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2020高考物理一轮复习学案：第七章第2讲电场能的性质
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第2讲 电场能的性质
主干梳理 对点激活
知识点 电势能 Ⅰ
1．静电力做功
(1)特点：静电力做功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与电荷经过的路径无关。
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离，计算时q不带正负号。
②WAB＝qUAB，适用于任何电场，计算时q要带正负号。
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中由于受到电场力的作用而具有的与其相对位置有关的能量叫做电势能，用符号Ep表示。
(2)静电力做功与电势能变化的关系
静电力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。
(3)大小：电荷在某点的电势能，等于将电荷从该点移到零势能位置时静电力做的功。
(1)电势能由电场和电荷共同决定，属于电场和电荷系统所共有的，我们习惯说成电场中的电荷所具有的。
(2)电势能是相对的，与零势能位置的选取有关，但电势能的变化是绝对的，与零势能位置的选取无关。
(3)电势能是标量，有正负，无方向。电势能为正值表示电势能大于在参考点时的电势能，电势能为负值表示电势能小于在参考点时的电势能。
(4)零势能位置的选取是任意的，但通常选取大地或无穷远处为零势能位置。
知识点 电势 Ⅰ
1．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能Ep与它的电荷量q的比值。
(2)定义式：φ＝。
(3)矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势与选取的电势零点的位置有关。一般选取无穷远处为电势零点，在实际应用中常取大地的电势为零。
2．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面。
(2)四个特点
①在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。
②等势面一定与电场线垂直。
③电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。
电场中某点的电势大小是由电场本身的性质决定的，与在该点是否放有电荷和所放电荷的电性、电荷量及电势能均无关。
知识点 电势差 Ⅱ
匀强电场中电势差与电场强度的关系 Ⅱ
1．电势差
(1)定义：电场中两点间电势的差值。
(2)定义式：UAB＝φA－φB。显然，UAB＝－UBA。
(3)影响因素：电场中两点间电势差由电场本身决定，与电势零点的选取无关。
(4)电势差与电场力做功的关系：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力做的功WAB与移动的电荷的电荷量q的比值等于A、B两点间的电势差，即UAB＝，计算时q要带正负号。
2．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与场强的关系式
UAB＝Ed，其中d为匀强电场中A、B两点沿电场方向的距离。
(2)电场强度的另一表达式
①表达式：E＝。(只适用于匀强电场)
②意义：电场中，场强方向是电势降低最快的方向。在匀强电场中，场强在数值上等于沿电场方向单位长度降低的电势。
知识点 静电感应和静电平衡 Ⅰ
1．静电感应
当把一个不带电的金属导体放在电场中时，导体的两端分别感应出等量的正、负电荷，“近端”出现与施感电荷异号的感应电荷，“远端”出现与施感电荷同号的感应电荷，这种现象叫静电感应。
2．静电平衡
(1)定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场在导体内部大小相等且方向相反，使得叠加场强为零时，自由电荷不再发生定向移动，导体处于静电平衡状态。
(2)处于静电平衡状态的导体的特点
①导体内部的场强处处为零；
②导体是一个等势体，导体表面是等势面；
③导体表面处的场强方向与导体表面垂直；
④导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上；
⑤在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有净电荷。
一 思维辨析
1．电场力做功与重力做功相似，均与路径无关。( )
2．电场中电场强度为零的地方电势一定为零。( )
3．等势面是客观存在的，电场线与等势面一定垂直。( )
4．沿电场线方向电场强度越来越小，电势逐渐降低。( )
5．A、B两点的电势差数值上等于将正电荷从A点移到B点时电场力做的功。( )
6．带电粒子由静止释放，若只在电场力作用下，一定从电势能大的地方向电势能小的地方运动。( )
答案 1.√ 2.× 3.× 4.× 5.× 6.√
二 对点激活
1．(人教版选修3－1·P19·T2改编)关于电场中两点电势的高低的判断，下列说法正确的是( )
A．若＋q在A点的电势能比在B点的大，则A点电势高于B点电势
B．若－q在C点的电势能比在D点的大，则C点电势高于D点电势
C．若－q在E点的电势能为负值，则E点电势为负值
D．电势降低的方向即为电场线方向
答案 A
解析 由Ep＝qφ知正电荷在电势越高的地方电势能越大，负电荷在电势越低的地方电势能越大，故A正确，B错误；若Ep与q均为负值，则φ为正值，故C错误；电势降低最快的方向为电场线方向，故D错误。
2.(人教版选修3－1·P22·T3改编)如图所示，下列说法正确的是( )
A．φA>φB
B．负电荷在A点时的电势能大于在B点时的电势能
C．负电荷由B移动到A时静电力做正功
D．UAB>0
答案 B
解析 沿着电场线的方向电势降低，由图知φA<φB，UAB<0，故A、D错误；WBA＝qUBA，其中q<0，UBA>0，则WBA<0，故C错误；由Ep＝qφ知负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能，故B正确。
3.(人教版选修3－1·P23·T2改编)带有等量异号电荷，相距10 cm 的平行板A和B之间有一匀强电场，如图，电场强度E＝2×104 V/m，方向向下。电场中C点距B板为3 cm，D点距A板为2 cm。下列说法正确的是( )
A．UCD＝1000 V
B．让B板接地，则C点的电势φC＝600 V
C．让A板接地，则D点的电势φD＝400 V
D．将一个电子从C点移到D点静电力做的功，与将电子先从C点移到P点再移到D点静电力做的功数值不同
答案 B
解析 UCD＝－Ed＝－1000 V，故A错误；让B板接地，则φC＝EdCB＝600 V，故B正确；让A板接地，则φD＝－400 V，故C错误；静电力做功与路径无关，只与初末位置有关，故D错误。
4．关于等势面的说法，正确的是( )
A．电荷在等势面上移动时，由于不受电场力作用，所以说电场力不做功
B．在同一个等势面上各点的场强大小相等
C．两个不等电势的等势面可能相交
D．若相邻两等势面的电势差相等，则等势面的疏密程度能反映场强的大小
答案 D
解析 等势面由电势相等的点组成，等势面附近的电场线跟等势面垂直，因此电荷在等势面上移动时，电场力不做功，但并不是不受电场力的作用，A错误。等势面上各点场强大小不一定相等，等势面不可能相交，B、C错误。等差等势面的疏密能反映场强的大小，D正确。
考点细研 悟法培优
考点1 电势高低与电势能大小的判断
1．电势高低的判断方法
2．电势能大小的判断方法
例1 匀强电场的电场线是平行等间距的，假如在匀强电场中放入一不带电的金属小球，电场线会发生弯曲变成如图所示电场，关于该电场下列说法正确的是( )
A．由于感应起电，该金属小球放入匀强电场后总电荷量将不为零
B．电场线越密的地方电场强度越小
C．将一电子从P点移到Q点，电子的电势能一定减少
D．P点的电势一定高于Q点的电势
解题探究 (1)如何判断P、Q两点电势的高低？
提示：沿电场线的方向电势逐渐降低。
(2)由于感应起电，小球两端所带电荷量相等吗？
提示：相等。
尝试解答 选C。
由于电荷守恒，金属小球的总电荷量仍为零，故A错误；电场线的疏密程度表示场强大小，电场线越密的地方场强越大，故B错误；沿电场线方向电势逐渐降低，故P点电势低于Q点电势，又因为电子带负电，所以电子在P点的电势能高于在Q点的电势能，即从P点到Q点电子的电势能一定减少，C正确，D错误。
总结升华
电场线、电场强度、电势、电势能、等势面之间的关系
(1)电场线与电场强度的关系：同一电场，电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向。
(2)电场线与等势面的关系：电场线与等势面垂直，并从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。
(3)电场强度大小与电势无直接关系：零电势位置可人为选取，电场强度的大小由电场本身决定，故电场强度大的地方，电势不一定高。
(4)电势能与电势的关系：正电荷在电势高的地方电势能大；负电荷在电势低的地方电势能大。
[变式1] (2018·唐山三模)(多选)如图所示，处于x轴上的两个等量异号电荷＋Q和－Q，坐标分别为(L,0)和(3L,0)。以坐标原点O为圆心，作半径为2L的圆，圆上有a、b、c、d四个点，均处于两电荷形成的电场中。则下列说法正确的是( )
A．O点电势等于b点电势
B．b点和d点电场强度大小相等，电势相同
C．将一正试探电荷从c点沿虚线圆周移到O点电场力不做功
D．将一正试探电荷从b点沿y轴移到d点，电势能先增大后减小
答案 BD
解析 由等量异号点电荷的电场线、等势线分布图可知φO>φb，故A错误；根据对称性，b、d两点场强大小相等、电势相同，故B正确；c点电势为零，O点电势大于零，所以将正试探电荷从c点沿虚线圆周移到O点电场力做负功，故C错误；φb＝φd＜φO，所以将正试探电荷从b点沿y轴移到d点，电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，故D正确。
考点2 电场线、等势线(面)与粒子轨迹分析问题
1.几种典型电场的等势线(面)
2．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在某一位置的切线)与“力线”(在同一位置垂直等势面且指向轨迹的凹侧)，从二者的夹角情况来分析带电粒子做曲线运动时电场力做功的情况。
(2)电荷的正负、场强的方向(或等势面电势的高低)，是题目中相互制约的两个方面。若已知其中一个，可分析另一个。
例2 (2018·惠州调研)(多选)如图所示，以点电荷Q为圆心的虚线同心圆是该点电荷电场中球形等势面的横截面图。一个带正电的粒子经过该电场，它的运动轨迹如图中实线所示，M和N是轨迹上的两点。不计带电粒子受到的重力，由此可以判断( )
A．此粒子在M点的加速度小于在N点的加速度
B．此粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
