2019届高考数学二轮复习查漏补缺练习：第36讲《基本不等式》(含解析)

课时作业(三十六)　第36讲　基本不等式

时间 / 30分钟　分值 / 80分　　　　　　　　　

基础热身

1.已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,则ab的最大值为 (　　)

A. 1 B.            C.          D.

2.设x>0,y>0,且x+y=3,则2x+2y的最小值是 (　　)

A. 8 B. 6 C. 3 D. 4

3.已知a,b∈R,且ab≠0,则下列结论恒成立的是 (　　)

A. a+b≥2  B. +≥2      C. ≥2       D. a2+b2>2ab

4.若对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则实数a的取值范围为 (　　)

A.,+∞   B.,+∞       C.-∞,   D.-∞,

5.已知x>0,y>0,且满足x+y=4,则lg x+lg y的最大值为　　　　. 

能力提升

6.已知向量a=(1,x2),b=(-2,y2-2),若a,b共线,则xy的最大值为 (　　)

A.            B.1       C.      D.2

7.已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则+的最小值是 (　　)

A.4          B.3           C.2           D.1

8.设a>0,b>2,且a+b=3,则+的最小值是 (　　)

A. 6          B. 2          C. 4         D. 3+2

9.在首项与公比相等的等比数列{an}中,am=(m,n∈N*),则+的最小值为 (　　)

A.1         B.                C.2          D.

10.《几何原本》第二卷的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图K36-1所示的图形,点F在半圆O上,点C在半径OB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为              (　　)

A. ≥(a>0,b>0)          B. a2+b2≥2ab(a>0,b>0)

C. ≤(a>0,b>0)         D. ≤(a>0,b>0)

11.已知x>0,y>0,且2x·4y=4,则xy的最大值为　　　　. 

12.若a>b>0,则a2+的最小值是　　　　. 

13.已知ab>0,a+b=3,则+的最小值为　　　　. 

14.已知实数x,y满足若z=3x-2y取得最小值时的最优解(x,y)满足ax+by=2(ab>0),则的最小值为　　　　. 

难点突破

15.(5分)某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为400平方米的三级污水处理池,如图K36-2所示,池外圈造价为每米200元,中间两条隔墙造价为每米250元,池底造价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖).若使污水池的总造价最低,则污水池的长和宽分别为(　　)

A. 40米,10米 B. 20米,20米       C. 30米, 米 D. 50米,8米

16.(5分)已知a,b∈R,且a是2-b与-3b的等差中项,则的最大值为　　　　. 

课时作业(三十六)

1.B　[解析] 因为a,b∈(0,+∞),所以1=a+b≥2,所以ab≤,当且仅当a=b=时等号成立.

2.D　[解析] 因为x>0,y>0,且x+y=3,所以2x+2y≥2=2=2=4,当且仅当x=y=时,2x+2y取得最小值4.

3.C　[解析] 因为和同号,所以=+≥2,当且仅当|a|=|b|时等号成立.

4.A　[解析] 由x>0,得=≤=,当且仅当x=1时等号成立,则a≥.

5.2lg 2　[解析] 因为x+y=4,x>0,y>0,所以xy≤2=4,当且仅当x=y=2时等号成立,因此lg x+lg y=lg xy≤lg 4=2lg 2.

6.A　[解析] 依题意得2x2+y2=2,因此2=2x2+y2≥±2xy,从而-≤xy≤,故选A.

7.A　[解析] 因为x>0,y>0,且lg 2x+lg 8y=lg 2x+3y=lg 2,所以x+3y=1,则+=+=2++≥2+2=4当且仅当=,即x=3y=时取等号.故选A.

8.D　[解析] ∵a>0,b>2,且a+b=3,∴a+b-2=1,∴+=(a+b-2)=2+1++≥3+2,当且仅当a=(b-2),即b=1+,a=2-时取等号,则+的最小值是3+2,故选D.

9.A　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,由题意可得a1=q,∵am=,∴a1·qm-1·(a1·qn-1)2=(a1·q3)2,即qm·q2n=q8,因此m+2n=8.∴+=(m+2n)+×=2+++2×≥(4+4)×=1,当且仅当m=2n=4时取等号,故选A.

10.D　[解析] 由图可知OF=AB=,OC=.在Rt△OCF中,由勾股定理可得CF==.∵CF≥OF,∴≥(a>0,b>0).故选D.

11.　[解析] ∵x>0,y>0,且2x·4y=4,∴2x·4y=2x+2y=22,∴x+2y=2,∴xy=x·2y≤2=,当且仅当x=1,y=时取等号,∴xy的最大值为.

12.2　[解析] ∵a>b>0,∴a2+≥a2+=a2+≥2=2,当且仅当a=1,b=时取等号,故所求最小值为2.

13.　[解析] ∵ab>0,a+b=3,∴a+2+b+1=6.则+=[(a+2)+(b+1)]+=a2+b2++≥(a2+b2+2ab)=(a+b)2=,当且仅当b(b+1)=a(a+2),即b=,a=时取等号.

14.9　[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示,

由图可知,当直线z=3x-2y经过点A(2,2)时,z取得最小值,此时最优解为(2,2),则2a+2b=2,即a+b=1,∴=+=+(a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当a=2b时取等号,则的最小值为9.

15.C　[解析] 设总造价为y元,污水池的长为x米,则宽为 米,总造价y=×200+2×250·+80×400=400+32 000≥400×2+32 000=56 000(元),当且仅当x=,即x=30时等号成立,此时污水池的宽为 米.

16.　[解析] ∵a是2-b与-3b的等差中项,∴2a=2-b-3b,可得a+2b=1.当ab<0时,<0,当ab>0时,>0,∴要使有最大值,则ab>0.不妨设a>0,b>0(a<0,b<0时情况一样),则===≤==,当且仅当=,即a=b=时等号成立,故的最大值为.