2020版高考数学一轮复习课时作业24《 正弦定理、余弦定理》(含解析) 练习

课时作业24　正弦定理、余弦定理

一、选择题

1.△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，c－a＝2，b＝3，则a＝(　A　)

A.2  B.

C.3  D.

解析：由题意可得c＝a＋2，b＝3，cosA＝，由余弦定理，得cosA＝·，代入数据，得＝，解方程可得a＝2.

2.(2019·湖北黄冈质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cosB＝(　B　)

A.  B.

C.  D.

解析：由正弦定理，得sinA＝sinB，又A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，所以cosB＝.

3.(2019·成都诊断性检测)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，则“sinA>sinB”是“tanA>tanB”的(　C　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

解析：在锐角△ABC中，根据正弦定理＝，知sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，而正切函数y＝tanx在(0，)上单调递增，所以A>B⇔tanA>tanB.故选C.

4.(2019·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则△ABC为(　A　)

A.钝角三角形  B.直角三角形

C.锐角三角形  D.等边三角形

解析：根据正弦定理得＝<cosA，即sinC<sinBcosA，∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)<sinBcosA，整理得sinAcosB<0，又三角形中sinA>0，∴cosB<0，<B<π.∴△ABC为钝角三角形.

5.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　C　)

A.  B.

C.  D.

解析：根据题意及三角形的面积公式知absinC＝，所以sinC＝＝cosC，所以在△ABC中，C＝.

6.(2019·河南洛阳高三统考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2＝c2＋ac－bc，则＝(　B　)

A.  B.

C.  D.

解析：由a，b，c成等比数列得b2＝ac，则有a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得cosA＝＝＝，故A＝，对于b2＝ac，由正弦定理得，sin2B＝sinAsinC＝·sinC，由正弦定理得，＝＝＝.故选B.

二、填空题

7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝.

解析：因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得＝，解得sinA＝，因为0°<A<180°，所以A＝30°，此时C＝90°，所以S△ABC＝ab＝.

8.(2019·福州四校联考)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足(a＋b)sin＝12，(a－b)cos＝5，则c＝13.

解析：∵(a＋b)sin＝12，(a－b)cos＝5，∴(a＋b)2sin2＝144　①，(a－b)2cos2＝25　②，①＋②得，a2＋b2－2ab(cos2－sin2)＝169，∴a2＋b2－2abcosC＝c2＝169，∴c＝13.

9.(2019·开封高三定位考试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB＋btanA＝2ctanB，且a＝5，△ABC的面积为2，则b＋c的值为7.

解析：由正弦定理及btanB＋btanA＝2ctanB，得sinB·＋sinB·＝2sinC·，即cosAsinB＋sinAcosB＝2sinCcosA，亦即sin(A＋B)＝2sinCcosA，故sinC＝2sinCcosA.因为sinC≠0，所以cosA＝，所以A＝.由面积公式，知S△ABC＝bcsinA＝2，所以bc＝8.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc，代入可得b＋c＝7.

三、解答题

10.(2019·惠州市调研考试)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0.

(1)求角C的大小；

(2)若b＝2，c＝2，求△ABC的面积.

解：(1)∵2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0，

∴由正弦定理可得

2cosC(sinAcosC＋sinCcosA)＋sinB＝0，

∴2cosCsin(A＋C)＋sinB＝0，即2cosCsinB＋sinB＝0，

又0°<B<180°，∴sinB≠0，∴cosC＝－，

又0°<C<180°，∴C＝120°.

(2)由余弦定理可得(2)2＝a2＋22－2×2acos120°＝a2＋2a＋4，又a>0，

∴解得a＝2，∴S△ABC＝absinC＝，∴△ABC的面积为.

11.(2019·重庆市质量调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin－cos＝.

(1)求cosB的值；

(2)若b2－a2＝ac，求的值.

解：(1)将sin－cos＝两边同时平方得，1－sinB＝，得sinB＝，

故cosB＝±，又sin－cos＝>0，

所以sin>cos，

所以∈(，)，所以B∈(，π)，故cosB＝－.

(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋ac，

所以a＝c－2acosB＝c＋a，

所以c＝a，故＝.

12.(2018·北京卷)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝60°；的取值范围是(2，＋∞).

解析：△ABC的面积S＝acsinB＝(a2＋c2－b2)＝×2accosB，所以tanB＝，因为0°<∠B<180°，所以∠B＝60°.因为∠C为钝角，所以0°<∠A<30°，所以0<tanA<，所以＝＝＝

＝＋>2，

故的取值范围为(2，＋∞).

13.(2019·山西八校联考)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且(a＋c)2＝b2＋3ac.

(1)求角B的大小；

(2)若b＝2，且sinB＋sin(C－A)＝2sin2A，求△ABC的面积.

解：(1)由(a＋c)2＝b2＋3ac，整理得a2＋c2－b2＝ac，

由余弦定理得cosB＝＝＝，

∵0<B<π，∴B＝.

(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，即B＝π－(A＋C)，故sinB＝sin(A＋C)，

由已知sinB＋sin(C－A)＝2sin2A可得sin(A＋C)＋sin(C－A)＝2sin2A，

∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinCcosA－cosCsinA＝4sinAcosA，

整理得cosAsinC＝2sinAcosA.

若cosA＝0，则A＝，

由b＝2，可得c＝＝，

此时△ABC的面积S＝bc＝.

若cosA≠0，则sinC＝2sinA，

由正弦定理可知，c＝2a，

代入a2＋c2－b2＝ac，整理可得3a2＝4，

解得a＝，∴c＝，

此时△ABC的面积S＝acsinB＝.

综上所述，△ABC的面积为.

14.(2019·南宁、柳州联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccosA＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为(　A　)

A.2＋   B.2＋

C.3   D.3＋

解析：解法1：由题意可得，sinB＋2sinCcosA＝0，即sin(A＋C)＋2sinCcosA＝0，得sinAcosC＝－3sinCcosA，即tanA＝－3tanC.又cosA＝－<0，所以A为钝角，于是tanC>0.

从而tanB＝－tan(A＋C)＝－＝＝，由基本不等式，得＋3tanC≥

2＝2，当且仅当tanC＝时等号成立，此时角B取得最大值，且tanB＝tanC＝，tanA＝－，即b＝c，A＝120°，又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝，故△ABC的周长为2＋.

解法2：由已知b＋2ccosA＝0，得b＋2c·＝0，整理得2b2＝a2－c2.由余弦定理，得cosB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立，此时角B取得最大值，将a＝c代入2b2＝a2－c2可得b＝c.又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝，故△ABC的周长为2＋.故选A.

15.(2019·河南信阳二模)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)＝bsinC.

(1)求角A的大小；

(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋cosBcosC的最大值.

解：(1)∵(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)＝bsinC，

∴根据正弦定理，知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝bc，即b2＋c2－a2＝－bc.

∴由余弦定理，得cosA＝＝－.

又A∈(0，π)，所以A＝π.

(2)根据a＝，A＝π及正弦定理可得＝＝＝＝2，∴b＝2sinB，c＝2sinC.

∴S＝bcsinA＝×2sinB×2sinC×＝sinBsinC.

∴S＋cosBcosC＝sinBsinC＋cosB·cosC

＝cos(B－C).

故当即B＝C＝时，

S＋cosB·cosC取得最大值.