C．此粒子在M点的动能小于在N点的动能
D．电场中M点的电势低于N点的电势
解题探究 (1)如何判断场源电荷是正电荷还是负电荷？
提示：根据粒子轨迹弯曲方向判断受到的是引力还是斥力，从而判断场源电荷的正负。
(2)如何判断电势的高低？
提示：判断出场源电荷电性就知道电场线方向，沿电场线电势降低。
尝试解答 选AD。
由库仑定律知，粒子在M点所受的库仑力小于在N点所受的库仑力，故粒子在M点的加速度小于在N点的加速度，A正确；从粒子运动轨迹可知带电粒子受到了向左的力(排斥力)，则点电荷Q也带正电，N点电势高于M点电势，粒子在N点的电势能大于在M点的电势能，B错误，D正确；只受电场力时，粒子在点电荷的电场中的动能与电势能之和不变，则粒子在M点的动能大于在N点的动能，C错误。
总结升华
(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
(2)判断电场力(或电场强度)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子电荷的正负判断电场强度的方向。
(3)判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
(4)求解此类问题的思维模板
[变式2] (多选)如图所示，虚线a、b、c表示电场中的三个等势面与纸平面的交线，且相邻等势面之间的电势差相等。实线为一带正电荷粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，M、N是这条轨迹上的两点，则下面说法中正确的是( )
A．三个等势面中，a的电势最高
B．对于M、N两点，带电粒子通过M点时电势能较大
C．对于M、N两点，带电粒子通过M点时动能较大
D．带电粒子由M运动到N时，加速度增大
答案 CD
解析 由于带电粒子做曲线运动，且仅受电场力作用，因此所受电场力的方向必定指向轨迹的凹侧，且和等势面垂直，所以电场线方向是由c指向b再指向a，根据沿电场线方向电势降低，故φc>φb>φa，A错误；带正电荷粒子若从N点运动到M点，场强方向与运动方向成锐角，电场力做正功，电势能减少，若从M点运动到N点，场强方向与运动方向成钝角，电场力做负功，电势能增加，即M点电势能较小，故B错误；根据能量守恒定律，电荷的动能和电势能之和保持不变，故粒子在M点的动能较大，C正确；由于相邻等势面之间电势差相等，N点等势面较密，则EN>EM，即qEN>qEM，由牛顿第二定律知，带电粒子从M点运动到N点时，加速度增大，D正确。
考点3 匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离。
(2)沿电场强度方向电势降落得最快。
(3)在匀强电场中U＝Ed，即在沿电场线方向上，U∝d。推论如下：
推论①：如图甲，C点为线段AB的中点，则有φC＝。
推论②：如图乙，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。
2．E＝在非匀强电场中的几点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即等差等势面越密，电场强度越大。
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系，如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
(3)利用φx图象的斜率判断沿x方向电场强度Ex随位置变化的规律。在φx图象中斜率k＝＝＝－Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，斜率为正，表示电场强度方向沿规定的负方向；斜率为负，表示电场强度方向沿规定的正方向。
(4)利用Ex图象与x轴围成的面积表示电势差，即SAB＝ExAB＝Ed＝UAB，分析计算两点间电势差。
例3 (多选)如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1 V、2 V、3 V，正六边形所在平面与电场线平行。下列说法正确的是( )
A．通过CD和AF的直线应为电场中的两条等势线
B．匀强电场的电场强度大小为10 V/m
C．匀强电场的电场强度方向为由C指向A
D．将一个电子由E点移到D点，电子的电势能将减少1.6×10－19 J
解题探究 (1)在匀强电场中，如何寻找等势线？
提示：先利用几何关系确定两个等势点，它们的连线就是一条等势线。
(2)如何确定场强的大小和方向？
提示：根据电场线与等势线垂直，且沿电场线方向电势降低可判断电场方向，场强大小可由E＝求得。
尝试解答 选ACD。
由于AC的中点电势为2 V，所以BE为等势线，CD、AF同为等势线，故A正确；CA为电场线方向，电场强度大小E＝＝ V/m＝ V/m，故B错误，C正确；由UED＝UBC＝－1 V，WED＝－eUED＝1.6×10－19 J，得电势能减少1.6×10－19 J，D正确。
总结升华
匀强电场中找等势点的方法
等分线段找等势点法：在匀强电场中，电势沿直线是均匀变化的，即直线上距离相等的线段两端的电势差相等。因此将电势最高点和电势最低点连接后根据需要平分成若干段，找到与已知的第三个点的电势相等的点，这两个等势点的连线即等势面(或等势线)，与等势面(或等势线)垂直的线即为电场线。
[变式3] (2018·安徽重点中学联考)在如图所示的虚线方框内有一方向平行于纸面的匀强电场，A、B、C为该电场中的三个点，AB＝4 cm，BC＝3 cm，AC＝5 cm，若将一个电荷量为1.0×10－8 C的负点电荷从B移到C，电场力做的功为1.2×10－7 J，而把该点电荷从B移到A，克服电场力做的功为1.2×10－7 J，则该匀强电场的场强大小为( )
A．500 V/m B．480 V/m
C．400 V/m D．300 V/m
答案 A
解析 由题意可知，UBC＝＝ V＝－12 V，UBA＝＝ V＝12 V，设A点电势φA＝0 V，则φB＝12 V，φC＝24 V，则B点电势与AC中点D处的电势相等，由余弦定理可知BD＝2.5 cm，则由△ABD的面积是△ABC的一半可知，C、D两点沿着电场线方向的距离为2.4 cm，匀强电场的场强大小为E＝＝ V/m＝500 V/m，A正确。
考点4 电场中的图象问题
1．vt图象：根据电荷在电场中运动的vt图象的速度变化、斜率变化(即加速度变化)，确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场强度的方向、电势的高低及电势能的变化。
2．φx图象：(1)电场强度可用φx图线的斜率表示，斜率的大小表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向。
(2)在φx图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系分析电荷移动时电势能的变化。
3．Ex图象：(1)反映了电场强度随位移变化的规律。
(2)E>0表示场强沿正方向；E<0表示场强沿负方向。
(3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，“面积”的正负表示始末两点电势的高低。
4．Epx图象：(1)Epx图象可以判断某一位置电势能的大小，进而确定电势能的变化情况，根据电势能的变化可以判断电场力做功情况，结合带电粒子的运动可以确定电场力的方向。
(2)Epx图象可以判断电场力的大小，即k＝＝＝－F，图象的斜率大小和正负分别表示电场力的大小和方向。
例4 (2018·衡水六调)两电荷量分别为q1和q2的点电荷放在x轴上的O、M两点，两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图所示，其中A、N两点的电势均为零，ND段中的C点电势最高，则( )
A．N点的电场强度大小为零
B．A点的电场强度大小为零
C．N、C间场强方向沿x轴正方向
D．将一负点电荷从N点移到D点，电场力先做正功后做负功
解题探究 (1)由q1、q2之间电势随x的变化图象可知q1、q2为同种电荷还是异种电荷？
提示：异种电荷，且q1为正，q2为负。
(2)φx图象的斜率表示什么？
提示：表示场强。
尝试解答 选D。
根据题给的两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系图象，可知O点的点电荷q1为正电荷，M点的点电荷q2为负电荷。题中φx图象斜率的绝对值表示电场强度的大小，由此可知，N点和A点的电势为零，但电场强度大小都不为零，C点的电场强度大小为零，A、B错误；从N点到C点电势逐渐增大，说明从N点到C点逆着电场线方向，故N、C间场强方向沿x轴负方向，C错误；将一负点电荷从N点移到D点，其电势能先减小后增大，则电场力先做正功后做负功，D正确。
总结升华
解决图象问题的要点
物理图象将物理情景转化为便于分析、理解、解决问题的物理图形，把抽象问题简单化、具体化。
Ex图象：图象与坐标轴围成的面积表示电势差；
φx图象：某点切线的斜率表示该点对应位置的电场强度；
Epx图象：某点切线的斜率表示该点对应位置的电场力。
[变式4－1] (2019·福建五校联考)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中0～x2段是关于直线x＝x1对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是( )
A．x1处，场强最小，且为零；电势也最小，但不为零
B．粒子在x2～x3段做匀减速直线运动
C．O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ3>φ2＝φ0>φ1
D．x2～x3段的电场强度方向不变，大小均匀增加
答案 B
解析 根据电势能与电势的关系Ep＝qφ、场强与电势的关系E＝得E＝，由数学知识可知Epx图象的切线斜率的绝对值等于|qE|，由题图可知x1处切线斜率为零，故x1处场强最小且为零，结合粒子带负电和题图可知电势最小的点是x3处，O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ3<φ2＝φ0<φ1，A、C均错误；x2～x3段是直线，斜率不变，即电场力恒定，x2～x3段的电场强度方向不变，大小不变，粒子在x2～x3段做匀减速直线运动，B正确，D错误。
[变式4－2] 某空间存在电场，其中x轴上电场的电场强度随坐标的变化关系如图所示，左右两侧图线对称，则下列说法正确的是( )
A．将负电荷从－d位置移到－2d位置，电场力做正功
B．－d位置和＋d位置电势相等
C．＋d位置到＋2d位置的电势差与＋2d位置到＋3d位置的电势差相等
D．将正电荷从－3d位置移到＋2d位置电场力做正功
答案 B
解析 在x≥d区域，电场强度沿x轴正方向，在x≤－d区域，电场强度沿x轴负方向，－d
例5 (2018·合肥质检)(多选)如图所示，A、B、C、D为匀强电场中相邻的四个等势面，一电子经过等势面D时，动能为16 eV，速度方向垂直于等势面D，且经过等势面C时，电势能为－8 eV，经过等势面B时速度恰好为零，已知相邻等势面间的距离均为4 cm，电子重力不计。则下列说法正确的是( )
A．电子做匀变速直线运动
