还剩26页未读，
继续阅读
2020高考物理一轮复习学案：第四章第2讲平抛运动的规律及应用
展开
第2讲 平抛运动的规律及应用
主干梳理 对点激活
知识点 抛体运动 Ⅱ
1．平抛运动
(1)定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
(3)条件
①v0≠0，且沿水平方向。
②只受重力作用。
2．斜抛运动
(1)定义：将物体以初速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
(3)条件
①v0≠0，且沿斜向上方或斜向下方。
②只受重力作用。
知识点 抛体运动的基本规律 Ⅱ
1．平抛运动
(1)研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
(2)基本规律(如图所示)
①速度关系
②位移关系
③轨迹方程：y＝x2。
2．斜抛运动
(1)研究方法：斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动。
(2)基本规律(以斜向上抛为例，如图所示)
①水平方向
v0x＝v0cosθ，x＝v0tcosθ。
②竖直方向
v0y＝v0sinθ，y＝v0tsinθ－gt2。
3．类平抛运动的分析
所谓类平抛运动，就是受力特点和运动特点类似于平抛运动，即受到一个恒定的外力且外力与初速度方向垂直，物体做匀变速曲线运动。
(1)受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
(2)运动特点：沿初速度v0方向做匀速直线运动，沿合力方向做初速度为零的匀加速直线运动。
一 思维辨析
1．以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。( )
2．做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。( )
3．做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化相同。( )
4．平抛运动的时间由高度决定。( )
5．平抛是匀变速曲线运动，速度不断变大。( )
6．类平抛运动的合力可以是变力。( )
答案 1.× 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.×
二 对点激活
1. (人教版必修2·P10·做一做改编)(多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落，关于该实验，下列说法正确的是( )
A．两球的质量应相等
B．两球应同时落地
C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
答案 BC
解析 小锤打击弹性金属片后，A球做平抛运动，B球做自由落体运动。A球在竖直方向上的运动情况与B球相同，也做自由落体运动，因此两球同时落地。实验时，需A、B两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及击打力度应该有变化，实验时要进行3～5次得出结论。本实验不能说明A球在水平方向上的运动性质，故B、C正确，A、D错误。
2．(人教版必修2·P9·例题1改编)将一个物体以10 m/s的速度从20 m的高度水平抛出(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)，下列说法正确的是( )
A．落地时间为2 s
B．落地时速度为20 m/s
C．落地时速度方向与地面夹角的正切值为
D．物体的位移为20 m
答案 A
解析 由h＝gt2得t＝＝2 s，故A正确；落地时竖直分速度vy＝gt＝20 m/s，落地速度为v＝＝10 m/s，故B错误；落地时速度方向与地面夹角的正切值tanθ＝＝2，故C错误；物体的水平位移x＝v0t＝20 m，位移为20 m，故D错误。
考点细研 悟法培优
考点1 平抛运动的基本规律
1．关于平抛运动必须掌握的四个物理量
物理量
相关分析
飞行时间
(t)
t＝ ，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平射程
(x)
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关
落地速度
(v)
v＝＝，以θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tanθ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
速度的改
变量(Δv)
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示
2．平抛运动的两个重要推论
(1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示。其推导过程为tanθ＝＝＝。
(2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα。如图乙所示。其推导过程为tanθ＝＝＝＝2tanα。
例1 (多选)如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则( )
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同
C．a的水平初速度比b的小
D．b的水平初速度比c的大
解题探究 (1)平抛的时间取决于什么？
提示：取决于下落高度。
(2)平抛的水平射程与初速度有关吗？
提示：有，时间相同的情况下，初速度越大水平射程越大。
尝试解答 选BD。
根据平抛运动的规律h＝gt2，得t＝，因此平抛运动的时间只由下落高度决定，因为hb＝hc>ha，所以b与c的飞行时间相同，大于a的飞行时间，因此A错误，B正确；又因为xa>xb，而tavc，即b的水平初速度比c的大，D正确。
总结升华
1．“化曲为直”思想在平抛运动中的应用
根据运动的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动：
(1)水平方向的匀速直线运动；
(2)竖直方向的自由落体运动。
2．对多体平抛问题的四点提醒
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
(4)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。
[变式1－1] (2018·潍坊统考) “套圈”是游戏者站在界线外将圆圈水平抛出，套中前方水平地面上的物体。某同学在一次“套圈”游戏中，从P点以某一速度水平抛出的圆圈越过了物体正上方落在地面上(如图所示)。为套中物体，下列做法可行的是(忽略空气阻力)( )
A．从P点正前方，以原速度水平抛出
B．从P点正下方，以原速度水平抛出
C．从P点正上方，以原速度水平抛出
D．从P点正上方，以更大速度水平抛出
答案 B
解析 由于抛出的圆圈做平抛运动，由平抛运动的规律可知，圆圈在竖直方向做自由落体运动，则h＝gt2，水平方向做匀速直线运动，则x＝vt，解得x＝v ，由题意圆圈越过了物体正上方落在地面上，欲使圆圈套中物体，应减小水平方向的位移。若从P点的正前方以原速度水平抛出，则圆圈仍越过物体正上方落在地面上，A错误；降低圆圈抛出点的高度以原速度水平抛出，圆圈的运动时间减少，则圆圈可能套中物体，B正确；如果增加抛出点的高度，欲使圆圈套中物体，则应减小水平抛出时的速度，C、D错误。
[变式1－2] (多选)如图所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为2.5h，B点离地面高度为2h。将两个小球分别从A、B两点水平抛出，它们在P点相遇，P点离地面的高度为h。已知重力加速度为g，则( )
A．两个小球一定同时抛出
B．两个小球抛出的时间间隔为(－)
C．两个小球抛出的初速度之比＝
D．两个小球抛出的初速度之比＝
答案 BD
解析 平抛运动竖直方向为自由落地运动，由y＝gt2知，t＝ ，A到P点高度较大，故A点先抛出，A错误；两小球抛出的时间间隔为Δt＝tA－tB＝ － ＝(－) ，B正确；由x＝v0t得v0＝x ，x相等，＝ ＝ ，C错误，D正确。
考点2 斜面上的平抛运动
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。
1．从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个特点
(1)位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。
(2)末速度方向平行，竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。
(3)运动的时间与初速度成正比。
(4)位移与初速度的二次方成正比。
(5)当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。
2．常见的模型
