2020届高考数学一轮复习课时训练：第3章 导数及其应用 13(含解析)
展开【课时训练】第13节 导数的概念及运算
一、选择题
1.(2019日照一中检测)已知函数y=f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程x－2y＋1=0，则f(1)＋2f ′(1)的值是( )
A. B.1
C. D.2
答案为：D
解析：∵函数y=f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程是x－2y＋1=0，∴f(1)=1, f ′(1)=.∴f(1)＋2f ′(1)=2.故选D.
2.(2018山东烟台模拟)曲线y=sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是( )
A.x－3y＋3=0 B.x－2y＋2=0
C.2x－y＋1=0 D.3x－y＋1=0
答案为：C
解析：y′=cos x＋ex，故切线斜率为k=2，切线方程为y=2x＋1，即2x－y＋1=0.
3.(2018山东枣庄三中质检)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)=2xf ′(1)＋ln x，则f ′(1)=( )
A.－e B.－1
C.1 D.e
答案为：B
解析：由题可得f′(x)=2f′(1)＋，则f′(1)=2f′(1)＋1，解得f′(1)=－1，所以选B.
4.(2018河南濮阳一中期末)已知f ′(x)是f(x)=sin x＋acos x的导函数，且f ′=，则实数a的值为( )
A. B.
C. D.1
答案为：B
解析：由题意可得f′(x)=cos x－asin x，则由f′=可得－a=，解得a=.故选B.
5.(2018河南质检)已知函数f(x)=sin x－cos x，且f ′(x)=f(x)，则tan 2x的值是( )
A.－ B.－
C. D.
答案为：D
解析：因为f ′(x)=cos x＋sin x=sin x－cos x，所以tan x=－3，所以tan 2x===.故选D.
6.(2018安徽宣城六校联考)过函数f(x)=x3－x2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )
A. B.∪
C. D.
答案为：B
解析：设切线的倾斜角为α.由题意得k=f′(x)=x2－2x=(x－1)2－1≥－1，即k=tan α≥－1，解得0≤α<或≤α<π，即切线倾斜角的范围为∪.故选B.
7.(2018四川乐山调研)已知曲线f(x)=e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是( )
A.(3，＋∞) B.
C. D.(0,3)
答案为：B
解析：由题得f′(x)=2e2x－2ex＋a，则方程2e2x－2ex＋a=3有两个不同的正解，令t=ex(t>0)，且g(t)=2t2－2t＋a－3，则由图像可知，有g(0)>0且Δ>0，即a－3>0且4－8(a－3)>0，解得3<a<.故选B.
8.(2018河北邯郸质检)已知函数f(x)=ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的对称中心为M(x0，y0)，记函数f(x)的导函数为f ′(x)，f ′(x)的导函数为f ″(x)，则有f ″(x0)=0.若函数f(x)=x3－3x2，则f＋f＋f＋…＋f＋f=( )
A.－8 066 B.－4 033
C.8 066 D.4 033
答案为：A
解析：由f(x)=x3－3x2得f ′(x)=3x2－6x，f ″(x)=6x－6，又f ″(x0)=0，所以x0=1且f(1)=－2，即函数f(x)的对称中心为(1，－2)，即f(x)＋f(2－x)=－4.令S=f＋f＋f＋…＋f＋f，则S=f＋f＋…＋f＋f＋f，所以2S=4 033×(－4)=－16 132，S=－8 066.
9.(2018云南大理统测)已知函数f(x)=ln x＋tan α的导函数为f ′(x)，若使得f ′(x0)=f(x0)成立的x0满足x0<1，则α的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案为：B
解析：∵f ′(x)=，∴f ′(x0)=，由f ′(x0)=f(x0)，得=ln x0＋tan α，∴tan α=－ln x0.又0<x0<1，∴－ln x0>1，即tan α>1，又α∈，∴α∈.故选B.
二、填空题
10.(2018九江模拟)已知直线y=－x＋1是函数f(x)=－·ex图象的切线，则实数a=________.
答案为：e2
解析：设切点为(x0，y0)，则f ′(x0)=－·ex0=－1，∴ex0=a，又－·ex0=－x0＋1，∴x0=2，∴a=e2.
11.(2018河南省实验中学期中)已知f(x)=cos x，则f(π)＋f ′=________.
答案为：－
解析：f′(x)=，当x=时，f ′=－，又f(π)=－，所以f(π)＋f′=－.
12.(2018长春模拟)已知a为常数，若曲线y=ax2＋3x－ln x上存在与直线x＋y－1=0垂直的切线，则实数a的取值范围是________.
答案为：
解析：由题意知曲线的切线斜率为1，所以y′=2ax＋3－=1有正根，即2ax2＋2x－1=0有正根.当a≥0时，显然满足题意；当a＜0时，需满足Δ≥0，解得－≤a＜0.综上，a≥－.
三、解答题
13.(2018湖北孝感高中期中)已知函数f(x)=x3－x.
(1)求曲线y=f(x)在点M(1,0)处的切线方程；
(2)如果过点(1，b)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数b的取值范围.
【解】(1)f′(x)=3x2－1，∴f′(1)=2.
故切线方程为y－0=2(x－1)，即2x－y－2=0.
(2)设切点为(x0，x－x0)，则切线方程为
y－(x－x0)=f′(x0)(x－x0).
又切线过点(1，b)，所以(3x－1)(1－x0)＋x－x0=b，
即2x－3x＋b＋1=0.
由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解.
记g(x)=2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，
而g′(x)=6x(x－1)，令g′(x)=0得x=0或x=1，则结合图像可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0).
