2020届高考数学一轮复习新课改省份专用学案：第八章第一节直线与方程

第八章解析几何
第一节　直线与方程
突破点一　直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系


1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．
2．直线的斜率公式
(1)定义式：若直线l的倾斜角α≠，则斜率k＝tan_α.
(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3．两条直线平行与垂直的判定
两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2
两条直线垂直
如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2


一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　)
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)
(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)
(4)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)
(5)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
二、填空题
1．过点M(－1，m)，N(m＋1,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．
答案：1
2．若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为________．
答案：
3．(2019·湖南百所中学检测)若直线l1：ax＋y－1＝0与l2：3x＋(a＋2)y＋1＝0平行，则a的值为________．
答案：1
4．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．
答案：



考法一　直线的倾斜角与斜率　
1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：
斜率k
k＝tan α＞0
k＝0
k＝tan α＜0
不存在
倾斜角α
锐角
0°
钝角
90°

2．在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tan α的单调性，如图所示：

(1)当α取值在内，由0增大到时，k由0增大并趋向于正无穷大；
(2)当α取值在内，由增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大并趋近于0.
解决此类问题，常采用数形结合思想．
[例1]　(1)(2019·江西五校联考)已知直线l与两条直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C．－ D．－
(2)(2019·张家口模拟)直线l经过A(2,1)，B(1，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)设P(a,1)，Q(b，b－7)，
则解得所以P(－2,1)，Q(4，－3)，
所以直线l的斜率k＝＝－，故选C.
(2)直线l的斜率k＝tan α＝＝m2＋1≥1，所以≤α＜.
[答案]　(1)C　(2)C
[方法技巧]
求直线倾斜角范围的注意事项
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．　　
考法二　两直线的位置关系　
两直线位置关系的判断方法
(1)已知两直线的斜率存在
①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；
②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1.
(2)已知两直线的斜率不存在
若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．

[例2]　(1)(2019·武邑中学月考)已知过两点A(－3，m)，B(m,5)的直线与直线3x＋y－1＝0平行，则m的值为(　　)
A．3 B．7
C．－7 D．－9
(2)(2019·安徽六安四校联考)设m∈R，则“m＝0”是“直线l1：(m＋1)x＋(1－m)y－1＝0与直线l2：(m－1)x＋(2m＋1)y＋4＝0垂直”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]　(1)由题可知，＝－3，解得m＝－7，故选C.
(2)由直线l1与l2垂直可得(m＋1)(m－1)＋(1－m)·(2m＋1)＝0，解得m＝0或m＝1.所以“m＝0”是“直线l1：(m＋1)x＋(1－m)y－1＝0与直线l2：(m－1)x＋(2m＋1)y＋4＝0垂直”的充分不必要条件．故选A.
[答案]　(1)C　(2)A
[方法技巧]
由一般式方程确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件
＝＝(A2B2C2≠0)
[提醒]　当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．

1.已知直线过A(2,4)，B(1，m)两点，且倾斜角为45°，则m＝(　　)
A．3 B．－3
C．5 D．－1
解析：选A　∵直线过A(2,4)，B(1，m)两点，∴直线的斜率为＝4－m.又∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，即4－m＝1，∴m＝3.故选A.

2.已知倾斜角为θ的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos 2θ的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B　由题意得－·tan θ＝－1，∴tan θ＝2，cos 2θ＝＝＝－，故选B.
3.若直线l1：ax－(a＋1)y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直，则实数a＝(　　)
A．3 B．0
C．－3 D．0或－3
解析：选D　∵直线l1与直线l2垂直，∴2a＋a(a＋1)＝0，整理得a2＋3a＝0，
解得a＝0或a＝－3.故选D.
4.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0的斜率都是－，截距不相等，∴两条直线平行，故前者是后者的充分条件；当两条直线平行时，得＝≠，解得a＝－2或a＝1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选C.
突破点二　直线的方程

直线方程的五种形式
形式
几何条件
方程
适用范围
点斜式
过一点(x0，y0)，斜率k
y－y0＝k(x－x0)
与x轴不垂直的直线
斜截式
纵截距b，斜率k
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
两点式
过两点(x1，y1)，(x2，y2)
＝
与x轴、y轴均不垂直的直线
截距式
横截距a，纵截距b
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式

Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面直角坐标系内所有直线


一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(　　)
(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)
(3)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
二、填空题
1．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为______________．
答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
2．(2019·开封模拟)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x斜率的－的直线方程为____________．
答案：3x＋4y＋15＝0
3．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为____________．
解析：由已知，得BC的中点坐标为，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝－，故BC边上的中线所在直线方程为y＋＝－，即x＋13y＋5＝0.
答案：x＋13y＋5＝0