例2 (2018·山东六校联考)(多选)如图所示，D点为固定斜面AC的中点。在A点和D点分别以初速度v01和v02水平抛出一个小球，结果两球均落在斜面的底端C。空气阻力不计。设两球在空中运动的时间分别为t1和t2，落到C点前瞬间的速度大小分别为v1和v2，落到C点前瞬间的速度方向与水平方向的夹角分别为θ1和θ2，则下列关系式正确的是( )
A.＝2 B.＝ C.＝ D.＝
解题探究 (1)平抛的时间由哪个物理量决定？
提示：下落高度。
(2)速度偏转角的正切如何求解？
提示：tanθ＝。
尝试解答 选BC。
由题意知两小球做平抛运动的竖直位移之比为2∶1，由平抛运动规律h＝gt2可知，＝，A项错误；又水平位移之比也为2∶1，由平抛运动规律x＝v0t，知两球初速度之比为＝，B项正确；两小球竖直方向的速度可由vy＝gt计算，则＝＝，又＝，由v＝，可得＝，C项正确；由tanθ＝，结合C项的分析，可知v1、v2与水平方向的夹角θ1、θ2的正切值相等，D项错误。
总结升华
1．常见平抛运动模型运动时间的计算方法
(1)在水平地面正上方h处平抛：
由h＝gt2知t＝，即t由高度h决定。小球竖直高度越大，飞行时间越长。
(2)斜面上的平抛问题：
①从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上(如图1)
方法：分解位移
x＝v0t
y＝gt2
tanθ＝
可求得t＝。
②对着斜面平抛(如图2)
方法：分解速度
vx＝v0
vy＝gt
tanθ＝＝
可求得t＝。
2．利用假设法求解平抛运动问题
对于平抛运动，运动时间由下落高度决定，水平位移由下落高度和初速度决定，所以当下落高度相同时，水平位移与初速度成正比。但有时下落高度不同，水平位移就很难比较，这时可以采用假设法，例如移动水平地面使其下落高度相同，从而作出判断。
[变式2] (2018·唐山三模)如图所示，固定在水平地面上的倾角θ＝30°的斜面长为L，小球从斜面顶端A处以初速度v0水平抛出，刚好落在距斜面顶端处。若将小球从同一点以2v0水平抛出，不计空气阻力，小球下落后均不弹起。小球两次在空中运动过程中的( )
A．时间之比为1∶2
B．速度的变化量之比为1∶
C．水平位移之比为1∶
D．竖直位移之比为1∶4
答案 B
解析 小球从斜面顶端平抛，若落在斜面上，则x＝v0t，y＝gt2，tanθ＝，得到t＝，当速度变成2v0时，若仍能落到斜面上，则t变成原来的2倍，y变成原来的4倍，因斜面长L，第一次以v0平抛时落点距斜面顶端，所以以2v0平抛时将落在地面上，竖直位移之比为1∶3，则时间之比为1∶，由Δv＝gt得速度变化量之比为1∶，由x＝v0t得水平位移之比为1∶2，故B正确，A、C、D错误。
考点3 类平抛运动的分析
1．类平抛运动与平抛运动的区别
平抛运动的初速度水平，只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a＝g；类平抛运动的初速度不一定水平，但合外力与初速度方向垂直且为恒力，a＝。
2．求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力方向)的匀加速直线运动。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。
例3 如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则( )
A．P→Q所用的时间t＝2
B．P→Q所用的时间t＝
C．初速度v0＝b
D．初速度v0＝b
解题探究 (1)物块类平抛的加速度是多少？
提示：a＝gsinθ。
(2)物块沿初速度方向和沿加速度方向的位移分别是多少？
提示：b，l。
尝试解答 选C。
物块的加速度为：a＝gsinθ。根据l＝at2，得：t＝，故A、B错误；初速度v0＝＝b，故C正确，D错误。
总结升华
求解类平抛问题的关键
(1)对研究对象受力分析，找到合外力的大小、方向，正确求出加速度。例题中，物体受重力、支持力作用，合外力沿斜面向下。
(2)确定是研究速度，还是研究位移。
(3)把握好分解的思想方法，例题中研究位移，把运动分解成沿斜面的匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动，然后将两个方向的运动用时间t联系起来。
[变式3] A、B两个质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，不计阻力，如图所示，下列比较P1、P2在x轴上远近关系的判断正确的是( )
A．P1较远 B．P2较远
C．P1、P2等远 D．A、B两项都有可能
答案 B
解析 A质点水平抛出后，只受重力，做平抛运动，在竖直方向有h＝gt。B质点水平抛出后，受重力和支持力，在斜面平面内所受合力为mgsinθ，大小恒定且与初速度方向垂直，所以B质点做类平抛运动，在沿斜面向下方向上＝gsinθ·t。A的水平位移x1＝v0t1，B的水平位移x2＝v0t2，由于t2>t1，所以x2>x1，P2较远。故选B。
满分指导1 平抛运动中的临界问题
【案例剖析】
(16分)如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m，为使小球从屋顶①水平飞出②落在围墙外的空地上，g取10 m/s2。求：
(1)小球离开屋顶时的速度③v0的大小范围；
(2)小球落在空地上的④最小速度。
[审题 抓住信息，准确推断]
[破题 形成思路，快速突破]
(1)设小球恰好落到空地边缘时的水平初速度为v1，请写出平抛运动的位移方程。
①水平方向：L＋x＝v1t1；
②竖直方向：H＝gt。
(2)设小球恰好越过墙的边缘时的水平初速度为v2，请写出平抛运动的位移方程。
①水平方向：L＝v2t2；
②竖直方向：H－h＝gt。
(3)请写出v0的取值范围。
提示：v0的取值范围为v2≤v0≤v1。
(4)在v0的取值范围内落地速度最小时，对应的初速度是多少？
提示：v0对应最小值v2时，小球落地速度最小。
[解题 规范步骤，水到渠成]
(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v1，则小球的水平位移：
L＋x＝v1t1(2分)
小球的竖直位移：
H＝gt(2分)
解以上两式得：
v1＝(L＋x) ＝13 m/s(1分)
设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v2，则此过程中小球的水平位移：
L＝v2t2(2分)
小球的竖直位移：
H－h＝gt(2分)
解以上两式得：
v2＝L＝5 m/s(1分)
小球抛出时的速度大小范围为5 m/s≤v0≤13 m/s(1分)
(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小。竖直方向：
v＝2gH(2分)
又有：vmin＝(2分)
解得：vmin＝5 m/s。(1分)
[点题 突破瓶颈，稳拿满分]
(1)常见的思维障碍：不理解小球落在墙外的空地上的含义，不能挖掘出当小球恰好越过墙的边缘时v0有最小速度，恰好落到空地边缘时v0有最大速度这两个临界状态，导致无法求出结果。
(2)因解答不规范导致的失分：
①解题时不用题中所给字母列方程，导致失分；
②解出两个临界速度后，没有补充说明v0的取值范围，导致失分。
高考模拟 随堂集训
1．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
答案 A
解析 设甲球落至斜面时的速率为v1，乙球落至斜面时的速率为v2，由平抛运动规律，x＝vt，y＝gt2，设斜面倾角为θ，由几何关系，tanθ＝，小球由抛出到落至斜面，由机械能守恒定律，mv2＋mgy＝mv，联立解得：v1＝·v，即落至斜面时的速率与抛出时的速率成正比。同理可得，v2＝·，所以甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时的速率的2倍，A正确。
2．(2018·江苏高考)某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的( )
A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
答案 B
解析 弹射管在竖直方向做自由落体运动，所以弹出小球在竖直方向运动的时间相等，因此两球应同时落地；由于两小球先后弹出，所以小球在水平方向运动的时间不等，因小球在水平方向做匀速运动，且弹出小球的水平初速度相同，所以水平位移不相等，因此落点不相同，故B正确。
3．(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是( )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
答案 C
解析 在竖直方向，球做自由落体运动，由h＝gt2知，选项A、D错误。由v2＝2gh知，选项B错误。在水平方向，球做匀速直线运动，通过相同水平距离，速度大的球用时少，选项C正确。
4．(2017·江苏高考) 如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇。若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )
A．t B.t C. D.
