．
0.38 [设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.]
条件概率 |
1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A. B. C. D.
B [法一：P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝.
法二：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个．
事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形，即n(AB)＝1.
故由古典概型概率P(B|A)＝＝.]
2．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为( )
A. B. C. D.
A [因为“A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的安排方法中，另外3人中任何一个第一个出场的概率相等，故“C第一个出场”的概率是.]
3．(2019·运城模拟)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．
0.72 [设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼苗)．出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9，根据条件概率公式得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.]
[规律方法] 1.利用定义，分别求PA和PAB，得PB|A＝，这是求条件概率的通法.
2.借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数nA，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数nAB，得PB|A＝
相互独立事件的概率 |
【例1】 某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为，，，他们出线与未出线是相互独立的．
(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；
(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．
[解] (1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，
则P(D)＝1－P( )＝1－××＝.
(2)由题意可得，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
则P(ξ＝0)＝P( )＝××＝；
P(ξ＝1)＝P( )＋P( )＋P( )＝××＋××＋××＝；
P(ξ＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝；
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝××＝.
所以ξ的分布列为
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
[规律方法] 1.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，先将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，再求概率.
2.求相互独立事件同时发生的概率的方法：
1利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
2直接计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．
(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；
(2)求他所耗用的子弹数X的分布列．
[解] 记“第k发子弹命中目标”为事件Ak(k＝1,2,3,4,5)，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且P(Ak)＝，P()＝.
(1)法一：他前两发子弹只命中一发的概率为
P(A1)＋P(A2)＝P(A1)P()＋P()P(A2)＝×＋×＝.
法二：由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P＝C××＝.
(2)X的所有可能取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P( )＝×＋×＝，
P(X＝3)＝P(A1 )＋P(A2A3)＝×＋×2＝，
P(X＝4)＝P(A1A3A4)＋P(A2 )＝×＋×＝，
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.
综上，X的分布列为
X | 2 | 3 | 4 | 5 |
P |
独立重复试验与二项分布 |
【例2】 (2019·佛山模拟)某企业对新扩建的厂区进行绿化，移栽了银杏、垂柳两种大树各2株．假定银杏移栽的成活率为，垂柳移栽的成活率为，且各株大树是否成活互不影响．
(1)求两种大树各成活1株的概率；
(2)设ξ为两种大树成活的株数之和，求随机变量ξ的分布列．
[解] (1)记“银杏大树成活1株”为事件A，“垂柳大树成活1株”为事件B，则“两种大树各成活1株”为事件AB.
由题可知P(A)＝C··＝，P(B)＝C··＝，
由于事件A与B相互独立，
所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝.
(2)由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.
P(ξ＝0)＝·＝；
P(ξ＝1)＝C···＋C···2＝；
P(ξ＝2)＝＋·＋·＝；
P(ξ＝3)＝C···＋C···＝；
P(ξ＝4)＝·＝.
所以ξ的分布列为
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
[规律方法] 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略
1在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率.
2在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率.
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
[解] (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．
(2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0,1,2，
X服从超几何分布．
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 |
P |
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B，
P(X＝k)＝C－k，
所以P(Y＝0)＝C·＝，
P(Y＝1)＝C··＝，
P(Y＝2)＝C·＝.
∴Y的分布列为
Y | 0 | 1 | 2 |
P |
1．(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
A [3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.]
2．(2014·全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.45
A [已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.]
