第4节　数系的扩充与复数的引入

最新考纲　1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

知 识 梳 理

1.复数的有关概念

2.复数的几何意义

复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.

3.复数的运算

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

(4)除法：＝＝

＝(c＋di≠0).

[常用结论与微点提醒]

1.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.

2.(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)

(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　　)

(3)原点是实轴与虚轴的交点.(　　)

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　)

解析　(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　)

A.－3   B.－2   C.2   D.3

解析　因为(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，所以a－2＝2a＋1，解得a＝－3.

答案　A

3.(2017·全国Ⅲ卷)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　　)

A.第一象限   B.第二象限   C.第三象限   D.第四象限

解析　由题意，得z＝－1－2i，其在复平面内所对应的点位于第三象限.

答案　C

4.(2017·江苏卷)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________.

解析　z＝(1＋i)(1＋2i)＝－1＋3i，所以|z|＝＝.

答案　

5.(选修1－2P63B1改编)已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.

解析　∵＝＝＝＝2－i，

∴z＝2＋i.

答案　2＋i

考点一　复数的有关概念

【例1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)

A.i(1＋i)2    B.i2(1－i)

C.(1＋i)2    D.i(1＋i)

(2)(2017·全国Ⅲ卷)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝(　　)

A.   B.   C.   D.2

(3)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于(　　)

A.3，－2   B.3，2   C.3，－3   D.－1，4

解析　(1)由(1＋i)2＝2i为纯虚数知选C.

(2)z＝＝＝＝i＋1，则|z|＝＝.

(3)(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－2.

答案　(1)C　(2)C　(3)A

规律方法　1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.

【训练1】 (1)(2018·广东名校联考)已知z＝(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部为(　　)

A.－i   B.i   C.－1   D.1

(2)(2017·全国Ⅰ卷)设有下面四个命题

p1：若复数z满足∈R，则z∈R；

p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；

p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；

p4：若复数z∈R，则∈R.

其中的真命题为(　　)

A.p1，p3   B.p1，p4   C.p2，p3   D.p2，p4

解析　(1)∵z＝＝＝－i，则＝i，则的虚部为1.

(2)p1：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝∈R，得到b＝0，所以z∈R，故p1正确；

p2：若z2＝－1，满足z2∈R，而z＝±i，不满足z∈R，故p2不正确；

p3：若z1＝1，z2＝2，则z1z2＝2，满足z1z2∈R，而它们实部不相等，不是共轭复数，故p3不正确；

p4：因复数z∈R，所以z的虚部为0，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确.

答案　(1)D　(2)B

考点二　复数的几何意义

【例2】 (1)复数z＝i(1＋i)在复平面内所对应点的坐标为(　　)

A.(1，1)    B.(－1，－1)

C.(1，－1)    D.(－1，1)

(2)(2017·北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，1)    B.(－∞，－1)

C.(1，＋∞)    D.(－1，＋∞)

解析　(1)因为z＝i(1＋i)＝－1＋i，故复数z＝i(1＋i)在复平面内所对应点的坐标为(－1，1).

(2)(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i的对应点在第二象限，则∴a<－1.

答案　(1)D　(2)B

规律方法　1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)＝(a，b).

2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

【训练2】 (1)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　)

A.E   B.F   C.G   D.H

(2)(2016·北京卷)设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.

解析　(1)由题图知复数z＝3＋i，

∴＝＝＝＝2－i.

∴表示复数的点为H.

(2)(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由已知得a＋1＝0，解得a＝－1.

答案　(1)D　(2)－1

考点三　复数的运算

【例3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)＝(　　)

A.1＋2i   B.1－2i   C.2＋i   D.2－i

(2)i为虚数单位，i607的共轭复数为(　　)

A.i   B.－i   C.1   D.－1

(3)(2017·全国Ⅱ卷)(1＋i)(2＋i)＝(　　)

A.1－i   B.1＋3i   C.3＋i   D.3＋3i

解析　(1)＝＝2－i.