答案 C
解析 设A、B两小球分别以速度vA、vB水平抛出时，经过时间t相遇，则根据平抛运动在水平方向做匀速直线运动有
vAt＋vBt＝d①
(d为两小球间的水平距离)
设当A、B两小球速度都变为原来的2倍时，经过时间t′相遇，则2vAt′＋2vBt′＝d②
联立①②解得t′＝
选项C正确。
5．(2016·海南高考)在地面上方某一点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中( )
A．速度和加速度的方向都在不断变化
B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小
C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等
D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等
答案 B
解析 由于物体做平抛运动，故物体只受重力作用，加速度不变，速度的大小和方向时刻在变化，故A错误；设某时刻速度与竖直方向夹角为θ，则tanθ＝＝，随着时间t的变大，tanθ变小，则θ变小，故B正确；根据加速度定义式a＝＝g，则Δv＝gΔt，即在相等的时间间隔内，速度的改变量相等，而速率的改变量不相等，故C错误；根据动能定理，在相等的时间间隔内，动能的改变量等于重力的功，即WG＝mgh，而平抛运动在相等时间间隔内竖直方向上的位移不相等，故D错误。
6. (2018·宜昌调研)如图所示，在竖直平面内有一半圆形轨道，圆心为O。一小球(可视为质点)从与圆心等高的半圆形轨道上的A点以速度v0水平向右抛出，落于轨道上的C点。已知OC与OA的夹角为θ，重力加速度为g，则小球从A运动到C的时间为( )
A.tan B.cot
C.tan D.cot
答案 D
解析 由几何关系可知，AC与水平方向的夹角α＝，根据平抛运动的规律，知tanα＝＝＝，得t＝＝cot。所以D项正确，A、B、C三项错误。
配套课时作业
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(本题共11小题，每小题7分，共77分。其中1～7为单选，8～11为多选)
1．(2018·广东四校联考)从同一高度同时将a、b两不完全相同的小球分别竖直上抛和斜上抛，它们的初速度大小相同；若不计空气阻力，则以下说法中正确的是( )
A．在空中运动的过程中，两球的加速度相同
B．两球触地时的瞬时速率不同
C．两球在空中运动的时间相同
D．两球运动的位移相同
答案 A
解析 两球在空中都只受重力作用，两球的加速度都为重力加速度g，A项正确。因两球都只受重力，则机械能均守恒，据机械能守恒定律有mv＋mgh＝mv，可知两球触地时的速率相同，B项错误。因两球以相同的速率分别竖直上抛和斜上抛，则知两球在空中运动的时间不同，C项错误。因两球初始时运动方向不同，则它们发生的位移不同，D项错误。
2．(2018·福建质检)轰炸机进行实弹训练，在一定高度沿水平方向匀速飞行，某时刻释放炸弹，一段时间后击中竖直悬崖上的目标P点。不计空气阻力，下列判断正确的是( )
A．若轰炸机提前释放炸弹，则炸弹将击中P点上方
B．若轰炸机延后释放炸弹，则炸弹将击中P点下方
C．若轰炸机在更高的高度提前释放炸弹，则炸弹仍可能击中P点
D．若轰炸机在更高的高度延后释放炸弹，则炸弹仍可能击中P点
答案 C
解析 由题意可知，炸弹若提前释放，水平位移增大，在空中的运动时间变长，应落在P点下方，反之落在上方，故A、B错误；炸弹若从更高的高度释放，将落在P点上方，若要求炸弹仍能击中P点，则需要更长的运动时间，故应提前释放炸弹，C正确；若延后释放炸弹，则炸弹将击中P点上方，故D错误。
3. 如图所示，以与竖直墙面垂直、大小为v0＝7.5 m/s的速度抛出一个弹性小球A，抛出点离水平地面的高度为h＝3.2 m，与墙壁的水平距离为s。小球与墙壁发生碰撞后，竖直分速度不变，水平速度大小不变，方向反向，落在水平地面上，落地点到墙壁的水平距离为2s。若重力加速度取10 m/s2，则s的大小为( )
A．1.8 m B．2.0 m C．2.2 m D．3.6 m
答案 B
解析 由平抛运动规律有，h＝gt2，解得t＝0.8 s，水平方向上，小球速率不变，故小球水平方向通过的总路程s总＝3s＝v0t，则s＝2.0 m，B项正确。
4. (2018·山东济南期末)如图所示，斜面AC与水平方向的夹角为α，在底端A正上方与顶端等高处的E点以速度v0水平抛出一小球，小球垂直于斜面落到D点，重力加速度为g，则( )
A．小球在空中飞行的时间为
B．小球落到斜面上时的速度大小为
C．小球的位移方向垂直于AC
D．CD与DA的比值为
答案 D
解析 将小球在D点的速度进行分解，水平方向的分速度v1等于平抛运动的初速度v0，即v1＝v0，落到斜面上时的速度v＝，竖直方向的分速度v2＝，则小球在空中飞行的时间t＝＝，A、B错误。由图可知平抛运动的位移方向不垂直AC，C错误。D、A间水平距离为x水平＝v0t，故DA＝；C、D间竖直距离为x竖直＝v2t，故CD＝，得＝，故D正确。
5. (2018·郑州质量预测)如图所示，圆环竖直放置，从圆心O点正上方的P点，以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，若OQ与OP间夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。则( )
A．小球运动到Q点时的速度大小为vQ＝
B．小球从P点运动到Q点的时间为t＝
C．小球从P点到Q点的速度变化量为Δv＝v0
D．圆环的半径为R＝
答案 D
解析 根据几何关系知，小球在Q点的速度方向与水平方向的夹角为θ，则小球运动到Q点时的速度大小为vQ＝，A错误；小球在竖直方向做自由落体运动，在Q点的竖直分速度vy＝v0tanθ＝gt＝Δv，所以小球从P点运动到Q点的时间为t＝，B、C错误；根据几何关系可知，从P点到Q点，小球在水平方向上的位移大小为x＝Rsinθ，根据x＝Rsinθ＝v0t，可得圆环的半径为R＝，D正确。
6. 如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿高h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，则v的取值范围是( )
A．v>7 m/s B．v<2.3 m/s
C．3 m/s
解析 若小物件恰好碰到窗子上沿，由平抛运动规律，L＝v1t1，h＝gt，联立解得小物件的速度v1＝7 m/s；若小物件恰好碰到窗子下沿，由平抛运动规律，L＋d＝v2t2，h＋H＝gt，联立解得小物件的速度v2＝3 m/s。所以小物件速度v的取值范围是3 m/s
A．Δt2＝0 B．Δt2<Δt1
C．Δt2＝Δt1 D．Δt2>Δt1
答案 B
解析 两颗炸弹以相同的初速度做平抛运动，假设落在N点的炸弹穿过山坡到达与M等高的P点，如图所示，因为下落到M、P高度相同，由h＝gt2知所用时间相同，落到M、P的时间间隔tP－tM＝(t＋Δt1)－t＝Δt1，显然落到N点的时刻tN
8. (2018·湘东五校联考)如图所示，倾角为α的固定斜面，其右侧有一竖直墙面，小球滑上斜面，以速度v飞离斜面，恰好垂直撞击到墙面上某位置，重力加速度为g，忽略空气阻力，下列说法中正确的是( )
A．从飞离斜面到撞击墙面的过程中，小球在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动
B．竖直墙面与斜面右端的水平距离为sin2α
C．竖直墙面与斜面右端的水平距离为
D．从飞离斜面到撞击墙面的过程中，小球竖直上升的高度为sinα
答案 AC
解析 小球飞离斜面后，水平方向以速度vcosα做匀速直线运动，竖直方向向上以初速度vsinα做匀减速直线运动，可知，小球飞行时间为t＝，则竖直墙面与斜面右端的水平距离为s＝vxt＝，小球竖直上升的高度为h＝＝，可知A、C正确，B、D错误。