B．匀强电场的场强大小为100 V/m
C．等势面A的电势为－8 V
D．电子再次经过等势面D时，动能为16 eV
解题探究 (1)电子在等势面D时动能为16 eV，在等势面B时速度恰为零，该过程只有电场力做功，如何由动能定理求D、B两者间的电势差？
提示：由－eUDB＝0－EkD求UDB。
(2)如何求各等势面的电势？
提示：由UDB＝φD－φB结合φC＝求解。
尝试解答 选ACD。
由于电场为匀强电场，则电子所受的电场力为恒力，电子做匀变速直线运动，A正确；电子从等势面D运动到等势面B的过程中，由动能定理得－eUDB＝0－EkD，则可解得UDB＝16 V，由电势差与电场强度的关系可知E＝＝ V/m＝200 V/m，B错误；又电子在等势面C时，由EpC＝－eφC，代入数据解得φC＝8 V，又因为相邻等势面之间的距离相等，则相邻两等势面的电势差相等，则φB＝0、φA＝－8 V、φD＝16 V，C正确；在电子从等势面D运动到等势面B，再回到等势面D的整个过程中，电场力所做的功为零，由动能定理可知，电子再次回到等势面D时的动能仍为16 eV，D正确。
总结升华
处理电场中能量问题的四点注意
(1)应用动能定理解决问题需研究合外力的功(或总功)。
(2)应用能量守恒定律解决问题需注意电势能和其他形式能之间的转化。
(3)应用功能关系解决问题需明确电场力做功与电势能改变之间的对应关系。
(4)有电场力做功的过程机械能不守恒，但机械能与电势能的总和可以守恒。
[变式5] (2018·广东三校联考)(多选)如图，绝缘杆两端固定带电小球A和B，轻杆处于水平向右的匀强电场中，不考虑两球之间的相互作用。初始时杆与电场线垂直，将杆右移的同时顺时针转过90°，发现A、B两球电势能之和不变，根据如图给出的位置关系，下列说法正确的是( )
A．A、B两球一定带异种电荷
B．A、B两球电荷量的绝对值之比qA∶qB＝1∶2
C．A球电势能一定增加
D．电场力对A球和B球都不做功
答案 AB
解析 根据电场力做功与电势能变化关系，两小球由竖直位置变为水平位置，A、B两小球电势能之和不变，电场力对两小球都做功，但总功为零，D错误；由此可知若电场力对A做正功或负功，则必然对B做负功或正功，因此A、B一定带异种电荷，A正确；电场力做功与路径无关，有EqA×2L－EqBL＝0，得qA∶qB＝1∶2，B正确；A、B电性不确定，故A球电势能的变化不确定，C错误。
【案例剖析】
(18分)在动摩擦因数μ＝0.2的足够长的粗糙绝缘水平槽中，长为2L的绝缘轻质细杆两端各连接一个质量均为m的带电小球A和B，如图为俯视图(槽两侧光滑)。A球的电荷量为＋2q，B球的电荷量为－3q(均可视为质点，且不考虑两者间相互作用的库仑力)。现让A处于如图所示的①有界匀强电场区域MPQN内，已知虚线MP②恰位于细杆的中垂线上，MP和NQ的距离为3L，匀强电场的电场强度为E＝，方向水平向右。释放带电系统，让A、B③从静止开始运动(忽略小球运动中所产生的磁场造成的影响)。求：
(1)小球B第一次到达电场边界MP④所用的时间；
(2)小球A第一次⑤离开电场边界NQ时的速度大小；
(3)带电系统运动过程中，B球⑥电势能增加量的最大值。
[审题 抓住信息，准确推断]
问题,
④所用的时间,可利用牛顿第二定律及运动学公式求解
⑤离开电场边界NQ时的速度大小,分析A球在离开NQ前的运动情况：先加速运动，再减速运动
⑥电势能增加量的最大值,B球进入电场后受电场力方向向左，只要B球向右运动，电势能就会增加
[破题 形成思路，快速突破]
(1)小球B第一次到达电场边界MP所用时间的求解。
①求B球进入电场前的加速度。
a．研究对象：A、B两球组成的系统；
b．列动力学方程：2Eq－μ·2mg＝2ma1。
②求B球第一次到达电场边界MP所用时间。
列运动学方程：L＝a1t。
(2)小球A第一次离开电场边界NQ时的速度大小求解。
①研究过程：从B球进入电场到A球第一次离开电场。
②小球B刚进入电场的速度v1的求解。
a．选择规律：运动学方程；
b．方程式：v＝2a1L。
③小球A第一次离开电场的速度v2的求解。
a．选择规律：动力学方程和运动学方程；
b．动力学方程式：2Eq－3Eq－μ·2mg＝2ma2；
运动学方程式：v－v＝2a2L。
(3)如何求带电系统运动过程中，B球电势能增加量的最大值？
提示：B球克服电场力做功越多，其增加的电势能越大。先求出A球出电场后系统的加速度和系统速度减小到零时A球离开右边界的距离x，判断x≤2L是否成立，以确定此时B球是否在电场中，如果在电场中，则利用电场力做功与电势能变化的关系求解，如果不在电场中，则进一步分析计算。
[解题 规范步骤，水到渠成]
(1)带电系统开始运动后，先向右加速运动，当B进入电场区时，开始做减速运动。设B球进入电场前的过程中，系统的加速度为a1，由牛顿第二定律：
2Eq－μ·2mg＝2ma1，解得a1＝g(2分)
B球刚进入电场时，由L＝a1t (2分)
可得t1＝ 。(1分)
(2)设B从静止到刚进入电场的速度为v1，由v＝2a1L
可得v1＝(2分)
设B球进入电场后，系统的加速度为a2，由牛顿第二定律得：
2Eq－3Eq－2μmg＝2ma2，解得：a2＝－0.8g(2分)
之后系统做匀减速直线运动，设小球A第一次离开电场边界NQ时的速度大小为v2，由v－v＝2a2L可得v2＝。(2分)
(3)当带电系统速度第一次为零时，此时A球已经到达右边界NQ右侧，B球克服电场力做的功越多，B球增加的电势能越多，设系统速度减小到零时，A球离右边界NQ的距离为x，A球离开电场后，系统的加速度为a3，由牛顿第二定律：－3Eq－2μmg＝2ma3，解得：a3＝－2g(2分)
由x＝解得：x＝0.1L<2L，所以B没有出电场。(3分)
故B电势能增加量的最大值为
ΔEp＝－W＝－[－3Eq(L＋x)]＝3Eq(L＋x)＝3Eq·1.1L＝3.3EqL＝3.96mgL。(2分)
[点题 突破瓶颈，稳拿满分]
常见的思维障碍：
(1)在求小球A第一次离开电场边界NQ的速度大小时，错误地认为A球在电场中一直做匀加速直线运动，没有分析B球进入电场后，系统的受力情况发生了变化，导致结果错误。
(2)小球A离开电场之后，错误地认为B球的加速度不变，没有分析A球离开电场之后，系统的受力情况发生了变化，加速度发生了变化，导致结果错误。
高考模拟 随堂集训
1．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
A．平面c上的电势为零
B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
答案 AB
解析 匀强电场内a、b、c、d、f间距相等，则电子每通过相邻两个等势面电场力做功相同，则Wad＝3Wbc，即Wbc＝－eUbc＝－2 eV，Ubc＝φb－φc＝2 V，所以φc＝0，A正确；根据动能定理从a到d：Wad＝Ekd－Eka，可得：Ekd＝4 eV，电子在d时有动能4 eV，速度可能沿各个方向，取极端情况：①电子沿电场线方向运动，从d到f电场力做功Wdf＝Wbc＝－2 eV，Ekf＝Ekd＋Wdf＝2 eV>0，可到达平面f；②电子到d时速度方向沿等势面d，将不能到达平面f，B正确；同理电子到达等势面c的动能Ekc＝6 eV，由于等势面c的电势为零，电子在等势面c的电势能为零，根据能量守恒定律，电子在运动过程中电势能和动能的总和保持一个定值，即Epd＋Ekd＝Epc＋Ekc＝6 eV，故电子经过平面d时，其电势能为Epd＝2 eV，C错误；电子经过平面b和d时的动能分别为：Ekb＝8 eV和Ekd＝4 eV，由Ek＝mv2可得电子经过平面b时的速率是经过d时的倍，D错误。
2.(2018·全国卷Ⅱ)(多选)如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2，下列说法正确的是( )
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
答案 BD
解析 根据题意无法判断电场方向，故A错误；由于电场为匀强电场，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点，所以φM＝，φN＝，若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为W＝qUMN＝q(φM－φN)＝q－q＝＝，故B正确；因为不知道匀强电场方向，所以场强大小不一定是，故C错误；若W1＝W2，说明Ucd＝Uab，UaM－UbN＝(φa－φM)－(φb－φN)，又因为φM＝，φN＝，解得：UaM－UbN＝0，故D正确。
3．(2018·天津高考)如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是( )
A．vM＜vN，aM＜aN B．vM＜vN，φM＜φN
C．φM＜φN，EpM＜EpN D．aM＜aN，EpM＜EpN
答案 D
解析 将粒子的运动分情况讨论：如图，从M点运动到N点或从N点运动到M点，根据电场的性质依次判断；电场线越密，电场强度越大，同一个粒子受到的电场力越大，根据牛顿第二定律可知其加速度越大，故有aM＜aN；(a)若粒子从M点运动到N点，则根据带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，可知在某点的电场力方向和速度方向如图甲所示，故电场力做负功，电势能增大，动能减小，即vM＞vN，EpM＜EpN，负电荷在低电势处电势能大，故φM＞φN；(b)若粒子从N点运动到M点，则根据带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，可知在某点的电场力方向和速度方向如图乙所示，故电场力做正功，电势能减小，动能增大，即vM＞vN，EpM＜EpN，负电荷在低电势处电势能大，故φM＞φN。综上所述，D正确。
4．(2017·全国卷Ⅲ)(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
答案 ABD
解析 如图所示，由匀强电场中两平行线距离相等的两点间电势差相等知，Oa间电势差与bc间电势差相等，故O点电势为1 V，B正确；则在x轴上，每0.5 cm长度对应电势差为1 V,10 V对应的等势线与x轴交点e的坐标为(4.5,0)，△aOe中，Oe∶Oa＝4.5∶6＝3∶4，由几何知识得：Od长度为3.6 cm，代入公式E＝得，E＝2.5 V/cm，A正确；电子带负电，电势越高，电势能越小，电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，C错误；电子从b点运动到c点，电场力做功W＝－eUbc＝9 eV，D正确。
5．(2017·江苏高考)(多选)在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示。下列说法正确的有( )
A．q1和q2带有异种电荷
B．x1处的电场强度为零
C．负电荷从x1移到x2，电势能减小
D．负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大
答案 AC
解析 两个点电荷在x轴上，且x1处的电势为零，x>x1处的电势大于零，x
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～6为单选，7～10为多选)