考法一　求直线方程　
[例1]　(2019·湖北十堰模拟)已知菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(8，－1)．求：
(1)AD边所在直线的方程；
(2)对角线BD所在直线的方程．
[解]　(1)kBC＝＝2，
∵AD∥BC，∴kAD＝2.
∴AD边所在直线的方程为y－7＝2(x＋4)，
即2x－y＋15＝0.
(2)kAC＝＝－.
∵菱形的对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，∴kBD＝.
∵AC的中点(1,1)，也是BD的中点，
∴对角线BD所在直线的方程为y－1＝(x－1)，即5x－6y＋1＝0.
[方法技巧]
求直线方程的注意事项
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．　　
考法二　与直线方程有关的最值问题　
[例2]　(1)已知直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是(　　)
A．0　　　　　　　　　　 　B．2
C. D．1
(2)若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
[解析]　(1)直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)在x轴，y轴上的截距分别为a和，此直线在x轴，y轴上的截距和为a＋≥2，当且仅当a＝1时，等号成立．故当直线x＋a2y－a＝0在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是1，故选D.
(2)令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．
[答案]　(1)D　(2)C
[方法技巧]
与直线方程有关的最值问题的解题思路
(1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y；
(2)将问题转化成关于x(或y)的函数；
(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．　　

1.已知直线l过点P(1,3)，且与x轴，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是(　　)
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0
解析：选A　设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)．
由题意得解得a＝2，b＝6.
故直线l的方程为＋＝1，
即3x＋y－6＝0.故选A.
2.过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________．
解析：当直线过原点时，直线方程为y＝－x；
当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1(a≠0)，
即x－y＝a(a≠0)，把(－3,5)代入，得a＝－8，
所以直线方程为x－y＋8＝0.
故所求直线方程为y＝－x或x－y＋8＝0.
答案：y＝－x或x－y＋8＝0
3.已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.
解析：直线l1可写成a(x－2)＝2(y－2)，直线l2可写成2(x－2)＝a2(2－y)，所以直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋.当a＝时，面积最小．
答案：
突破点三　直线的交点、距离与对称问题


1．两条直线的交点

2．三种距离
类型
条件
距离公式
两点间的距离
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝
点到直线的距离
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
两平行直线间的距离
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝


一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)
(2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)
(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)
(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
二、填空题
1．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为________．
答案：－1
2．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为________．
答案：
3．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第________象限．
答案：二
4．(2018·忻州检测)在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，则直线l的方程为______________．
答案：2x－y－3＝0


考法一　距离问题　
[例1]　(2019·北京西城期中)已知直线l经过点P(－2，1)．
(1)若点Q(－1，－2)到直线l的距离为1，求直线l的方程；
(2)若直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程．
[解]　(1)当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为x＝－2，符合要求；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，
整理得kx－y＋2k＋1＝0，
Q(－1，－2)到直线l的距离d＝＝＝1，
解得k＝－，所以直线l的方程为4x＋3y＋5＝0.
(2)由题知，直线l的斜率k一定存在且k≠0，故可设直线l的方程为kx－y＋2k＋1＝0，
当x＝0时，y＝2k＋1，当y＝0时，x＝－，
∴2k＋1＝－，解得k＝－1或－，
即直线l的方程为x＋2y＝0或x＋y＋1＝0.
[方法技巧]
1．解决与点到直线的距离有关的问题
应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．
2．求两条平行线间的距离
要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．　　
考法二　对称问题　
[例2]　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
[解]　(1)设A′(x，y)，由题意知
解得
所以A′.
(2)在直线m上取一点M(2,0)，
则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设M′(a，b)，则
解得M′.
设直线m与直线l的交点为N，
则由得N(4,3)．
又因为m′经过点N(4,3)，
所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，
因为P′在直线l上，
所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
[方法技巧]
1．中心对称问题的两种类型及求解方法
点关于点对称
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解
直线关于点对称
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程

2．轴对称问题的两种类型及求解方法
点关于直线对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)
直线关于直线对称
①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．
②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解


1.“C＝2”是“点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3”的(　　)
A．充要条件　　　　　　　 　B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　若点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3，则有＝3，解得C＝2或C＝－10，故“C＝2”是“点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.
2.直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是(　　)
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
解析：选A　在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知的直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0，故选A.
3.已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________________．
解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－，所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
4.若直线l与直线2x－y－2＝0关于直线x＋y－4＝0对称，则直线l的方程为________________．
解析：由得即两直线的交点坐标为(2,2)，在直线2x－y－2＝0上取一点A(1,0)，设点A关于直线x＋y－4＝0的对称点的坐标为(a，b)，则解得即点A关于直线x＋y－4＝0的对称点的坐标为(4,3)，则直线l的方程为＝，整理得x－2y＋2＝0.
答案：x－2y＋2＝0