9．(2019·湖南六校联考)如图所示，将小球甲从A点水平抛出，同时将小球乙从B点由静止释放，两小球先后经过C点时速度大小相等，方向的夹角为37°，已知B、C两点的高度差h＝5 m，g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，两小球质量相等，不计空气阻力，由以上条件可知( )
A．小球甲做平抛运动的初速度大小为6 m/s
B．小球甲到达C点所用时间为0.8 s
C．A、B两点的高度差为3.2 m
D．两小球在C点时重力的瞬时功率相等
答案 AB
解析 小球乙经过C点时的速度大小为v＝＝10 m/s，方向竖直向下。两球经过C点时速度大小相等，由sin37°＝，解得小球甲做平抛运动的初速度v01＝vsin37°＝6 m/s，A正确；由cos37°＝，解得小球甲做平抛运动到达C点时的竖直分速度v⊥1＝vcos37°＝8 m/s，由v⊥1＝gt，解得小球甲到达C点所用时间t＝0.8 s，B正确；A、C两点的高度差h1＝gt2＝3.2 m，A、B两点的高度差Δh＝h－h1＝1.8 m，C错误；两小球重力相等，在C点时瞬时速度大小相等，但方向不同，根据瞬时功率的定义可知，两小球在C点时重力的瞬时功率不相等，D错误。
10. (2018·湖北八校联考)如图所示，某人从同一位置O以不同的水平速度投出三支飞镖A、B、C，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为60°、45°、30°，图中飞镖的方向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力。则下列说法正确的是( )
A．三支飞镖做平抛运动的初速度大小一定满足vA0>vB0>vC0
B．插在墙上的三支飞镖的延长线一定交于同一点
C．三支飞镖击中墙面的速度大小满足vA
答案 ABD
解析 由题图可知，三支飞镖在竖直方向的位移关系为yC>yB>yA，则在空中运动的时间关系为tC>tB>tA，由于飞镖的水平位移大小相等，则初速度的大小关系为vC0vB，C错误，D正确。
11. (2018·郑州质检二)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与球心等高且在同一竖直面内。现甲、乙两位同学(可视为质点)分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力。则下列说法正确的是( )
A．甲、乙两同学抛出球的速率之比为1∶3
B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变
D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中
答案 AB
解析 两球刚好落在坑中同一点，说明两球在竖直方向的位移相同，由y＝gt2可知，两球在空中飞行的时间相同。设半球形坑的半径为R，则甲同学抛出的球的水平位移为x甲＝R－Rcos60°＝，乙同学抛出的球的水平位移为x乙＝R＋Rcos60°＝，由x＝vt可知，甲、乙两同学抛出球的速率之比为v1∶v2＝x甲∶x乙＝1∶3，A正确；若仅增大v1，相撞时v1t＋v2t＝2R，t减小，则h＝gt2减小，故两球将在落入坑中之前相撞，B正确；要两小球落在弧面上的同一点，则水平位移之和为2R，落点不同，竖直方向位移不同，时间t不同，由2R＝(v1＋v2)t可知，v1＋v2不是一个定值，C错误；根据平抛运动规律的推论，小球落入坑中时速度方向的反向延长线与水平直径的交点在水平位移的处，即若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中，D错误。
二、非选择题(本题共2小题，共23分)
12．(10分)如图为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图。参与游戏的选手会遇到一个人造山谷OAB，OA是高h＝3 m的竖直峭壁，AB是以O点为圆心的弧形坡，∠AOB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自O点借助绳索降到A点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自O点直接跃上跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间。
答案 (1) m/s (2)0.6 s
解析 (1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，则
hsin60°≤v0t
hcos60°＝gt2
解得：v0≥ m/s。
则速度最小值为 m/s。
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，因v1
水平前进距离x＝v1t′且x2＋y2＝h2
解得t′＝0.6 s。
13．(13分) 在光滑水平面上有坐标系xOy，质量为1 kg 的质点静止在xOy平面上的原点O处，如图所示。某一时刻质点受到沿y轴正方向的恒力F1的作用，F1的大小为2 N，若力F1作用一段时间t0后撤去，撤去力F1后2 s末质点恰好通过该平面上的A点，A点的坐标为x＝2 m，y＝5 m。
(1)为使质点按题设条件通过A点，在撤去力F1的同时对质点施加一个沿x轴正方向的恒力F2，力F2应为多大？
(2)力F1作用时间t0为多长？
答案 (1)1 N (2)1 s
解析 (1)撤去F1，在F2的作用下，沿y轴正方向质点做匀速直线运动，沿x轴正方向质点做匀加速直线运动。
由运动学公式得：
x＝a2t2
由牛顿第二定律得：
F2＝ma2
解得：F2＝1 N。
(2)F1作用下，由牛顿第二定律得：F1＝ma1
加速运动时，y1＝a1t
vy＝a1t0
匀速运动时，y2＝vyt
y1＋y2＝y
解得：t0＝1 s。
主干梳理 对点激活
知识点 抛体运动 Ⅱ
1．平抛运动
(1)定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
(3)条件
①v0≠0，且沿水平方向。
②只受重力作用。
2．斜抛运动
(1)定义：将物体以初速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
(3)条件
①v0≠0，且沿斜向上方或斜向下方。
②只受重力作用。
知识点 抛体运动的基本规律 Ⅱ
1．平抛运动
(1)研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
(2)基本规律(如图所示)
①速度关系
②位移关系
③轨迹方程：y＝x2。
2．斜抛运动
(1)研究方法：斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动。
(2)基本规律(以斜向上抛为例，如图所示)
①水平方向
v0x＝v0cosθ，x＝v0tcosθ。
②竖直方向
v0y＝v0sinθ，y＝v0tsinθ－gt2。
3．类平抛运动的分析
所谓类平抛运动，就是受力特点和运动特点类似于平抛运动，即受到一个恒定的外力且外力与初速度方向垂直，物体做匀变速曲线运动。
(1)受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
(2)运动特点：沿初速度v0方向做匀速直线运动，沿合力方向做初速度为零的匀加速直线运动。
一 思维辨析
1．以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。( )
2．做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。( )
3．做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化相同。( )
4．平抛运动的时间由高度决定。( )
5．平抛是匀变速曲线运动，速度不断变大。( )
6．类平抛运动的合力可以是变力。( )
答案 1.× 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.×