(2)因为i607＝(i2)303·i＝－i，－i的共轭复数为i.

(3)由题意(1＋i)(2＋i)＝2＋3i＋i2＝1＋3i.

答案　(1)D　(2)A　(3)B

规律方法　复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.

【训练3】 (1)(2017·山东卷)已知a∈R，i是虚数单位.若z＝a＋i，z·＝4，则a＝(　　)

A.1或－1    B.或－

C.－    D.

(2)＋＝________.

解析　(1)由已知得(a＋i)(a－i)＝4，∴a2＋3＝4，解得a＝±1.

(2)原式＝＋

＝i6＋＝－1＋i.

答案　(1)A　(2)－1＋i

基础巩固题组

(建议用时：25分钟)

一、选择题

1.(2016·四川卷)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝(　　)

A.0   B.2   C.2i   D.2＋2i

解析　(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.

答案　C

2.(2018·合肥质检)已知i为虚数单位，则＝(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　＝＝.

答案　D

3.(2018·山西康杰中学、临汾一中等五校联考)设复数z＝－2＋i，则复数z＋的虚部为(　　)

A.   B.i   C.   D.i

解析　z＋＝－2＋i＋＝－2－＋i＝－＋i.

答案　A

4.(2018·石家庄质检)在复平面中，复数对应的点在(　　)

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

解析　因为＝＝＝＝－i，复数对应的点为，在第四象限.

答案　D

5.(2017·山东卷)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝(　　)

A.－2i   B.2i   C.－2   D.2

解析　由zi＝1＋i，得z＝＝1－i，

∴z2＝(1－i)2＝－2i.

答案　A

6.(2017·山西四校联考)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是(　　)

A.－2   B.－1   C.0   D.

解析　∵＝＝－i＝a＋bi，

∴∴lg(a＋b)＝lg 1＝0.

答案　C

7.(2017·北京东城综合测试)若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为(　　)

A.－1   B.0   C.1   D.2

解析　因为复数(m2－m)＋mi为纯虚数，所以解得m＝1.

答案　C

8.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)

A.1   B.   C.   D.2

解析　由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi⇒⇒所以|x＋yi|＝＝.

答案　B

二、填空题

9.复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________.

解析　(1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5i，所以z的实部为5.

答案　5

10.(2017·天津卷)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________.

解析　＝＝＝－i为实数，则＝0，a＝－2.

答案　－2

11.若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.

解析　＝＝[(3－b)＋(3＋b)i]＝＋i.

∴解得∴a＋b＝3.

答案　3

12.(2017·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.

解析　由已知(a＋bi)2＝3＋4i.

即a2－b2＋2abi＝3＋4i.

从而有解得则a2＋b2＝5，ab＝2.

答案　5　2

能力提升题组

(建议用时：10分钟)

13.(2018·濮阳一模)计算＋＝(　　)

A.－2i    B.0

C.2i    D.2

解析　∵＝＝＝i，＝－i，

∴＋＝(i4)504·i＋[(－i)4]504·(－i)＝i－i＝0.

答案　B

14.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)

A.若|z1－z2|＝0，则1＝2

B.若z1＝2，则1＝z2

C.若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2

D.若|z1|＝|z2|，则z＝z

解析　A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故1＝2，成立；

B中，z1＝2，则1＝z2成立；C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z1·1＝z2·2，C正确；D不一定成立，如z1＝1＋i，z2＝2，

则|z1|＝2＝|z2|，但z＝－2＋2i，z＝4，z≠z.

答案　D

15.(2018·黄山模拟改编)复数z＝(a＋1)＋(a2－3)i(i为虚数单位)，若z<0，则实数a的值是________.

解析　由题意得解得a＝－.

答案　－

16.若1－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一个解，则p＋q＝________.

解析　依题意得(1－i)2＋2p(1－i)＋q＝(2p＋q)－2(p＋1)i＝0，即解得所以p＋q＝1.

答案　1