2020届高考数学一轮复习课时训练：第10章 计数原理 53(含解析)

【课时训练】第53节　排列与组合

一、选择题

1.(2018陕西宝鸡一模)现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同)，计划将其放在4个车库中(每个车库放2辆)，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有(　　)

A.144种  B.108种  C.72种  D.36种

答案为：C

解析：从4对小车中选取2对共有C种选法，从4个车库中选取2个车库有C种选法，然后将这2对小车放入这两个车库共有A种放法；将剩下的2对小车每1对分开来放，因为同一品牌的小车完全相同，只有1种放法，所以共有CCA=72种不同的放法.

2.(2018河南开封调研)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)

A.243  B.252  C.261  D.279

答案为：B

解析：∵0,1,2，…，9共能组成9×10×10=900个三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8=648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648=252(个).

3.(2018河南八市质检)将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为(　　)

A.15  B.20  C.30  D.42

答案为：C

解析：四个篮球中两个分到一组有C种分法，三组篮球进行全排列有A种，标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A种分法，所以有CA－A=36－6=30种分法，故选C.

4.(2018临沂模拟)某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C 3门由于上课时间相同，至多选1门.若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有(　　)

A.15种  B.60种  C.75种  D.100种

答案为：C

解析：由题意知，满足题意的选修方案有两类：第一类是所选的4门全来自于除A，B，C外的6门课程，选修方案有C=15(种)；第二类是所选的4门中有且仅有1门来自于A，B，C，另外3门从除A，B，C外的6门课程中选择，选修方案有CC=60(种).由分类加法计数原理可得满足题意的不同选修方案总数是15＋60=75.

5.(2018佛山模拟)在5×5的棋盘中，放入3颗相同的黑子和2颗相同的白子，它们均不在同一行也不在同一列，则不同的排列方法有(　　)

A.150种  B.200种  C.600种  D.1 200种

答案为：D

解析：首先选出3行3列，共有C×C种方法，然后放入3颗黑子，共有3×2×1种方法，然后在剩下的2行2列中放2颗白子，共有2×1种方法，所以不同的排列方法为C×C×3×2×1×2×1=1 200(种).故选D.

6.(2018青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)

A.18种  B.24种  C.36种  D.72种

答案为：C

解析：一个路口有3人的分配方法有CCA(种)；两个路口各有2人的分配方法有CCA(种).由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为CCA＋CCA=36(种).

7.(2018常德一中月考)《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是(　　)

A.216  B.420  C.720  D.1 080

答案为：D

解析：先分组，每组含有2户家庭的有2组，则有种分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有×A=1 080种不同的分配方案.

8.(2018太原模拟)2019年元旦假期期间，某大学的8名同学拼车去旅游，其中大一、大二每个年级各4名.现有甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学，其中大一的一对孪生兄弟需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有3名来自于同一年级的乘车方式共有(　　)

A.16种  B.18种  C.24种  D.36种

答案为：A

解析：由题意，第一类，若大一年级有3名同学在甲车上，由于孪生兄弟需乘同一辆车，则孪生兄弟必在甲车上，剩下2名同学大一、大二各1名，共有CC=8(种)；第二类，若大二年级有3名同学在甲车上，则需从大一除孪生兄弟以外的2名中选1名坐甲车，共有CC=8(种)，因此共有16种不同的乘车方式，故选A.

二、填空题

9.(2018四川绵阳二诊)7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法.

答案为：20

解析：先排最中间位置有一种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C种排法，再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为C=20(种).

10.(2018西安调研)若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种.

答案为：11

解析：把g，o，o，d4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A=12(种).其中正确的有一种，所以错误的共A－1=12－1=11(种).

11.(2018洛阳统考)四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有_____________________________种.

答案为：36

解析：分两步：先将四名优等生分成2,1,1三组，共有C种；而后，对三组学生全排三所学校，即进行全排列，有A种.依分步乘法计数原理，共有N=CA=36(种).

12.(2018广东惠州二模)公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排.某人欲选由A，B，C，D，E中的两个不同字母，和1,2,3,4,5中的三个不同数字(三个数字都相邻)组成一个号牌，则他选择号牌的方法种数为________.

答案为：3 600

解析：三个数字相邻，则共有A种情况，在A，B，C，D，E中选两个不同的字母，共有A种不同的情况，这两个字母形成三个空，将数字整体插空，共C种情况，综上所述，此人选择号牌的方法种数有AAC=60×20×3=3 600.

三、解答题

13.(2018郑州检测)有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法数：

(1)有女生但人数必须少于男生；

(2)某女生一定要担任语文课代表；

(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；

(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.

【解】(1)先选后排.符合条件的课代表人员的选法有(CC＋CC)种，排列方法有A种，所以满足题意的选法有(CC＋CC)·A=5 400(种).

(2)除去该女生后，即相当于挑选剩余的7名学生担任四科的课代表，有A=840种选法.

(3)先选后排.从剩余的7名学生中选出4名有C种选法，排列方法有CA种，所以选法共有CCA=3 360(种).

(4)先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有C种选法，该男生的安排方法有C种，其余3人全排列，有A种，因此满足题意的选法共有CCA=360(种).