二 对点激活
1. (人教版必修2·P10·做一做改编)(多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落，关于该实验，下列说法正确的是( )
A．两球的质量应相等
B．两球应同时落地
C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
答案 BC
解析 小锤打击弹性金属片后，A球做平抛运动，B球做自由落体运动。A球在竖直方向上的运动情况与B球相同，也做自由落体运动，因此两球同时落地。实验时，需A、B两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及击打力度应该有变化，实验时要进行3～5次得出结论。本实验不能说明A球在水平方向上的运动性质，故B、C正确，A、D错误。
2．(人教版必修2·P9·例题1改编)将一个物体以10 m/s的速度从20 m的高度水平抛出(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)，下列说法正确的是( )
A．落地时间为2 s
B．落地时速度为20 m/s
C．落地时速度方向与地面夹角的正切值为
D．物体的位移为20 m
答案 A
解析 由h＝gt2得t＝＝2 s，故A正确；落地时竖直分速度vy＝gt＝20 m/s，落地速度为v＝＝10 m/s，故B错误；落地时速度方向与地面夹角的正切值tanθ＝＝2，故C错误；物体的水平位移x＝v0t＝20 m，位移为20 m，故D错误。
考点细研 悟法培优
考点1 平抛运动的基本规律
1．关于平抛运动必须掌握的四个物理量
物理量
相关分析
飞行时间
(t)
t＝ ，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平射程
(x)
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关
落地速度
(v)
v＝＝，以θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tanθ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
速度的改
变量(Δv)
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示
2．平抛运动的两个重要推论
(1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示。其推导过程为tanθ＝＝＝。
(2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα。如图乙所示。其推导过程为tanθ＝＝＝＝2tanα。
例1 (多选)如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则( )
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同
C．a的水平初速度比b的小
D．b的水平初速度比c的大
解题探究 (1)平抛的时间取决于什么？
提示：取决于下落高度。
(2)平抛的水平射程与初速度有关吗？
提示：有，时间相同的情况下，初速度越大水平射程越大。
尝试解答 选BD。
根据平抛运动的规律h＝gt2，得t＝，因此平抛运动的时间只由下落高度决定，因为hb＝hc>ha，所以b与c的飞行时间相同，大于a的飞行时间，因此A错误，B正确；又因为xa>xb，而ta
总结升华
1．“化曲为直”思想在平抛运动中的应用
根据运动的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动：
(1)水平方向的匀速直线运动；
(2)竖直方向的自由落体运动。
2．对多体平抛问题的四点提醒
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
(4)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。
[变式1－1] (2018·潍坊统考) “套圈”是游戏者站在界线外将圆圈水平抛出，套中前方水平地面上的物体。某同学在一次“套圈”游戏中，从P点以某一速度水平抛出的圆圈越过了物体正上方落在地面上(如图所示)。为套中物体，下列做法可行的是(忽略空气阻力)( )
A．从P点正前方，以原速度水平抛出
B．从P点正下方，以原速度水平抛出
C．从P点正上方，以原速度水平抛出
D．从P点正上方，以更大速度水平抛出
答案 B
解析 由于抛出的圆圈做平抛运动，由平抛运动的规律可知，圆圈在竖直方向做自由落体运动，则h＝gt2，水平方向做匀速直线运动，则x＝vt，解得x＝v ，由题意圆圈越过了物体正上方落在地面上，欲使圆圈套中物体，应减小水平方向的位移。若从P点的正前方以原速度水平抛出，则圆圈仍越过物体正上方落在地面上，A错误；降低圆圈抛出点的高度以原速度水平抛出，圆圈的运动时间减少，则圆圈可能套中物体，B正确；如果增加抛出点的高度，欲使圆圈套中物体，则应减小水平抛出时的速度，C、D错误。
[变式1－2] (多选)如图所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为2.5h，B点离地面高度为2h。将两个小球分别从A、B两点水平抛出，它们在P点相遇，P点离地面的高度为h。已知重力加速度为g，则( )
A．两个小球一定同时抛出
B．两个小球抛出的时间间隔为(－)
C．两个小球抛出的初速度之比＝
D．两个小球抛出的初速度之比＝
答案 BD
解析 平抛运动竖直方向为自由落地运动，由y＝gt2知，t＝ ，A到P点高度较大，故A点先抛出，A错误；两小球抛出的时间间隔为Δt＝tA－tB＝ － ＝(－) ，B正确；由x＝v0t得v0＝x ，x相等，＝ ＝ ，C错误，D正确。
考点2 斜面上的平抛运动
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。
1．从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个特点
(1)位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。
(2)末速度方向平行，竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。
(3)运动的时间与初速度成正比。
(4)位移与初速度的二次方成正比。
(5)当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。
2．常见的模型
例2 (2018·山东六校联考)(多选)如图所示，D点为固定斜面AC的中点。在A点和D点分别以初速度v01和v02水平抛出一个小球，结果两球均落在斜面的底端C。空气阻力不计。设两球在空中运动的时间分别为t1和t2，落到C点前瞬间的速度大小分别为v1和v2，落到C点前瞬间的速度方向与水平方向的夹角分别为θ1和θ2，则下列关系式正确的是( )
A.＝2 B.＝ C.＝ D.＝
解题探究 (1)平抛的时间由哪个物理量决定？
提示：下落高度。
(2)速度偏转角的正切如何求解？
提示：tanθ＝。
尝试解答 选BC。
由题意知两小球做平抛运动的竖直位移之比为2∶1，由平抛运动规律h＝gt2可知，＝，A项错误；又水平位移之比也为2∶1，由平抛运动规律x＝v0t，知两球初速度之比为＝，B项正确；两小球竖直方向的速度可由vy＝gt计算，则＝＝，又＝，由v＝，可得＝，C项正确；由tanθ＝，结合C项的分析，可知v1、v2与水平方向的夹角θ1、θ2的正切值相等，D项错误。
总结升华
1．常见平抛运动模型运动时间的计算方法
(1)在水平地面正上方h处平抛：
由h＝gt2知t＝，即t由高度h决定。小球竖直高度越大，飞行时间越长。
(2)斜面上的平抛问题：
①从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上(如图1)