1．(2016·江苏高考)一金属容器置于绝缘板上，带电小球用绝缘细线悬挂于容器中，容器内的电场线分布如图所示。容器内表面为等势面，A、B为容器内表面上的两点，下列说法正确的是( )
A．A点的电场强度比B点的大
B．小球表面的电势比容器内表面的低
C．B点的电场强度方向与该处内表面垂直
D．将检验电荷从A点沿不同路径移到B点，电场力所做的功不同
答案 C
解析 电场线的疏密表示场强的大小，因为A点处电场线较B点处稀疏，所以EA
A．A、C两处电势、场强均相同
B．A、C两处电势、场强均不相同
C．B、D两处电势、场强均相同
D．B、D两处电势、场强均不相同
答案 C
解析 以无穷远处为零势点，则A处电势为正，C处电势为负，故A、C两处电势不同，由场强叠加原理知A处场强方向向左，C处场强方向也向左，且大小相同，故A、C两处的电场强度相同，A、B错误；B、D两处场强大小相等，方向均水平向右，两处的电势均为0，C正确，D错误。
3．在维护和检修高压供电线路时，为了不影响城市用电，电工经常要在高压线上带电作业。为了保障电工的安全，电工全身要穿上用金属丝线编织的衣服(如图甲)。图乙中电工站在高压直流输电线的A供电线上作业，其头顶上方有B供电线，B供电线的电势高于A供电线的电势。虚线表示电工周围某一截面上的等势面，c、d、e、f是不同等势面上的四个点，以下说法中正确的是( )
A．在c、d、e、f四点中，c点的电场最强
B．在c、d、e、f四点中，f点的电势最高
C．若将某电子由c移到f，其电势能将增大
D．若将电子在d点由静止释放，它会向e点所在等势面运动
答案 C
解析 根据题给条件，不可判断在c、d、e、f四点中哪一点的电场最强，A错误；因B供电线的电势高于A供电线的电势，则在c、d、e、f四点中，c点的电势最高，B错误；若将某电子由c移到f，即从高电势移动到低电势，又电子带负电，电场力做负功，则其电势能将增大，C正确；沿着电场线方向，电势是降低的，故电场线方向为从c所在等势面指向f所在等势面，若将某电子在d点由静止释放，在电场力作用下，它会向c点所在等势面运动，D错误。
4.(2018·河南五校联考)A、B是某电场中一条电场线上的两点，若在A点以初速度v0释放一个电子，电子仅受电场力作用，并沿电场线由A点运动到B点，其动能随位移变化的关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．A点比B点的电场强度大
B．A点比B点的电势高
C．电子在A点比在B点的电势能大
D．电子在A点比在B点的加速度大
答案 B
解析 由动能定理知－qEx＝Ek－mv，得Ek＝mv－qEx，可见在Ekx图象中，图线斜率的绝对值表示的是电场力的大小qE，由于斜率不变，则电场力qE不变，A、B两点的电场强度大小相等，A错误；由牛顿第二定律qE＝ma，可知电子在A、B两点的加速度大小相等，D错误；电子从A点运动到B点的过程中，动能减少，电场力做负功，电势能增加，电子在A点比在B点的电势能小，C错误；电场力方向由B指向A，则电场方向由A指向B，A点比B点的电势高，B正确。
5.如图所示，A、P、B、C、D、E、Q、F等间距分布，P、Q两点放有等量异号点电荷，在B位置静止释放一带正电的检验电荷(检验电荷不影响原场强分布)，电荷向C点运动，则( )
A．Q点为正点电荷
B．将正检验电荷由E点沿圆周移到F点，电场力做负功
C．将正检验电荷由A点移到B点电场力不做功
D．将正检验电荷由B点移到C点电场力做的功大于由C点移到D点电场力做的功
答案 D
解析 因带正电的检验电荷由B点静止释放向C点运动，所以Q点为负点电荷，P点为正电荷，A错误；从E到F，负电荷对检验电荷不做功，正电荷对其做正功，故总功为正，B错误；同理可知，将检验电荷从A移到B，电场力做正功，C错误；两点电荷连线上靠近点电荷的位置电场线密集，两点电荷连线的中点场强最小，即UBC>UCD，同一正电荷由B点移到C点电场力做的功大于由C点移到D点电场力做的功，D正确。
6．(2019·洛阳尖子生联考)匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1 m，D为AB的中点，如图所示。已知电场线处于△ABC所在的平面，A、B、C三点的电势分别为14 V、6 V和2 V。设场强大小为E，一带电荷量为1×10－6 C的正电荷从D点移动到C点的过程中电场力所做的功为W，则( )
A．W＝6×10－6 J E≤6 V/m
B．W＝6×10－6 J E>6 V/m
C．W＝8×10－6 J E≤8 V/m
D．W＝8×10－6 J E>8 V/m
答案 D
解析 根据题述，A、C之间的电势差为UAC＝14 V－2 V＝12 V，将AC等分成3份，如图所示，将等分点分别标成F、G，则A、F、G、C四点的电势依次为14 V、10 V、6 V、2 V。连接G、B，则GB为等势线，与等势线垂直的为电场线。由于D为AB的中点，则D点电势为10 V，FD为等势线，FD平行于GB。DC之间的电势差UDC＝10 V－2 V＝8 V。带电荷量为1×10－6 C的正电荷从D点移动到C点的过程中，电场力做的功W＝qUDC＝1×10－6×8 J＝8×10－6 J。E＝＝＝ V/m>8 V/m，D正确。
7．(2018·广州测试二)如图a，点电荷固定在绝缘水平面上x轴的原点O处，轴上各点电势φ与的关系如图b。可视为质点的滑块质量为0.05 kg、电荷量为＋8.0×10－9 C，从x＝0.2 m处由静止释放，在x＝0.4 m处时速度达到最大。已知滑块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.01，g＝10 m/s2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则在x＝0.4 m处滑块( )
A．所受电场力大小为5.0×10－3 N
B．所在位置的电势为4.0×105 V
C．电势能为2.0×10－3 J
D．速度大小为0.2 m/s
答案 ACD
解析 根据题述，滑块在x＝0.4 m处时速度达到最大，则此时滑块所受合外力为零，由平衡条件可知，所受电场力大小为F＝μmg＝0.01×0.05×10 N＝5.0×10－3 N，A正确；由题图b可知，x＝0.4 m处的电势为φ1＝2.5×105 V，B错误；在x＝0.4 m处滑块的电势能为Ep1＝qφ1＝8.0×10－9×2.5×105 J＝2.0×10－3 J，C正确；由题图b可知，x＝0.2 m处的电势为φ2＝5.0×105 V，滑块在x＝0.2 m处的电势能Ep2＝qφ2＝8.0×10－9×5.0×105 J＝4.0×10－3 J，滑块从x＝0.2 m处由静止释放，在x＝0.4 m处时速度达到最大，应用功能关系可得μmg(0.4 m－0.2 m)＝Ep2－Ep1－mv，解得vm＝0.2 m/s，D正确。
8.(2018·湖北四校联考)空间存在一沿x轴对称分布的电场，其电势φ随x变化的情况如图所示，若在－x0处由静止释放一带正电的粒子，该粒子仅在电场力的作用下运动到x0的过程中，下列关于带电粒子的电势能Ep、动能Ek随位移x的变化图线，以及速度v、加速度a随时间t变化的图线正确的是( )
答案 AD
解析 根据电势能Ep＝qφ可知，φx图象的变化规律与正电荷的电势能随x的变化规律相同，A正确；观察φx图象，其斜率表示电场强度，所以电场向右，从－x0到x0的过程中电场强度先减小后增大，带正电的粒子从－x0处由静止释放后，受到沿x轴正方向的电场力先减小后增大，经过相同位移电场力做的功先减小后增大，根据动能定理可知，B错误(也可以根据Ep＋Ek＝Ep0得出Ek的图象)；从－x0 到x0的过程中粒子的加速度也是先减小后增大，D正确；再根据vt图象的斜率表示加速度可知，C错误。
9.(2018·开封模拟)如图所示，三根绝缘轻杆构成一个等边三角形，三个顶点上分别固定A、B、C三个带正电的小球。小球质量分别为m、2m、3m，所带电荷量分别为q、2q、3q。△ABC处于竖直面内，CB边水平，整个装置都处于方向水平向右的匀强电场中。现让该装置绕过中心O并与三角形平面垂直的轴顺时针转过120°，则A、B、C三个球所构成的系统( )
A．电势能不变 B．电势能减小
C．重力势能减小 D．重力势能增大
答案 AD
解析 设等边三角形边长为a，匀强电场场强大小为E，三角形绕O点转过120°的过程中，电场力对A球做功为Eqa，对B球做功为－2Eqa，对C球做功为Eqa，故电场力对三个小球做的总功为零，系统电势能不变，A项正确，B项错误；此过程中，B球的重力势能不变，A球降低的高度和C球升高的高度相同，但A球质量小于C球质量，所以系统的重力势能增大，C项错误，D项正确。
10.如图所示，匀强电场中的三个点A、B、C构成一个直角三角形，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，＝d。把一个电荷量为＋q的点电荷从A点移动到B点电场力不做功，从B点移动到C点电场力所做的功为W。若规定C点的电势为零，则( )
A．A点的电势为－
B．B、C两点间的电势差为UBC＝
C．该电场的电场强度大小为
D．若从A点沿AB方向飞入一电子，其运动轨迹可能是甲
答案 BD
解析 点电荷在匀强电场中从A点移动到B点，电场力不做功，说明AB为等势线，从B移动到C电场力做功W，则UBC＝，UBC＝UAC，又C点电势为零，则A点电势为，A错误，B正确；电场线沿着垂直AB方向，AC沿电场线方向长度为dsin60°，所以电场强度大小为，C错误；从A点释放的电子，所受的电场力垂直于AB，做类平抛运动，D正确。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11.(2018·石家庄质检二)(13分)如图所示，AB⊥CD且A、B、C、D位于一半径为r的竖直圆上，在C点有一固定点电荷，电荷量为＋Q。现从A点将一质量为m、电荷量为－q的小球由静止释放，小球沿光滑绝缘轨道ADB运动到D点时速度为，g为重力加速度，不考虑运动电荷对静电场的影响，求：
(1)小球运动到D点时对轨道的压力；
(2)小球从A点到D点过程中电势能的改变量。
答案 (1)2mg－k，方向竖直向下 (2)mgr
解析 (1)小球在D点时有FN＋k－mg＝m
解得FN＝2mg－k
由牛顿第三定律得，小球在D点时对轨道的压力大小为FN′＝2mg－k，方向竖直向下。
(2)小球从A运动到D，根据动能定理，有：
mgr＋W电＝m()2－0
解得电场力做的功：W电＝－mgr
因为电场力做负功，则电势能增加，ΔEp＝mgr。
12.(2018·石家庄质检一)(17分)如图所示，光滑绝缘水平桌面处在电场强度大小为E、方向水平向右的匀强电场中，某时刻将质量为m、电荷量为－q的小金属块(可视为质点)从A点由静止释放，小金属块经时间t到达B点，此时电场突然反向，电场强度增强为某恒定值，且仍为匀强电场，又经过时间t小金属块回到A点。小金属块在运动过程中电荷量保持不变。求：
(1)反向后匀强电场的电场强度大小；
(2)整个过程中电场力所做的功。
答案 (1)3E (2)
解析 (1)设小金属块到达B点和返回A点时的速度大小分别为v1和v2，电场反向后匀强电场的电场强度大小为E1，小金属块由A点运动到B点的过程有
x＝·t2
v1＝t
小金属块由B点运动到A点的过程
－x＝v1t－·t2
－v2＝v1－t
联立解得v2＝
