2021届山东新高考物理一轮复习讲义：第2章第3节　共点力的平衡

第3节　共点力的平衡

一、物体的受力分析

1．定义

把指定物体(研究对象)在特定的物理环境中受到的所有外力都找出来，并画出受力示意图的过程。

2．受力分析的一般顺序

(1)首先分析场力(重力、电场力、磁场力)。

(2)其次分析接触力(弹力、摩擦力)。

(3)最后分析其他力。

(4)画出受力分析示意图(选填“示意图”或“图示”)。

二、共点力的平衡

1．平衡状态

物体处于静止状态或匀速直线运动状态。

2．平衡条件

F合＝0或者

如图甲所示，小球静止不动，如图乙所示，物体匀速运动。

甲　　　　　　　　　乙

则小球F合＝0；物块Fx＝0，Fy＝0。

3．平衡条件的推论

(1)二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反。

(2)三力平衡：物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与另外两个力的合力大小相等，方向相反，并且这三个力的矢量可以形成一个封闭的矢量三角形。

(3)多力平衡：物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与另外几个力的合力大小相等，方向相反。

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)对物体受力分析时，只能画该物体受到的力，其他物体受到的力不能画在该物体上。               (√)

(2)物体沿光滑斜面下滑时，受到重力、支持力和下滑力的作用。                 s(×)

(3)加速度等于零的物体一定处于平衡状态。 (√)

(4)速度等于零的物体一定处于平衡状态。 (×)

(5)若物体受三个力F1、F2、F3处于平衡状态，若将F1转动90°时，三个力的合力大小为F1。                            (√)

2．(人教版必修2P91T1改编)如图所示，质量为m的光滑圆球，在细线和墙壁的作用下处于静止状态，重力加速度为g，细线与竖直墙壁的夹角为30°，则细线对小球的拉力大小为(　　)

A.   B．

C．mg   D．

[答案]　A

3．(鲁科版必修1P97T2，改编)(多选)如图所示，水平地面上的物体A，在斜向上的拉力F的作用下，向右做匀速运动，则下列说法中正确的是(　　)

A．物体A可能只受到三个力的作用

B．物体A一定受到四个力的作用

C．物体A受到的滑动摩擦力大小为Fcos θ

D．物体A对水平面的压力大小可能为Fsin θ

BCD　[物体水平向右做匀速运动，合力必为零，所以必受水平向左的摩擦力，且有f＝Fcos θ，因滑动摩擦力存在，地面一定对物体A有竖直向上的支持力，且有N＝mg－Fsin θ，若重力mg＝2Fsin θ，则A对水平面的压力大小为Fsin θ，所以选项B、C、D正确，A错误。]

4．(人教版必修1P84T7改编)如图所示，水平面上A、B两物块的接触面水平，二者叠放在一起，在作用于B上的水平恒定拉力F的作用下沿地面向右做匀速运动，某时刻撤去力F后，二者仍不发生相对滑动，关于撤去F前后，下列说法正确的是(　　)

A．撤去F之前A受3个力作用

B．撤去F之前B受到4个力作用

C．撤去F前后，A的受力情况不变

D．A、B间的动摩擦因数μ1不小于B与地面间的动摩擦因数μ2

[答案]　D

物体的受力分析　

1.(2019·开封检测)如图所示，物体A靠在竖直的墙面C上，在竖直向上的力F作用下，A、B物体保持静止，则物体A受力分析示意图正确的是(　　)

A　　　 　　B　　　　　C　　　　　 D

A　[以A、B组成的整体为研究对象，水平方向不可能受力，故整体和墙面C间没有弹力，故A与墙面C间无摩擦力，以A物体为研究对象，A受重力，B对A的垂直接触面的弹力和平行接触面的摩擦力，故选项A正确。]

2．(2019·天津南开中学月考)如图所示，固定的斜面上叠放着A、B两木块，木块A与B的接触面水平，水平力F作用于木块A，使木块A、B保持静止，且F≠0。则下列描述正确的是(　　)