方法：分解位移
x＝v0t
y＝gt2
tanθ＝
可求得t＝。
②对着斜面平抛(如图2)
方法：分解速度
vx＝v0
vy＝gt
tanθ＝＝
可求得t＝。
2．利用假设法求解平抛运动问题
对于平抛运动，运动时间由下落高度决定，水平位移由下落高度和初速度决定，所以当下落高度相同时，水平位移与初速度成正比。但有时下落高度不同，水平位移就很难比较，这时可以采用假设法，例如移动水平地面使其下落高度相同，从而作出判断。
[变式2] (2018·唐山三模)如图所示，固定在水平地面上的倾角θ＝30°的斜面长为L，小球从斜面顶端A处以初速度v0水平抛出，刚好落在距斜面顶端处。若将小球从同一点以2v0水平抛出，不计空气阻力，小球下落后均不弹起。小球两次在空中运动过程中的( )
A．时间之比为1∶2
B．速度的变化量之比为1∶
C．水平位移之比为1∶
D．竖直位移之比为1∶4
答案 B
解析 小球从斜面顶端平抛，若落在斜面上，则x＝v0t，y＝gt2，tanθ＝，得到t＝，当速度变成2v0时，若仍能落到斜面上，则t变成原来的2倍，y变成原来的4倍，因斜面长L，第一次以v0平抛时落点距斜面顶端，所以以2v0平抛时将落在地面上，竖直位移之比为1∶3，则时间之比为1∶，由Δv＝gt得速度变化量之比为1∶，由x＝v0t得水平位移之比为1∶2，故B正确，A、C、D错误。
考点3 类平抛运动的分析
1．类平抛运动与平抛运动的区别
平抛运动的初速度水平，只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a＝g；类平抛运动的初速度不一定水平，但合外力与初速度方向垂直且为恒力，a＝。
2．求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力方向)的匀加速直线运动。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。
例3 如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则( )
A．P→Q所用的时间t＝2
B．P→Q所用的时间t＝
C．初速度v0＝b
D．初速度v0＝b
解题探究 (1)物块类平抛的加速度是多少？
提示：a＝gsinθ。
(2)物块沿初速度方向和沿加速度方向的位移分别是多少？
提示：b，l。
尝试解答 选C。
物块的加速度为：a＝gsinθ。根据l＝at2，得：t＝，故A、B错误；初速度v0＝＝b，故C正确，D错误。
总结升华
求解类平抛问题的关键
(1)对研究对象受力分析，找到合外力的大小、方向，正确求出加速度。例题中，物体受重力、支持力作用，合外力沿斜面向下。
(2)确定是研究速度，还是研究位移。
(3)把握好分解的思想方法，例题中研究位移，把运动分解成沿斜面的匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动，然后将两个方向的运动用时间t联系起来。
[变式3] A、B两个质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，不计阻力，如图所示，下列比较P1、P2在x轴上远近关系的判断正确的是( )
A．P1较远 B．P2较远
C．P1、P2等远 D．A、B两项都有可能
答案 B
解析 A质点水平抛出后，只受重力，做平抛运动，在竖直方向有h＝gt。B质点水平抛出后，受重力和支持力，在斜面平面内所受合力为mgsinθ，大小恒定且与初速度方向垂直，所以B质点做类平抛运动，在沿斜面向下方向上＝gsinθ·t。A的水平位移x1＝v0t1，B的水平位移x2＝v0t2，由于t2>t1，所以x2>x1，P2较远。故选B。
满分指导1 平抛运动中的临界问题
【案例剖析】
(16分)如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m，为使小球从屋顶①水平飞出②落在围墙外的空地上，g取10 m/s2。求：
(1)小球离开屋顶时的速度③v0的大小范围；
(2)小球落在空地上的④最小速度。
[审题 抓住信息，准确推断]
[破题 形成思路，快速突破]
(1)设小球恰好落到空地边缘时的水平初速度为v1，请写出平抛运动的位移方程。
①水平方向：L＋x＝v1t1；
②竖直方向：H＝gt。
(2)设小球恰好越过墙的边缘时的水平初速度为v2，请写出平抛运动的位移方程。
①水平方向：L＝v2t2；
②竖直方向：H－h＝gt。
(3)请写出v0的取值范围。
提示：v0的取值范围为v2≤v0≤v1。
(4)在v0的取值范围内落地速度最小时，对应的初速度是多少？
提示：v0对应最小值v2时，小球落地速度最小。
[解题 规范步骤，水到渠成]
(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v1，则小球的水平位移：
L＋x＝v1t1(2分)
小球的竖直位移：
H＝gt(2分)
解以上两式得：
v1＝(L＋x) ＝13 m/s(1分)
设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v2，则此过程中小球的水平位移：
L＝v2t2(2分)
小球的竖直位移：
H－h＝gt(2分)
解以上两式得：
v2＝L＝5 m/s(1分)
小球抛出时的速度大小范围为5 m/s≤v0≤13 m/s(1分)
(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小。竖直方向：
v＝2gH(2分)
又有：vmin＝(2分)
解得：vmin＝5 m/s。(1分)
[点题 突破瓶颈，稳拿满分]
(1)常见的思维障碍：不理解小球落在墙外的空地上的含义，不能挖掘出当小球恰好越过墙的边缘时v0有最小速度，恰好落到空地边缘时v0有最大速度这两个临界状态，导致无法求出结果。
(2)因解答不规范导致的失分：
①解题时不用题中所给字母列方程，导致失分；
②解出两个临界速度后，没有补充说明v0的取值范围，导致失分。
高考模拟 随堂集训
1．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
答案 A
解析 设甲球落至斜面时的速率为v1，乙球落至斜面时的速率为v2，由平抛运动规律，x＝vt，y＝gt2，设斜面倾角为θ，由几何关系，tanθ＝，小球由抛出到落至斜面，由机械能守恒定律，mv2＋mgy＝mv，联立解得：v1＝·v，即落至斜面时的速率与抛出时的速率成正比。同理可得，v2＝·，所以甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时的速率的2倍，A正确。
2．(2018·江苏高考)某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的( )
A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
答案 B
解析 弹射管在竖直方向做自由落体运动，所以弹出小球在竖直方向运动的时间相等，因此两球应同时落地；由于两小球先后弹出，所以小球在水平方向运动的时间不等，因小球在水平方向做匀速运动，且弹出小球的水平初速度相同，所以水平位移不相等，因此落点不相同，故B正确。
3．(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是( )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
答案 C
解析 在竖直方向，球做自由落体运动，由h＝gt2知，选项A、D错误。由v2＝2gh知，选项B错误。在水平方向，球做匀速直线运动，通过相同水平距离，速度大的球用时少，选项C正确。
4．(2017·江苏高考) 如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇。若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )
A．t B.t C. D.