E1＝3E。
(2)根据动能定理，整个过程中电场力所做的功
W＝mv－0
解得W＝。
主干梳理 对点激活
知识点 电势能 Ⅰ
1．静电力做功
(1)特点：静电力做功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与电荷经过的路径无关。
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离，计算时q不带正负号。
②WAB＝qUAB，适用于任何电场，计算时q要带正负号。
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中由于受到电场力的作用而具有的与其相对位置有关的能量叫做电势能，用符号Ep表示。
(2)静电力做功与电势能变化的关系
静电力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。
(3)大小：电荷在某点的电势能，等于将电荷从该点移到零势能位置时静电力做的功。
(1)电势能由电场和电荷共同决定，属于电场和电荷系统所共有的，我们习惯说成电场中的电荷所具有的。
(2)电势能是相对的，与零势能位置的选取有关，但电势能的变化是绝对的，与零势能位置的选取无关。
(3)电势能是标量，有正负，无方向。电势能为正值表示电势能大于在参考点时的电势能，电势能为负值表示电势能小于在参考点时的电势能。
(4)零势能位置的选取是任意的，但通常选取大地或无穷远处为零势能位置。
知识点 电势 Ⅰ
1．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能Ep与它的电荷量q的比值。
(2)定义式：φ＝。
(3)矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势与选取的电势零点的位置有关。一般选取无穷远处为电势零点，在实际应用中常取大地的电势为零。
2．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面。
(2)四个特点
①在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。
②等势面一定与电场线垂直。
③电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。
电场中某点的电势大小是由电场本身的性质决定的，与在该点是否放有电荷和所放电荷的电性、电荷量及电势能均无关。
知识点 电势差 Ⅱ
匀强电场中电势差与电场强度的关系 Ⅱ
1．电势差
(1)定义：电场中两点间电势的差值。
(2)定义式：UAB＝φA－φB。显然，UAB＝－UBA。
(3)影响因素：电场中两点间电势差由电场本身决定，与电势零点的选取无关。
(4)电势差与电场力做功的关系：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力做的功WAB与移动的电荷的电荷量q的比值等于A、B两点间的电势差，即UAB＝，计算时q要带正负号。
2．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与场强的关系式
UAB＝Ed，其中d为匀强电场中A、B两点沿电场方向的距离。
(2)电场强度的另一表达式
①表达式：E＝。(只适用于匀强电场)
②意义：电场中，场强方向是电势降低最快的方向。在匀强电场中，场强在数值上等于沿电场方向单位长度降低的电势。
知识点 静电感应和静电平衡 Ⅰ
1．静电感应
当把一个不带电的金属导体放在电场中时，导体的两端分别感应出等量的正、负电荷，“近端”出现与施感电荷异号的感应电荷，“远端”出现与施感电荷同号的感应电荷，这种现象叫静电感应。
2．静电平衡
(1)定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场在导体内部大小相等且方向相反，使得叠加场强为零时，自由电荷不再发生定向移动，导体处于静电平衡状态。
(2)处于静电平衡状态的导体的特点
①导体内部的场强处处为零；
②导体是一个等势体，导体表面是等势面；
③导体表面处的场强方向与导体表面垂直；
④导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上；
⑤在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有净电荷。
一 思维辨析
1．电场力做功与重力做功相似，均与路径无关。( )
2．电场中电场强度为零的地方电势一定为零。( )
3．等势面是客观存在的，电场线与等势面一定垂直。( )
4．沿电场线方向电场强度越来越小，电势逐渐降低。( )
5．A、B两点的电势差数值上等于将正电荷从A点移到B点时电场力做的功。( )
6．带电粒子由静止释放，若只在电场力作用下，一定从电势能大的地方向电势能小的地方运动。( )
答案 1.√ 2.× 3.× 4.× 5.× 6.√
二 对点激活
1．(人教版选修3－1·P19·T2改编)关于电场中两点电势的高低的判断，下列说法正确的是( )
A．若＋q在A点的电势能比在B点的大，则A点电势高于B点电势
B．若－q在C点的电势能比在D点的大，则C点电势高于D点电势
C．若－q在E点的电势能为负值，则E点电势为负值
D．电势降低的方向即为电场线方向
答案 A
解析 由Ep＝qφ知正电荷在电势越高的地方电势能越大，负电荷在电势越低的地方电势能越大，故A正确，B错误；若Ep与q均为负值，则φ为正值，故C错误；电势降低最快的方向为电场线方向，故D错误。
2.(人教版选修3－1·P22·T3改编)如图所示，下列说法正确的是( )
A．φA>φB
B．负电荷在A点时的电势能大于在B点时的电势能
C．负电荷由B移动到A时静电力做正功
D．UAB>0
答案 B
解析 沿着电场线的方向电势降低，由图知φA<φB，UAB<0，故A、D错误；WBA＝qUBA，其中q<0，UBA>0，则WBA<0，故C错误；由Ep＝qφ知负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能，故B正确。
3.(人教版选修3－1·P23·T2改编)带有等量异号电荷，相距10 cm 的平行板A和B之间有一匀强电场，如图，电场强度E＝2×104 V/m，方向向下。电场中C点距B板为3 cm，D点距A板为2 cm。下列说法正确的是( )
A．UCD＝1000 V
B．让B板接地，则C点的电势φC＝600 V
C．让A板接地，则D点的电势φD＝400 V
D．将一个电子从C点移到D点静电力做的功，与将电子先从C点移到P点再移到D点静电力做的功数值不同
答案 B
解析 UCD＝－Ed＝－1000 V，故A错误；让B板接地，则φC＝EdCB＝600 V，故B正确；让A板接地，则φD＝－400 V，故C错误；静电力做功与路径无关，只与初末位置有关，故D错误。
4．关于等势面的说法，正确的是( )
A．电荷在等势面上移动时，由于不受电场力作用，所以说电场力不做功
B．在同一个等势面上各点的场强大小相等
C．两个不等电势的等势面可能相交
D．若相邻两等势面的电势差相等，则等势面的疏密程度能反映场强的大小
答案 D
解析 等势面由电势相等的点组成，等势面附近的电场线跟等势面垂直，因此电荷在等势面上移动时，电场力不做功，但并不是不受电场力的作用，A错误。等势面上各点场强大小不一定相等，等势面不可能相交，B、C错误。等差等势面的疏密能反映场强的大小，D正确。
考点细研 悟法培优
考点1 电势高低与电势能大小的判断
1．电势高低的判断方法
2．电势能大小的判断方法
例1 匀强电场的电场线是平行等间距的，假如在匀强电场中放入一不带电的金属小球，电场线会发生弯曲变成如图所示电场，关于该电场下列说法正确的是( )
A．由于感应起电，该金属小球放入匀强电场后总电荷量将不为零
B．电场线越密的地方电场强度越小
C．将一电子从P点移到Q点，电子的电势能一定减少
D．P点的电势一定高于Q点的电势
解题探究 (1)如何判断P、Q两点电势的高低？
提示：沿电场线的方向电势逐渐降低。
(2)由于感应起电，小球两端所带电荷量相等吗？
提示：相等。
尝试解答 选C。
由于电荷守恒，金属小球的总电荷量仍为零，故A错误；电场线的疏密程度表示场强大小，电场线越密的地方场强越大，故B错误；沿电场线方向电势逐渐降低，故P点电势低于Q点电势，又因为电子带负电，所以电子在P点的电势能高于在Q点的电势能，即从P点到Q点电子的电势能一定减少，C正确，D错误。
总结升华
电场线、电场强度、电势、电势能、等势面之间的关系
(1)电场线与电场强度的关系：同一电场，电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向。
(2)电场线与等势面的关系：电场线与等势面垂直，并从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。
(3)电场强度大小与电势无直接关系：零电势位置可人为选取，电场强度的大小由电场本身决定，故电场强度大的地方，电势不一定高。
(4)电势能与电势的关系：正电荷在电势高的地方电势能大；负电荷在电势低的地方电势能大。
[变式1] (2018·唐山三模)(多选)如图所示，处于x轴上的两个等量异号电荷＋Q和－Q，坐标分别为(L,0)和(3L,0)。以坐标原点O为圆心，作半径为2L的圆，圆上有a、b、c、d四个点，均处于两电荷形成的电场中。则下列说法正确的是( )
A．O点电势等于b点电势
B．b点和d点电场强度大小相等，电势相同
C．将一正试探电荷从c点沿虚线圆周移到O点电场力不做功
D．将一正试探电荷从b点沿y轴移到d点，电势能先增大后减小
答案 BD
解析 由等量异号点电荷的电场线、等势线分布图可知φO>φb，故A错误；根据对称性，b、d两点场强大小相等、电势相同，故B正确；c点电势为零，O点电势大于零，所以将正试探电荷从c点沿虚线圆周移到O点电场力做负功，故C错误；φb＝φd＜φO，所以将正试探电荷从b点沿y轴移到d点，电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，故D正确。
考点2 电场线、等势线(面)与粒子轨迹分析问题
1.几种典型电场的等势线(面)
2．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在某一位置的切线)与“力线”(在同一位置垂直等势面且指向轨迹的凹侧)，从二者的夹角情况来分析带电粒子做曲线运动时电场力做功的情况。
(2)电荷的正负、场强的方向(或等势面电势的高低)，是题目中相互制约的两个方面。若已知其中一个，可分析另一个。
例2 (2018·惠州调研)(多选)如图所示，以点电荷Q为圆心的虚线同心圆是该点电荷电场中球形等势面的横截面图。一个带正电的粒子经过该电场，它的运动轨迹如图中实线所示，M和N是轨迹上的两点。不计带电粒子受到的重力，由此可以判断( )
A．此粒子在M点的加速度小于在N点的加速度
B．此粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
C．此粒子在M点的动能小于在N点的动能
D．电场中M点的电势低于N点的电势
解题探究 (1)如何判断场源电荷是正电荷还是负电荷？
提示：根据粒子轨迹弯曲方向判断受到的是引力还是斥力，从而判断场源电荷的正负。