A．B可能受到3个或4个力作用

B．斜面对木块B的摩擦力方向可能沿斜面向下

C．A对B的摩擦力可能为零

D．A、B整体不可能受三个力作用

B　[对B受力分析，木块B受重力、A对B的压力、A对B水平向左的静摩擦力、斜面对B垂直于斜面向上的支持力、斜面对B可能有静摩擦力(当A对B向左的静摩擦力平行斜面方向的分力与木块A对B的压力与木块B重力的合力沿斜面方向的分力平衡时，斜面对B没有静摩擦力)作用，故B受4个力或者5个力作用，故A错误；当A对B向左的静摩擦力平行斜面方向的分力大于木块A对B的压力与木块B重力的合力沿斜面方向的分力时，木块B有上滑趋势，此时木块B受到平行斜面向下的静摩擦力，故B正确；对木块A受力分析，受水平力、重力、B对A的支持力和静摩擦力，根据平衡条件，B对A的静摩擦力与水平力F平衡，根据牛顿第三定律，A对B的摩擦力水平向左，大小为F，故C错误；对A、B整体受力分析，受重力、斜面对整体的支持力、水平力，可能有静摩擦力(当推力沿斜面方向的分力与A、B整体重力沿斜面方向的分力平衡时，斜面对A、B整体的静摩擦力为零)，所以A、B整体可能受三个力作用，故D错误。]

受力分析的四个步骤

共点力作用下物体的静态平衡　

1．平衡中的研究对象选取

(1)单个物体；(2)能看成一个物体的系统；(3)一个结点。

2．静态平衡问题的解题“五步骤”

　(一题多解)(多选)如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。重力加速度为g，下列关系式正确的是(　　)

A．F＝   B．F＝mgtan θ

C．FN＝   D．FN＝mgtan θ

思路点拨：解此题的关键是选取小滑块为研究对象，作好受力分析，根据平衡条件求解。

[解析]　方法一：合成法

滑块受力如图甲，由平衡条件知＝tan θ，

所以F＝，FN＝。

方法二：效果分解法

将重力按产生的效果分解，如图乙所示，

F＝G2＝，FN＝G1＝。

方法三：正交分解法

将滑块受的力沿水平、竖直方向分解，如图丙所示，

mg＝FNsin θ，F＝FNcos θ，

联立解得F＝，FN＝。

方法四：力的三角形定则法

滑块受到的三个力可组成封闭的三角形，如图丁所示，则由几何关系可得F＝，FN＝。

[答案]　AC

处理平衡问题的三个技巧

(1)物体受三个力平衡时，利用力的分解法或合成法比较简单。

(2)物体受四个以上的力作用时，一般要采用正交分解法。

(3)正交分解法建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合，需要分解的力尽可能少。

1．(2019·福建泉港一中期末)如图所示，细绳上端固定于天花板上的A点，细绳的下端挂一质量为m的物体P，用力F作用于细绳上的O点；使细绳偏离竖直方向的夹角为α，且保持物体平衡，此时F与水平方向的夹角为β，若β＝α，重力加速度为g，则F的大小等于(　　)

A．mgcos α   B．mgsin α

C．mgtan α   D．

B　[对结点O受力分析如图，由于β＝α，则F与AO垂直，O点受三个拉力处于平衡，根据几何关系知F＝mgsin α。故B正确，A、C、D错误。]

2．(2019·吉林省实验中学模拟)如图所示，物块A和滑环B用绕过光滑定滑轮的不可伸长的轻绳连接，滑环B套在与竖直方向成θ＝37°的粗细均匀的固定杆上，连接滑环B的绳与杆垂直并在同一竖直平面内，滑环B恰好不能下滑，滑环和杆间的动摩擦因数μ＝0.4，设滑环和杆间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则物块A和滑环B的质量之比为(　　)

A.   B． 

C.   D．

A　[对A受力分析，根据平衡条件有T＝mAg，对B受力分析，如图所示。根据平衡条件有mBgcos θ＝f，T＝N＋mBgsin θ，由题可知，滑环B恰好不能下滑，则所受的静摩擦力沿杆向上且达到最大值，有f＝μN，联立解得＝，故A正确，B、C、D错误。]

3.(2019·河北五个一名校联盟一诊)如图所示，竖直放置的光滑圆环，顶端D点处固定一定滑轮(大小忽略)，圆环两侧套着质量分别为m1、m2的两小球A、B，两小球用轻绳绕过定滑轮相连，并处于静止状态，A、B连线过圆心O点，且与右侧绳的夹角为θ。则A、B两小球的质量之比为(　　)

A．tan θ   B．

C.   D．sin2θ

B　[对两小球分别受力分析，作出力的矢量三角形，如图所示。

对小球A，可得＝；对小球B，可得＝；联立解得＝，故选B。]

共点力作用下物体的动态平衡　

1．动态平衡：“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力，是动态力，力的大小或方向发生变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡。在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。