答案 C
解析 设A、B两小球分别以速度vA、vB水平抛出时，经过时间t相遇，则根据平抛运动在水平方向做匀速直线运动有
vAt＋vBt＝d①
(d为两小球间的水平距离)
设当A、B两小球速度都变为原来的2倍时，经过时间t′相遇，则2vAt′＋2vBt′＝d②
联立①②解得t′＝
选项C正确。
5．(2016·海南高考)在地面上方某一点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中( )
A．速度和加速度的方向都在不断变化
B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小
C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等
D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等
答案 B
解析 由于物体做平抛运动，故物体只受重力作用，加速度不变，速度的大小和方向时刻在变化，故A错误；设某时刻速度与竖直方向夹角为θ，则tanθ＝＝，随着时间t的变大，tanθ变小，则θ变小，故B正确；根据加速度定义式a＝＝g，则Δv＝gΔt，即在相等的时间间隔内，速度的改变量相等，而速率的改变量不相等，故C错误；根据动能定理，在相等的时间间隔内，动能的改变量等于重力的功，即WG＝mgh，而平抛运动在相等时间间隔内竖直方向上的位移不相等，故D错误。
6. (2018·宜昌调研)如图所示，在竖直平面内有一半圆形轨道，圆心为O。一小球(可视为质点)从与圆心等高的半圆形轨道上的A点以速度v0水平向右抛出，落于轨道上的C点。已知OC与OA的夹角为θ，重力加速度为g，则小球从A运动到C的时间为( )
A.tan B.cot
C.tan D.cot
答案 D
解析 由几何关系可知，AC与水平方向的夹角α＝，根据平抛运动的规律，知tanα＝＝＝，得t＝＝cot。所以D项正确，A、B、C三项错误。
配套课时作业
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(本题共11小题，每小题7分，共77分。其中1～7为单选，8～11为多选)
1．(2018·广东四校联考)从同一高度同时将a、b两不完全相同的小球分别竖直上抛和斜上抛，它们的初速度大小相同；若不计空气阻力，则以下说法中正确的是( )
A．在空中运动的过程中，两球的加速度相同
B．两球触地时的瞬时速率不同
C．两球在空中运动的时间相同
D．两球运动的位移相同
答案 A
解析 两球在空中都只受重力作用，两球的加速度都为重力加速度g，A项正确。因两球都只受重力，则机械能均守恒，据机械能守恒定律有mv＋mgh＝mv，可知两球触地时的速率相同，B项错误。因两球以相同的速率分别竖直上抛和斜上抛，则知两球在空中运动的时间不同，C项错误。因两球初始时运动方向不同，则它们发生的位移不同，D项错误。
2．(2018·福建质检)轰炸机进行实弹训练，在一定高度沿水平方向匀速飞行，某时刻释放炸弹，一段时间后击中竖直悬崖上的目标P点。不计空气阻力，下列判断正确的是( )
A．若轰炸机提前释放炸弹，则炸弹将击中P点上方
B．若轰炸机延后释放炸弹，则炸弹将击中P点下方
C．若轰炸机在更高的高度提前释放炸弹，则炸弹仍可能击中P点
D．若轰炸机在更高的高度延后释放炸弹，则炸弹仍可能击中P点
答案 C
解析 由题意可知，炸弹若提前释放，水平位移增大，在空中的运动时间变长，应落在P点下方，反之落在上方，故A、B错误；炸弹若从更高的高度释放，将落在P点上方，若要求炸弹仍能击中P点，则需要更长的运动时间，故应提前释放炸弹，C正确；若延后释放炸弹，则炸弹将击中P点上方，故D错误。
3. 如图所示，以与竖直墙面垂直、大小为v0＝7.5 m/s的速度抛出一个弹性小球A，抛出点离水平地面的高度为h＝3.2 m，与墙壁的水平距离为s。小球与墙壁发生碰撞后，竖直分速度不变，水平速度大小不变，方向反向，落在水平地面上，落地点到墙壁的水平距离为2s。若重力加速度取10 m/s2，则s的大小为( )
A．1.8 m B．2.0 m C．2.2 m D．3.6 m
答案 B
解析 由平抛运动规律有，h＝gt2，解得t＝0.8 s，水平方向上，小球速率不变，故小球水平方向通过的总路程s总＝3s＝v0t，则s＝2.0 m，B项正确。
4. (2018·山东济南期末)如图所示，斜面AC与水平方向的夹角为α，在底端A正上方与顶端等高处的E点以速度v0水平抛出一小球，小球垂直于斜面落到D点，重力加速度为g，则( )
A．小球在空中飞行的时间为
B．小球落到斜面上时的速度大小为
C．小球的位移方向垂直于AC
D．CD与DA的比值为
答案 D
解析 将小球在D点的速度进行分解，水平方向的分速度v1等于平抛运动的初速度v0，即v1＝v0，落到斜面上时的速度v＝，竖直方向的分速度v2＝，则小球在空中飞行的时间t＝＝，A、B错误。由图可知平抛运动的位移方向不垂直AC，C错误。D、A间水平距离为x水平＝v0t，故DA＝；C、D间竖直距离为x竖直＝v2t，故CD＝，得＝，故D正确。
5. (2018·郑州质量预测)如图所示，圆环竖直放置，从圆心O点正上方的P点，以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，若OQ与OP间夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。则( )
A．小球运动到Q点时的速度大小为vQ＝
B．小球从P点运动到Q点的时间为t＝
C．小球从P点到Q点的速度变化量为Δv＝v0
D．圆环的半径为R＝
答案 D
解析 根据几何关系知，小球在Q点的速度方向与水平方向的夹角为θ，则小球运动到Q点时的速度大小为vQ＝，A错误；小球在竖直方向做自由落体运动，在Q点的竖直分速度vy＝v0tanθ＝gt＝Δv，所以小球从P点运动到Q点的时间为t＝，B、C错误；根据几何关系可知，从P点到Q点，小球在水平方向上的位移大小为x＝Rsinθ，根据x＝Rsinθ＝v0t，可得圆环的半径为R＝，D正确。
6. 如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿高h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，则v的取值范围是( )
A．v>7 m/s B．v<2.3 m/s
C．3 m/s
解析 若小物件恰好碰到窗子上沿，由平抛运动规律，L＝v1t1，h＝gt，联立解得小物件的速度v1＝7 m/s；若小物件恰好碰到窗子下沿，由平抛运动规律，L＋d＝v2t2，h＋H＝gt，联立解得小物件的速度v2＝3 m/s。所以小物件速度v的取值范围是3 m/s
A．Δt2＝0 B．Δt2<Δt1
C．Δt2＝Δt1 D．Δt2>Δt1
答案 B