(2)如何判断电势的高低？
提示：判断出场源电荷电性就知道电场线方向，沿电场线电势降低。
尝试解答 选AD。
由库仑定律知，粒子在M点所受的库仑力小于在N点所受的库仑力，故粒子在M点的加速度小于在N点的加速度，A正确；从粒子运动轨迹可知带电粒子受到了向左的力(排斥力)，则点电荷Q也带正电，N点电势高于M点电势，粒子在N点的电势能大于在M点的电势能，B错误，D正确；只受电场力时，粒子在点电荷的电场中的动能与电势能之和不变，则粒子在M点的动能大于在N点的动能，C错误。
总结升华
(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
(2)判断电场力(或电场强度)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子电荷的正负判断电场强度的方向。
(3)判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
(4)求解此类问题的思维模板
[变式2] (多选)如图所示，虚线a、b、c表示电场中的三个等势面与纸平面的交线，且相邻等势面之间的电势差相等。实线为一带正电荷粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，M、N是这条轨迹上的两点，则下面说法中正确的是( )
A．三个等势面中，a的电势最高
B．对于M、N两点，带电粒子通过M点时电势能较大
C．对于M、N两点，带电粒子通过M点时动能较大
D．带电粒子由M运动到N时，加速度增大
答案 CD
解析 由于带电粒子做曲线运动，且仅受电场力作用，因此所受电场力的方向必定指向轨迹的凹侧，且和等势面垂直，所以电场线方向是由c指向b再指向a，根据沿电场线方向电势降低，故φc>φb>φa，A错误；带正电荷粒子若从N点运动到M点，场强方向与运动方向成锐角，电场力做正功，电势能减少，若从M点运动到N点，场强方向与运动方向成钝角，电场力做负功，电势能增加，即M点电势能较小，故B错误；根据能量守恒定律，电荷的动能和电势能之和保持不变，故粒子在M点的动能较大，C正确；由于相邻等势面之间电势差相等，N点等势面较密，则EN>EM，即qEN>qEM，由牛顿第二定律知，带电粒子从M点运动到N点时，加速度增大，D正确。
考点3 匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离。
(2)沿电场强度方向电势降落得最快。
(3)在匀强电场中U＝Ed，即在沿电场线方向上，U∝d。推论如下：
推论①：如图甲，C点为线段AB的中点，则有φC＝。
推论②：如图乙，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。
2．E＝在非匀强电场中的几点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即等差等势面越密，电场强度越大。
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系，如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
(3)利用φx图象的斜率判断沿x方向电场强度Ex随位置变化的规律。在φx图象中斜率k＝＝＝－Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，斜率为正，表示电场强度方向沿规定的负方向；斜率为负，表示电场强度方向沿规定的正方向。
(4)利用Ex图象与x轴围成的面积表示电势差，即SAB＝ExAB＝Ed＝UAB，分析计算两点间电势差。
例3 (多选)如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1 V、2 V、3 V，正六边形所在平面与电场线平行。下列说法正确的是( )
A．通过CD和AF的直线应为电场中的两条等势线
B．匀强电场的电场强度大小为10 V/m
C．匀强电场的电场强度方向为由C指向A
D．将一个电子由E点移到D点，电子的电势能将减少1.6×10－19 J
解题探究 (1)在匀强电场中，如何寻找等势线？
提示：先利用几何关系确定两个等势点，它们的连线就是一条等势线。
(2)如何确定场强的大小和方向？
提示：根据电场线与等势线垂直，且沿电场线方向电势降低可判断电场方向，场强大小可由E＝求得。
尝试解答 选ACD。
由于AC的中点电势为2 V，所以BE为等势线，CD、AF同为等势线，故A正确；CA为电场线方向，电场强度大小E＝＝ V/m＝ V/m，故B错误，C正确；由UED＝UBC＝－1 V，WED＝－eUED＝1.6×10－19 J，得电势能减少1.6×10－19 J，D正确。
总结升华
匀强电场中找等势点的方法
等分线段找等势点法：在匀强电场中，电势沿直线是均匀变化的，即直线上距离相等的线段两端的电势差相等。因此将电势最高点和电势最低点连接后根据需要平分成若干段，找到与已知的第三个点的电势相等的点，这两个等势点的连线即等势面(或等势线)，与等势面(或等势线)垂直的线即为电场线。
[变式3] (2018·安徽重点中学联考)在如图所示的虚线方框内有一方向平行于纸面的匀强电场，A、B、C为该电场中的三个点，AB＝4 cm，BC＝3 cm，AC＝5 cm，若将一个电荷量为1.0×10－8 C的负点电荷从B移到C，电场力做的功为1.2×10－7 J，而把该点电荷从B移到A，克服电场力做的功为1.2×10－7 J，则该匀强电场的场强大小为( )
A．500 V/m B．480 V/m
C．400 V/m D．300 V/m
答案 A
解析 由题意可知，UBC＝＝ V＝－12 V，UBA＝＝ V＝12 V，设A点电势φA＝0 V，则φB＝12 V，φC＝24 V，则B点电势与AC中点D处的电势相等，由余弦定理可知BD＝2.5 cm，则由△ABD的面积是△ABC的一半可知，C、D两点沿着电场线方向的距离为2.4 cm，匀强电场的场强大小为E＝＝ V/m＝500 V/m，A正确。
考点4 电场中的图象问题
1．vt图象：根据电荷在电场中运动的vt图象的速度变化、斜率变化(即加速度变化)，确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场强度的方向、电势的高低及电势能的变化。
2．φx图象：(1)电场强度可用φx图线的斜率表示，斜率的大小表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向。
(2)在φx图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系分析电荷移动时电势能的变化。
3．Ex图象：(1)反映了电场强度随位移变化的规律。
(2)E>0表示场强沿正方向；E<0表示场强沿负方向。
(3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，“面积”的正负表示始末两点电势的高低。
4．Epx图象：(1)Epx图象可以判断某一位置电势能的大小，进而确定电势能的变化情况，根据电势能的变化可以判断电场力做功情况，结合带电粒子的运动可以确定电场力的方向。
(2)Epx图象可以判断电场力的大小，即k＝＝＝－F，图象的斜率大小和正负分别表示电场力的大小和方向。
例4 (2018·衡水六调)两电荷量分别为q1和q2的点电荷放在x轴上的O、M两点，两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图所示，其中A、N两点的电势均为零，ND段中的C点电势最高，则( )
A．N点的电场强度大小为零
B．A点的电场强度大小为零
C．N、C间场强方向沿x轴正方向
D．将一负点电荷从N点移到D点，电场力先做正功后做负功
解题探究 (1)由q1、q2之间电势随x的变化图象可知q1、q2为同种电荷还是异种电荷？
提示：异种电荷，且q1为正，q2为负。
(2)φx图象的斜率表示什么？
提示：表示场强。
尝试解答 选D。
根据题给的两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系图象，可知O点的点电荷q1为正电荷，M点的点电荷q2为负电荷。题中φx图象斜率的绝对值表示电场强度的大小，由此可知，N点和A点的电势为零，但电场强度大小都不为零，C点的电场强度大小为零，A、B错误；从N点到C点电势逐渐增大，说明从N点到C点逆着电场线方向，故N、C间场强方向沿x轴负方向，C错误；将一负点电荷从N点移到D点，其电势能先减小后增大，则电场力先做正功后做负功，D正确。
总结升华
解决图象问题的要点
物理图象将物理情景转化为便于分析、理解、解决问题的物理图形，把抽象问题简单化、具体化。
Ex图象：图象与坐标轴围成的面积表示电势差；
φx图象：某点切线的斜率表示该点对应位置的电场强度；
Epx图象：某点切线的斜率表示该点对应位置的电场力。
[变式4－1] (2019·福建五校联考)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中0～x2段是关于直线x＝x1对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是( )
A．x1处，场强最小，且为零；电势也最小，但不为零
B．粒子在x2～x3段做匀减速直线运动
C．O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ3>φ2＝φ0>φ1
D．x2～x3段的电场强度方向不变，大小均匀增加
答案 B
解析 根据电势能与电势的关系Ep＝qφ、场强与电势的关系E＝得E＝，由数学知识可知Epx图象的切线斜率的绝对值等于|qE|，由题图可知x1处切线斜率为零，故x1处场强最小且为零，结合粒子带负电和题图可知电势最小的点是x3处，O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ3<φ2＝φ0<φ1，A、C均错误；x2～x3段是直线，斜率不变，即电场力恒定，x2～x3段的电场强度方向不变，大小不变，粒子在x2～x3段做匀减速直线运动，B正确，D错误。
[变式4－2] 某空间存在电场，其中x轴上电场的电场强度随坐标的变化关系如图所示，左右两侧图线对称，则下列说法正确的是( )
A．将负电荷从－d位置移到－2d位置，电场力做正功
B．－d位置和＋d位置电势相等
C．＋d位置到＋2d位置的电势差与＋2d位置到＋3d位置的电势差相等
D．将正电荷从－3d位置移到＋2d位置电场力做正功
答案 B
解析 在x≥d区域，电场强度沿x轴正方向，在x≤－d区域，电场强度沿x轴负方向，－d
例5 (2018·合肥质检)(多选)如图所示，A、B、C、D为匀强电场中相邻的四个等势面，一电子经过等势面D时，动能为16 eV，速度方向垂直于等势面D，且经过等势面C时，电势能为－8 eV，经过等势面B时速度恰好为零，已知相邻等势面间的距离均为4 cm，电子重力不计。则下列说法正确的是( )
A．电子做匀变速直线运动
B．匀强电场的场强大小为100 V/m
C．等势面A的电势为－8 V
D．电子再次经过等势面D时，动能为16 eV
解题探究 (1)电子在等势面D时动能为16 eV，在等势面B时速度恰为零，该过程只有电场力做功，如何由动能定理求D、B两者间的电势差？
