2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：选修4－4第1节　坐标系

选修4－4　坐标系与参数方程

第一节　坐标系

[考纲传真]　1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．

2．极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．

(2)极坐标

①极径：设M是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长，ρ叫作点M的极径．

②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ.

③极坐标：有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

3．极坐标与直角坐标的互化

设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：

4．圆的极坐标方程

5.直线的极坐标方程

(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)．

(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcos θ＝a.

(3)直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin_θ＝b(0＜θ＜π)．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．              (　　)

(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是． (　　)

(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的． (　　)

(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．(教材改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(　　)

A．　　　 B．

C．(1,0) D．(1，π)

B　[法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.

法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos，知圆心的极坐标为，故选B.]

3．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)

A．ρ＝，0≤θ≤

B．ρ＝，0≤θ≤

C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

A　[∵y＝1－x(0≤x≤1)，

∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，

∴ρ＝.]

4．在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2 θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为________．

(1,1)　[由ρsin2θ＝cos θ⇒ρ2sin2θ＝ρcos θ⇒y2＝x，又由ρsin θ＝1⇒y＝1，联立⇒故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1)．]

5．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________．

6　[圆ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，直线θ＝，则tan θ＝，化为直角坐标方程为x－y＝0，圆心(0,4)到直线的距离为＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.]

1．求椭圆＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程．

[解]　由得到　　　①

将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.

因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.

2．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式为φ：求a，b的值．

[解]　由得代入x2＋y2＝1中得＋＝1，所以a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2.

【例1】　(2019·合肥质检)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1(0≤θ＜2π)，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．

(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；

(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

[解]　(1)由ρcos＝1得ρcos θ＋sin θ＝1.

从而曲线C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y－2＝0.

当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．

当θ＝时，ρ＝，所以N.

(2)M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.

所以P点的直角坐标为，

则P点的极坐标为.

所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．

已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2.

(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

[解]　(1)由ρ＝2知ρ2＝4，

所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.

因为ρ2－2ρcos＝2，

所以ρ2－2ρ＝2，

所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.

(2)将两圆的直角坐标方程相减，

得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.

化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，

即ρsin＝.

【例2】　在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程；

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

[解]　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，

C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.

(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得

ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.

故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.

由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.

[规律方法]　在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于增加对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．

(2019·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长．

[解]　由ρsin＝2，得(ρsin θ＋ρcos θ)＝2，

可化为x＋y－2＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，

圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝2，

由圆中的弦长公式，得弦长l＝2＝2＝4.

故所求弦长为4.

1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

[解]　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.

(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．

当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．

综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.

2．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.

(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

[解]　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．

由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)．

因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．

(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．

由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·

＝2≤2＋.

当α＝－时，S取得最大值2＋.

所以△OAB面积的最大值为2＋.

3．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.

(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

[解]　(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.

(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，

由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，

从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.

当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．

所以a＝1.