2019届高考数学二轮复习查漏补缺练习：解答必刷卷2《三角函数、解三角形》(含解析)
展开解答必刷卷(二) 三角函数、解三角形
考查范围:第16讲~第23讲
题组一 真题集训
1.四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.
(1)求C和BD;
(2)求四边形ABCD的面积.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acosB-.
(1)求角B的大小;
(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.
(1)证明:sin Asin B=sin C;
(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.
题组二 模拟强化
4.如图,a,b,c分别为△ABC中角A,B,C的对边,∠ABC=,cos∠ADC=,c=8,CD=2.
(1)求a的值;
(2)求△ADC的外接圆的半径R.
5.△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知bcos C+csin B=0.
(1)求C;
(2)若a=,b=,点D在边AB上, CD=BD,求CD的长.
6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知△ABC的外接圆半径R=,且tan B+tan C=.
(1)求B和b的值;
(2)求△ABC面积的最大值.
解答必刷卷(二)
1.解:(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C, ①
BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A
=5+4cos C. ②
由①②得cos C=,故C=60°,BD=.
(2)四边形ABCD的面积S=AB·DAsin A+BC·CDsin C=sin 60°=2.
2.解:(1)在△ABC中,由正弦定理知=,可得bsin A=asin B,
又bsin A=acosB-,所以asin B=acosB-,即sin B=cosB-,可得tan B=.
又因为B∈(0,π),所以B=.
(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=.
由bsin A=acosB-,可得sin A=.
因为a<c,故cos A=.
因此sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=2cos2A-1=.
所以sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=×-×=.
3.解:(1)证明:根据正弦定理,可设===k(k>0),
则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,
代入+=中,有
+=,变形可得
sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).
在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
所以sin Asin B=sin C.
(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有
cos A==,
所以sin A==.
由(1)知,sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin B=cos B+sin B,
故tan B==4.
4.解:(1)因为cos∠ADC=,
所以sin∠ADC=sin∠ADB=.
所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠ABC)=×-×=,
在△ABD中,由正弦定理得BD==3,所以a=3+2=5.
(2)在△ABC中,b==7.
在△ADC中,R=·=.
5.解:(1)因为bcos C+csin B=0,
所以由正弦定理知sin Bcos C+sin Csin B=0.
因为0<B<π,所以sin B>0,
于是cos C+sin C=0,即tan C=-1.
因为0<C<π,所以C=.
(2)由(1)结合余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos∠ACB=()2+()2-2×××=25,
所以c=5,所以cos B===.
因为在△BCD中, CD=BD,
所以=cos B,所以CD===.
6.解:(1)因为tan B+tan C=,
所以+=,
所以sin Bcos C+cos Bsin C=sin Acos B,即sin(B+C)=sin Acos B.
因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sin A,
又因为sin A≠0,所以cos B=,因为0<B<π,所以B=.
由正弦定理得=2R,得b=2Rsin B=2×=2.
(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,所以4=a2+c2-ac.
由基本不等式,得4=a2+c2-ac≥2ac-ac(当且仅当a=c时取等号),
所以ac≤=2(2+).
因为S△ABC=acsin B=acsin=ac,
所以S△ABC=ac≤×2(2+)=1+.
所以△ABC面积的最大值为1+.