提示：由－eUDB＝0－EkD求UDB。
(2)如何求各等势面的电势？
提示：由UDB＝φD－φB结合φC＝求解。
尝试解答 选ACD。
由于电场为匀强电场，则电子所受的电场力为恒力，电子做匀变速直线运动，A正确；电子从等势面D运动到等势面B的过程中，由动能定理得－eUDB＝0－EkD，则可解得UDB＝16 V，由电势差与电场强度的关系可知E＝＝ V/m＝200 V/m，B错误；又电子在等势面C时，由EpC＝－eφC，代入数据解得φC＝8 V，又因为相邻等势面之间的距离相等，则相邻两等势面的电势差相等，则φB＝0、φA＝－8 V、φD＝16 V，C正确；在电子从等势面D运动到等势面B，再回到等势面D的整个过程中，电场力所做的功为零，由动能定理可知，电子再次回到等势面D时的动能仍为16 eV，D正确。
总结升华
处理电场中能量问题的四点注意
(1)应用动能定理解决问题需研究合外力的功(或总功)。
(2)应用能量守恒定律解决问题需注意电势能和其他形式能之间的转化。
(3)应用功能关系解决问题需明确电场力做功与电势能改变之间的对应关系。
(4)有电场力做功的过程机械能不守恒，但机械能与电势能的总和可以守恒。
[变式5] (2018·广东三校联考)(多选)如图，绝缘杆两端固定带电小球A和B，轻杆处于水平向右的匀强电场中，不考虑两球之间的相互作用。初始时杆与电场线垂直，将杆右移的同时顺时针转过90°，发现A、B两球电势能之和不变，根据如图给出的位置关系，下列说法正确的是( )
A．A、B两球一定带异种电荷
B．A、B两球电荷量的绝对值之比qA∶qB＝1∶2
C．A球电势能一定增加
D．电场力对A球和B球都不做功
答案 AB
解析 根据电场力做功与电势能变化关系，两小球由竖直位置变为水平位置，A、B两小球电势能之和不变，电场力对两小球都做功，但总功为零，D错误；由此可知若电场力对A做正功或负功，则必然对B做负功或正功，因此A、B一定带异种电荷，A正确；电场力做功与路径无关，有EqA×2L－EqBL＝0，得qA∶qB＝1∶2，B正确；A、B电性不确定，故A球电势能的变化不确定，C错误。
【案例剖析】
(18分)在动摩擦因数μ＝0.2的足够长的粗糙绝缘水平槽中，长为2L的绝缘轻质细杆两端各连接一个质量均为m的带电小球A和B，如图为俯视图(槽两侧光滑)。A球的电荷量为＋2q，B球的电荷量为－3q(均可视为质点，且不考虑两者间相互作用的库仑力)。现让A处于如图所示的①有界匀强电场区域MPQN内，已知虚线MP②恰位于细杆的中垂线上，MP和NQ的距离为3L，匀强电场的电场强度为E＝，方向水平向右。释放带电系统，让A、B③从静止开始运动(忽略小球运动中所产生的磁场造成的影响)。求：
(1)小球B第一次到达电场边界MP④所用的时间；
(2)小球A第一次⑤离开电场边界NQ时的速度大小；
(3)带电系统运动过程中，B球⑥电势能增加量的最大值。
[审题 抓住信息，准确推断]
问题,
④所用的时间,可利用牛顿第二定律及运动学公式求解
⑤离开电场边界NQ时的速度大小,分析A球在离开NQ前的运动情况：先加速运动，再减速运动
⑥电势能增加量的最大值,B球进入电场后受电场力方向向左，只要B球向右运动，电势能就会增加
[破题 形成思路，快速突破]
(1)小球B第一次到达电场边界MP所用时间的求解。
①求B球进入电场前的加速度。
a．研究对象：A、B两球组成的系统；
b．列动力学方程：2Eq－μ·2mg＝2ma1。
②求B球第一次到达电场边界MP所用时间。
列运动学方程：L＝a1t。
(2)小球A第一次离开电场边界NQ时的速度大小求解。
①研究过程：从B球进入电场到A球第一次离开电场。
②小球B刚进入电场的速度v1的求解。
a．选择规律：运动学方程；
b．方程式：v＝2a1L。
③小球A第一次离开电场的速度v2的求解。
a．选择规律：动力学方程和运动学方程；
b．动力学方程式：2Eq－3Eq－μ·2mg＝2ma2；
运动学方程式：v－v＝2a2L。
(3)如何求带电系统运动过程中，B球电势能增加量的最大值？
提示：B球克服电场力做功越多，其增加的电势能越大。先求出A球出电场后系统的加速度和系统速度减小到零时A球离开右边界的距离x，判断x≤2L是否成立，以确定此时B球是否在电场中，如果在电场中，则利用电场力做功与电势能变化的关系求解，如果不在电场中，则进一步分析计算。
[解题 规范步骤，水到渠成]
(1)带电系统开始运动后，先向右加速运动，当B进入电场区时，开始做减速运动。设B球进入电场前的过程中，系统的加速度为a1，由牛顿第二定律：
2Eq－μ·2mg＝2ma1，解得a1＝g(2分)
B球刚进入电场时，由L＝a1t (2分)
可得t1＝ 。(1分)
(2)设B从静止到刚进入电场的速度为v1，由v＝2a1L
可得v1＝(2分)
设B球进入电场后，系统的加速度为a2，由牛顿第二定律得：
2Eq－3Eq－2μmg＝2ma2，解得：a2＝－0.8g(2分)
之后系统做匀减速直线运动，设小球A第一次离开电场边界NQ时的速度大小为v2，由v－v＝2a2L可得v2＝。(2分)
(3)当带电系统速度第一次为零时，此时A球已经到达右边界NQ右侧，B球克服电场力做的功越多，B球增加的电势能越多，设系统速度减小到零时，A球离右边界NQ的距离为x，A球离开电场后，系统的加速度为a3，由牛顿第二定律：－3Eq－2μmg＝2ma3，解得：a3＝－2g(2分)
由x＝解得：x＝0.1L<2L，所以B没有出电场。(3分)
故B电势能增加量的最大值为
ΔEp＝－W＝－[－3Eq(L＋x)]＝3Eq(L＋x)＝3Eq·1.1L＝3.3EqL＝3.96mgL。(2分)
[点题 突破瓶颈，稳拿满分]
常见的思维障碍：
(1)在求小球A第一次离开电场边界NQ的速度大小时，错误地认为A球在电场中一直做匀加速直线运动，没有分析B球进入电场后，系统的受力情况发生了变化，导致结果错误。
(2)小球A离开电场之后，错误地认为B球的加速度不变，没有分析A球离开电场之后，系统的受力情况发生了变化，加速度发生了变化，导致结果错误。
高考模拟 随堂集训
1．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
A．平面c上的电势为零
B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
答案 AB
解析 匀强电场内a、b、c、d、f间距相等，则电子每通过相邻两个等势面电场力做功相同，则Wad＝3Wbc，即Wbc＝－eUbc＝－2 eV，Ubc＝φb－φc＝2 V，所以φc＝0，A正确；根据动能定理从a到d：Wad＝Ekd－Eka，可得：Ekd＝4 eV，电子在d时有动能4 eV，速度可能沿各个方向，取极端情况：①电子沿电场线方向运动，从d到f电场力做功Wdf＝Wbc＝－2 eV，Ekf＝Ekd＋Wdf＝2 eV>0，可到达平面f；②电子到d时速度方向沿等势面d，将不能到达平面f，B正确；同理电子到达等势面c的动能Ekc＝6 eV，由于等势面c的电势为零，电子在等势面c的电势能为零，根据能量守恒定律，电子在运动过程中电势能和动能的总和保持一个定值，即Epd＋Ekd＝Epc＋Ekc＝6 eV，故电子经过平面d时，其电势能为Epd＝2 eV，C错误；电子经过平面b和d时的动能分别为：Ekb＝8 eV和Ekd＝4 eV，由Ek＝mv2可得电子经过平面b时的速率是经过d时的倍，D错误。
2.(2018·全国卷Ⅱ)(多选)如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2，下列说法正确的是( )
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
答案 BD
解析 根据题意无法判断电场方向，故A错误；由于电场为匀强电场，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点，所以φM＝，φN＝，若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为W＝qUMN＝q(φM－φN)＝q－q＝＝，故B正确；因为不知道匀强电场方向，所以场强大小不一定是，故C错误；若W1＝W2，说明Ucd＝Uab，UaM－UbN＝(φa－φM)－(φb－φN)，又因为φM＝，φN＝，解得：UaM－UbN＝0，故D正确。
3．(2018·天津高考)如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是( )
A．vM＜vN，aM＜aN B．vM＜vN，φM＜φN
C．φM＜φN，EpM＜EpN D．aM＜aN，EpM＜EpN
答案 D
解析 将粒子的运动分情况讨论：如图，从M点运动到N点或从N点运动到M点，根据电场的性质依次判断；电场线越密，电场强度越大，同一个粒子受到的电场力越大，根据牛顿第二定律可知其加速度越大，故有aM＜aN；(a)若粒子从M点运动到N点，则根据带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，可知在某点的电场力方向和速度方向如图甲所示，故电场力做负功，电势能增大，动能减小，即vM＞vN，EpM＜EpN，负电荷在低电势处电势能大，故φM＞φN；(b)若粒子从N点运动到M点，则根据带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，可知在某点的电场力方向和速度方向如图乙所示，故电场力做正功，电势能减小，动能增大，即vM＞vN，EpM＜EpN，负电荷在低电势处电势能大，故φM＞φN。综上所述，D正确。
4．(2017·全国卷Ⅲ)(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
答案 ABD
解析 如图所示，由匀强电场中两平行线距离相等的两点间电势差相等知，Oa间电势差与bc间电势差相等，故O点电势为1 V，B正确；则在x轴上，每0.5 cm长度对应电势差为1 V,10 V对应的等势线与x轴交点e的坐标为(4.5,0)，△aOe中，Oe∶Oa＝4.5∶6＝3∶4，由几何知识得：Od长度为3.6 cm，代入公式E＝得，E＝2.5 V/cm，A正确；电子带负电，电势越高，电势能越小，电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，C错误；电子从b点运动到c点，电场力做功W＝－eUbc＝9 eV，D正确。
5．(2017·江苏高考)(多选)在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示。下列说法正确的有( )
A．q1和q2带有异种电荷
B．x1处的电场强度为零
C．负电荷从x1移到x2，电势能减小
D．负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大
答案 AC
解析 两个点电荷在x轴上，且x1处的电势为零，x>x1处的电势大于零，x
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～6为单选，7～10为多选)
1．(2016·江苏高考)一金属容器置于绝缘板上，带电小球用绝缘细线悬挂于容器中，容器内的电场线分布如图所示。容器内表面为等势面，A、B为容器内表面上的两点，下列说法正确的是( )