解析 两颗炸弹以相同的初速度做平抛运动，假设落在N点的炸弹穿过山坡到达与M等高的P点，如图所示，因为下落到M、P高度相同，由h＝gt2知所用时间相同，落到M、P的时间间隔tP－tM＝(t＋Δt1)－t＝Δt1，显然落到N点的时刻tN
8. (2018·湘东五校联考)如图所示，倾角为α的固定斜面，其右侧有一竖直墙面，小球滑上斜面，以速度v飞离斜面，恰好垂直撞击到墙面上某位置，重力加速度为g，忽略空气阻力，下列说法中正确的是( )
A．从飞离斜面到撞击墙面的过程中，小球在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动
B．竖直墙面与斜面右端的水平距离为sin2α
C．竖直墙面与斜面右端的水平距离为
D．从飞离斜面到撞击墙面的过程中，小球竖直上升的高度为sinα
答案 AC
解析 小球飞离斜面后，水平方向以速度vcosα做匀速直线运动，竖直方向向上以初速度vsinα做匀减速直线运动，可知，小球飞行时间为t＝，则竖直墙面与斜面右端的水平距离为s＝vxt＝，小球竖直上升的高度为h＝＝，可知A、C正确，B、D错误。
9．(2019·湖南六校联考)如图所示，将小球甲从A点水平抛出，同时将小球乙从B点由静止释放，两小球先后经过C点时速度大小相等，方向的夹角为37°，已知B、C两点的高度差h＝5 m，g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，两小球质量相等，不计空气阻力，由以上条件可知( )
A．小球甲做平抛运动的初速度大小为6 m/s
B．小球甲到达C点所用时间为0.8 s
C．A、B两点的高度差为3.2 m
D．两小球在C点时重力的瞬时功率相等
答案 AB
解析 小球乙经过C点时的速度大小为v＝＝10 m/s，方向竖直向下。两球经过C点时速度大小相等，由sin37°＝，解得小球甲做平抛运动的初速度v01＝vsin37°＝6 m/s，A正确；由cos37°＝，解得小球甲做平抛运动到达C点时的竖直分速度v⊥1＝vcos37°＝8 m/s，由v⊥1＝gt，解得小球甲到达C点所用时间t＝0.8 s，B正确；A、C两点的高度差h1＝gt2＝3.2 m，A、B两点的高度差Δh＝h－h1＝1.8 m，C错误；两小球重力相等，在C点时瞬时速度大小相等，但方向不同，根据瞬时功率的定义可知，两小球在C点时重力的瞬时功率不相等，D错误。
10. (2018·湖北八校联考)如图所示，某人从同一位置O以不同的水平速度投出三支飞镖A、B、C，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为60°、45°、30°，图中飞镖的方向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力。则下列说法正确的是( )
A．三支飞镖做平抛运动的初速度大小一定满足vA0>vB0>vC0
B．插在墙上的三支飞镖的延长线一定交于同一点
C．三支飞镖击中墙面的速度大小满足vA
答案 ABD
解析 由题图可知，三支飞镖在竖直方向的位移关系为yC>yB>yA，则在空中运动的时间关系为tC>tB>tA，由于飞镖的水平位移大小相等，则初速度的大小关系为vC0
11. (2018·郑州质检二)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与球心等高且在同一竖直面内。现甲、乙两位同学(可视为质点)分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力。则下列说法正确的是( )
A．甲、乙两同学抛出球的速率之比为1∶3
B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变
D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中
答案 AB
解析 两球刚好落在坑中同一点，说明两球在竖直方向的位移相同，由y＝gt2可知，两球在空中飞行的时间相同。设半球形坑的半径为R，则甲同学抛出的球的水平位移为x甲＝R－Rcos60°＝，乙同学抛出的球的水平位移为x乙＝R＋Rcos60°＝，由x＝vt可知，甲、乙两同学抛出球的速率之比为v1∶v2＝x甲∶x乙＝1∶3，A正确；若仅增大v1，相撞时v1t＋v2t＝2R，t减小，则h＝gt2减小，故两球将在落入坑中之前相撞，B正确；要两小球落在弧面上的同一点，则水平位移之和为2R，落点不同，竖直方向位移不同，时间t不同，由2R＝(v1＋v2)t可知，v1＋v2不是一个定值，C错误；根据平抛运动规律的推论，小球落入坑中时速度方向的反向延长线与水平直径的交点在水平位移的处，即若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中，D错误。
二、非选择题(本题共2小题，共23分)
12．(10分)如图为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图。参与游戏的选手会遇到一个人造山谷OAB，OA是高h＝3 m的竖直峭壁，AB是以O点为圆心的弧形坡，∠AOB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自O点借助绳索降到A点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自O点直接跃上跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间。
答案 (1) m/s (2)0.6 s
解析 (1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，则
hsin60°≤v0t
hcos60°＝gt2
解得：v0≥ m/s。
则速度最小值为 m/s。
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，因v1
水平前进距离x＝v1t′且x2＋y2＝h2
解得t′＝0.6 s。
13．(13分) 在光滑水平面上有坐标系xOy，质量为1 kg 的质点静止在xOy平面上的原点O处，如图所示。某一时刻质点受到沿y轴正方向的恒力F1的作用，F1的大小为2 N，若力F1作用一段时间t0后撤去，撤去力F1后2 s末质点恰好通过该平面上的A点，A点的坐标为x＝2 m，y＝5 m。
(1)为使质点按题设条件通过A点，在撤去力F1的同时对质点施加一个沿x轴正方向的恒力F2，力F2应为多大？
(2)力F1作用时间t0为多长？
答案 (1)1 N (2)1 s
解析 (1)撤去F1，在F2的作用下，沿y轴正方向质点做匀速直线运动，沿x轴正方向质点做匀加速直线运动。
由运动学公式得：
x＝a2t2
由牛顿第二定律得：
F2＝ma2
解得：F2＝1 N。
(2)F1作用下，由牛顿第二定律得：F1＝ma1
加速运动时，y1＝a1t
vy＝a1t0
匀速运动时，y2＝vyt
y1＋y2＝y
解得：t0＝1 s。
相关资料
更多
