核心素养提升——科学思维系列(九)

分析带电粒子在匀强磁场

中运动的三种特殊方法

方法1　动态放缩法

当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时速度v的大小或磁感应强度B变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r随之变化．在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，作出半径不同的一系列轨迹，从而探索出临界条件，如图所示为粒子进入矩形边界磁场的情景．

(多选)如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点，一个带正电的粒子(重力忽略不计)，若从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是(　　)

A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场

B．若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0

C．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0

D．若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0

【解析】　本题考查带电粒子在有界磁场中的运动，粒子同向不同速．由题，带电粒子以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场，则知带电粒子的运动周期为T＝2t0.

A．作出粒子恰好从各边射出的轨迹，发现粒子不可能经过正方形的某顶点，故A正确．

B．作出粒子恰好从ab边射出的轨迹，由几何关系知圆心角不大于150°，在磁场中经历的时间不大于个周期，即.圆心角不小于60°，在磁场中经历的时间不小于个周期，即.故B正确．

C．作出粒子恰好从bc边射出的轨迹，由几何关系知圆心角不大于240°，在磁场中经历的时间不大于个周期，即.圆心角不小于150°，在磁场中经历的时间不小于个周期，即.故C正确．

D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是个周期，即.粒子轨迹的圆心角为θ＝，速度的偏向角也为，根据几何知识得知，粒子射出磁场时与磁场边界的夹角为30°，必定从cd边射出磁场．故D错误．

【答案】　ABC

方法2　定圆旋转法

当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定，但射入的方向变化时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件，如图所示为粒子进入单边有界磁场时的情景．

(2019·江西上饶六校一联)如图所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边界的间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m、电荷量均为＋q的粒子，粒子射入磁场的速度大小v＝，不计粒子的重力，则粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为(　　)

A．11  B．23

C.2  D.3

【解析】　粒子在磁场中运动时，Bqv＝，粒子运动轨迹半径R＝＝d；由左手定则可得：粒子沿逆时针方向偏转，做圆周运动；粒子沿AN方向进入磁场时，到达PQ边界的最下端距A点的竖直距离L1＝＝d；运动轨迹与PQ相切时，切点为到达PQ边界的最上端，距A点的竖直距离L2＝＝d，所以粒子在PQ边界射出的区域长度为：L＝L1＋L2＝d；因为R<d，所以粒子在MN边界射出区域的长度为L′＝2R＝d.故两区域长度之比为LL′＝dd＝2，故C项正确，A、B、D错误．

【答案】　C

方法3　平移圆法

粒子发射速度大小、方向不变，但入射点沿一直线移动时，轨迹圆在平移，但圆心在同一直线上．

(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则(　　)

A．粒子在磁场中的运动半径为

B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域

C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区内运动的时间为

D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为

【解析】　带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点距A点的距离为2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短的运动时间最短，且最短弦长为d，对应圆心角为60°，最短时间为tmin＝＝，选项D正确．

【答案】　CD