A．A点的电场强度比B点的大
B．小球表面的电势比容器内表面的低
C．B点的电场强度方向与该处内表面垂直
D．将检验电荷从A点沿不同路径移到B点，电场力所做的功不同
答案 C
解析 电场线的疏密表示场强的大小，因为A点处电场线较B点处稀疏，所以EA
A．A、C两处电势、场强均相同
B．A、C两处电势、场强均不相同
C．B、D两处电势、场强均相同
D．B、D两处电势、场强均不相同
答案 C
解析 以无穷远处为零势点，则A处电势为正，C处电势为负，故A、C两处电势不同，由场强叠加原理知A处场强方向向左，C处场强方向也向左，且大小相同，故A、C两处的电场强度相同，A、B错误；B、D两处场强大小相等，方向均水平向右，两处的电势均为0，C正确，D错误。
3．在维护和检修高压供电线路时，为了不影响城市用电，电工经常要在高压线上带电作业。为了保障电工的安全，电工全身要穿上用金属丝线编织的衣服(如图甲)。图乙中电工站在高压直流输电线的A供电线上作业，其头顶上方有B供电线，B供电线的电势高于A供电线的电势。虚线表示电工周围某一截面上的等势面，c、d、e、f是不同等势面上的四个点，以下说法中正确的是( )
A．在c、d、e、f四点中，c点的电场最强
B．在c、d、e、f四点中，f点的电势最高
C．若将某电子由c移到f，其电势能将增大
D．若将电子在d点由静止释放，它会向e点所在等势面运动
答案 C
解析 根据题给条件，不可判断在c、d、e、f四点中哪一点的电场最强，A错误；因B供电线的电势高于A供电线的电势，则在c、d、e、f四点中，c点的电势最高，B错误；若将某电子由c移到f，即从高电势移动到低电势，又电子带负电，电场力做负功，则其电势能将增大，C正确；沿着电场线方向，电势是降低的，故电场线方向为从c所在等势面指向f所在等势面，若将某电子在d点由静止释放，在电场力作用下，它会向c点所在等势面运动，D错误。
4.(2018·河南五校联考)A、B是某电场中一条电场线上的两点，若在A点以初速度v0释放一个电子，电子仅受电场力作用，并沿电场线由A点运动到B点，其动能随位移变化的关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．A点比B点的电场强度大
B．A点比B点的电势高
C．电子在A点比在B点的电势能大
D．电子在A点比在B点的加速度大
答案 B
解析 由动能定理知－qEx＝Ek－mv，得Ek＝mv－qEx，可见在Ekx图象中，图线斜率的绝对值表示的是电场力的大小qE，由于斜率不变，则电场力qE不变，A、B两点的电场强度大小相等，A错误；由牛顿第二定律qE＝ma，可知电子在A、B两点的加速度大小相等，D错误；电子从A点运动到B点的过程中，动能减少，电场力做负功，电势能增加，电子在A点比在B点的电势能小，C错误；电场力方向由B指向A，则电场方向由A指向B，A点比B点的电势高，B正确。
5.如图所示，A、P、B、C、D、E、Q、F等间距分布，P、Q两点放有等量异号点电荷，在B位置静止释放一带正电的检验电荷(检验电荷不影响原场强分布)，电荷向C点运动，则( )
A．Q点为正点电荷
B．将正检验电荷由E点沿圆周移到F点，电场力做负功
C．将正检验电荷由A点移到B点电场力不做功
D．将正检验电荷由B点移到C点电场力做的功大于由C点移到D点电场力做的功
答案 D
解析 因带正电的检验电荷由B点静止释放向C点运动，所以Q点为负点电荷，P点为正电荷，A错误；从E到F，负电荷对检验电荷不做功，正电荷对其做正功，故总功为正，B错误；同理可知，将检验电荷从A移到B，电场力做正功，C错误；两点电荷连线上靠近点电荷的位置电场线密集，两点电荷连线的中点场强最小，即UBC>UCD，同一正电荷由B点移到C点电场力做的功大于由C点移到D点电场力做的功，D正确。
6．(2019·洛阳尖子生联考)匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1 m，D为AB的中点，如图所示。已知电场线处于△ABC所在的平面，A、B、C三点的电势分别为14 V、6 V和2 V。设场强大小为E，一带电荷量为1×10－6 C的正电荷从D点移动到C点的过程中电场力所做的功为W，则( )
A．W＝6×10－6 J E≤6 V/m
B．W＝6×10－6 J E>6 V/m
C．W＝8×10－6 J E≤8 V/m
D．W＝8×10－6 J E>8 V/m
答案 D
解析 根据题述，A、C之间的电势差为UAC＝14 V－2 V＝12 V，将AC等分成3份，如图所示，将等分点分别标成F、G，则A、F、G、C四点的电势依次为14 V、10 V、6 V、2 V。连接G、B，则GB为等势线，与等势线垂直的为电场线。由于D为AB的中点，则D点电势为10 V，FD为等势线，FD平行于GB。DC之间的电势差UDC＝10 V－2 V＝8 V。带电荷量为1×10－6 C的正电荷从D点移动到C点的过程中，电场力做的功W＝qUDC＝1×10－6×8 J＝8×10－6 J。E＝＝＝ V/m>8 V/m，D正确。
7．(2018·广州测试二)如图a，点电荷固定在绝缘水平面上x轴的原点O处，轴上各点电势φ与的关系如图b。可视为质点的滑块质量为0.05 kg、电荷量为＋8.0×10－9 C，从x＝0.2 m处由静止释放，在x＝0.4 m处时速度达到最大。已知滑块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.01，g＝10 m/s2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则在x＝0.4 m处滑块( )
A．所受电场力大小为5.0×10－3 N
B．所在位置的电势为4.0×105 V
C．电势能为2.0×10－3 J
D．速度大小为0.2 m/s
答案 ACD
解析 根据题述，滑块在x＝0.4 m处时速度达到最大，则此时滑块所受合外力为零，由平衡条件可知，所受电场力大小为F＝μmg＝0.01×0.05×10 N＝5.0×10－3 N，A正确；由题图b可知，x＝0.4 m处的电势为φ1＝2.5×105 V，B错误；在x＝0.4 m处滑块的电势能为Ep1＝qφ1＝8.0×10－9×2.5×105 J＝2.0×10－3 J，C正确；由题图b可知，x＝0.2 m处的电势为φ2＝5.0×105 V，滑块在x＝0.2 m处的电势能Ep2＝qφ2＝8.0×10－9×5.0×105 J＝4.0×10－3 J，滑块从x＝0.2 m处由静止释放，在x＝0.4 m处时速度达到最大，应用功能关系可得μmg(0.4 m－0.2 m)＝Ep2－Ep1－mv，解得vm＝0.2 m/s，D正确。
8.(2018·湖北四校联考)空间存在一沿x轴对称分布的电场，其电势φ随x变化的情况如图所示，若在－x0处由静止释放一带正电的粒子，该粒子仅在电场力的作用下运动到x0的过程中，下列关于带电粒子的电势能Ep、动能Ek随位移x的变化图线，以及速度v、加速度a随时间t变化的图线正确的是( )
答案 AD
解析 根据电势能Ep＝qφ可知，φx图象的变化规律与正电荷的电势能随x的变化规律相同，A正确；观察φx图象，其斜率表示电场强度，所以电场向右，从－x0到x0的过程中电场强度先减小后增大，带正电的粒子从－x0处由静止释放后，受到沿x轴正方向的电场力先减小后增大，经过相同位移电场力做的功先减小后增大，根据动能定理可知，B错误(也可以根据Ep＋Ek＝Ep0得出Ek的图象)；从－x0 到x0的过程中粒子的加速度也是先减小后增大，D正确；再根据vt图象的斜率表示加速度可知，C错误。
9.(2018·开封模拟)如图所示，三根绝缘轻杆构成一个等边三角形，三个顶点上分别固定A、B、C三个带正电的小球。小球质量分别为m、2m、3m，所带电荷量分别为q、2q、3q。△ABC处于竖直面内，CB边水平，整个装置都处于方向水平向右的匀强电场中。现让该装置绕过中心O并与三角形平面垂直的轴顺时针转过120°，则A、B、C三个球所构成的系统( )
A．电势能不变 B．电势能减小
C．重力势能减小 D．重力势能增大
答案 AD
解析 设等边三角形边长为a，匀强电场场强大小为E，三角形绕O点转过120°的过程中，电场力对A球做功为Eqa，对B球做功为－2Eqa，对C球做功为Eqa，故电场力对三个小球做的总功为零，系统电势能不变，A项正确，B项错误；此过程中，B球的重力势能不变，A球降低的高度和C球升高的高度相同，但A球质量小于C球质量，所以系统的重力势能增大，C项错误，D项正确。
10.如图所示，匀强电场中的三个点A、B、C构成一个直角三角形，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，＝d。把一个电荷量为＋q的点电荷从A点移动到B点电场力不做功，从B点移动到C点电场力所做的功为W。若规定C点的电势为零，则( )
A．A点的电势为－
B．B、C两点间的电势差为UBC＝
C．该电场的电场强度大小为
D．若从A点沿AB方向飞入一电子，其运动轨迹可能是甲
答案 BD
解析 点电荷在匀强电场中从A点移动到B点，电场力不做功，说明AB为等势线，从B移动到C电场力做功W，则UBC＝，UBC＝UAC，又C点电势为零，则A点电势为，A错误，B正确；电场线沿着垂直AB方向，AC沿电场线方向长度为dsin60°，所以电场强度大小为，C错误；从A点释放的电子，所受的电场力垂直于AB，做类平抛运动，D正确。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11.(2018·石家庄质检二)(13分)如图所示，AB⊥CD且A、B、C、D位于一半径为r的竖直圆上，在C点有一固定点电荷，电荷量为＋Q。现从A点将一质量为m、电荷量为－q的小球由静止释放，小球沿光滑绝缘轨道ADB运动到D点时速度为，g为重力加速度，不考虑运动电荷对静电场的影响，求：
(1)小球运动到D点时对轨道的压力；
(2)小球从A点到D点过程中电势能的改变量。
答案 (1)2mg－k，方向竖直向下 (2)mgr
解析 (1)小球在D点时有FN＋k－mg＝m
解得FN＝2mg－k
由牛顿第三定律得，小球在D点时对轨道的压力大小为FN′＝2mg－k，方向竖直向下。
(2)小球从A运动到D，根据动能定理，有：
mgr＋W电＝m()2－0
解得电场力做的功：W电＝－mgr
因为电场力做负功，则电势能增加，ΔEp＝mgr。
12.(2018·石家庄质检一)(17分)如图所示，光滑绝缘水平桌面处在电场强度大小为E、方向水平向右的匀强电场中，某时刻将质量为m、电荷量为－q的小金属块(可视为质点)从A点由静止释放，小金属块经时间t到达B点，此时电场突然反向，电场强度增强为某恒定值，且仍为匀强电场，又经过时间t小金属块回到A点。小金属块在运动过程中电荷量保持不变。求：
(1)反向后匀强电场的电场强度大小；
(2)整个过程中电场力所做的功。
答案 (1)3E (2)
解析 (1)设小金属块到达B点和返回A点时的速度大小分别为v1和v2，电场反向后匀强电场的电场强度大小为E1，小金属块由A点运动到B点的过程有
x＝·t2
v1＝t
小金属块由B点运动到A点的过程
－x＝v1t－·t2
－v2＝v1－t
联立解得v2＝
E1＝3E。
(2)根据动能定理，整个过程中电场力所做的功
W＝mv－0
解得W＝。
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