2．分析动态平衡问题的方法

　(一题多法)(多选)如图所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　)

A．MN上的张力逐渐增大

B．MN上的张力先增大后减小

C．OM上的张力逐渐增大

D．OM上的张力先增大后减小

题眼点拨：(1)“缓慢拉起”说明重物处于动态平衡；

(2)“保持夹角α不变”说明OM与MN上的张力大小和方向均变化，但其合力不变。

[解析]　法一：解析法

设重物的质量为m，绳OM中的张力为TOM，绳MN中的张力为TMN。开始时，TOM＝mg，TMN＝0。由于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状态，两绳张力的合力与重物的重力mg等大、反向。

如图所示，已知角α不变，在绳MN缓慢拉起的过程中，角β逐渐增大，则角(α－β)逐渐减小，但角θ不变，在三角形中，利用正弦定理得

＝，

(α－β)由钝角变为锐角，sin(α－β)先增大后减小，则TOM先增大后减小，选项D正确；

同理知＝，在β由0变为的过程中，TMN一直增大，选项A正确。

法二：图解法

重物受到重力mg、OM绳的拉力FOM、MN绳的拉力FMN共三个力的作用。缓慢拉起过程中任一时刻可认为是平衡状态，三力的合力恒为0。如图所示，由三角形定则得一首尾相接的闭合三角形，由于α>且不变，则三角形中FMN与FOM的交点在一个优弧上移动，由图可以看出，在OM被拉到水平的过程中，绳MN中拉力一直增大且恰好达到最大值，绳OM中拉力先增大后减小，故A、D正确，B、C错误。

 [答案]　AD

　解析法求解动态平衡问题

1．(2019·广东“六校”联考)为迎接新年，小明同学给家里墙壁粉刷涂料，涂料滚由滚筒与轻杆组成，示意图如图所示．小明同学缓缓上推涂料滚，不计轻杆的重力以及滚筒与墙壁的摩擦力。轻杆对涂料滚筒的推力为F1，墙壁对涂料滚筒的支持力为F2，涂料滚的重力为G，以下说法中正确的是(　　)

A．F1增大   B．F1先减小后增大

C．F2增大   D．F2减小

D　[本题考查三力平衡问题。以涂料滚为研究对象，分析受力情况，作出受力图如图所示。设轻杆与墙壁间的夹角为α，根据平衡条件得F1＝，F2＝Gtan α；由题知，轻杆与墙壁间的夹角α减小，cos α增大，tan α减小，则F1、F2均减小。故选D。]

　图解法求解动态平衡问题

2.(2019·衡水检测)如图所示，有一质量不计的杆AO，长为R，可绕A自由转动。用绳在O点悬挂一个重为G的物体，另一根绳一端系在O点，另一端系在圆弧形墙壁上的C点。当点C由图示位置逐渐向上沿圆弧CB移动过程中(保持OA与墙面夹角θ不变)，OC绳所受拉力的大小变化情况是(　　)

A．逐渐减小   B．逐渐增大

C．先减小后增大   D．先增大后减小

C　[对物体受力分析，物体受力平衡，则拉力等于重力G；故竖直绳的拉力不变；再对O点分析，O受绳的拉力、OA的支持力及OC的拉力而处于平衡；受力分析如图所示；将F和OC绳上的拉力合成，其合力与G大小相等，方向相反，则在OC绳上移的过程中，平行四边形的对角线保持不变，平行四边形发生图中所示变化，则由图可知OC绳的拉力先减小后增大，在图中D点时拉力最小，故C正确。]

　相似三角形法求解动态平衡问题

3.如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙之间用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力F将重物P缓慢向上拉，在AC杆达到竖直状态前(　　)

A．BC绳中的拉力FT越来越大

B．BC绳中的拉力FT越来越小

C．AC杆中的支持力FN越来越大

D．AC杆中的支持力FN越来越小

B　[对C点进行受力分析，如图(a)所示，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如图(b)所示的闭合三角形。很容易发现，这三个力与△ABC的三边始终平行，则＝＝，其中G、、均不变，逐渐减小，则由上式可知，FN不变，FT变小。]

(a)　　　　  　(b)

平衡中的临界、极值问题　

1．临界问题

当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。

2．极值问题

平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。

3．解决极值问题和临界问题的方法

(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。

(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。

(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用图解法进行动态分析，确定最大值与最小值。

　如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时，物体恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：

(1)物体与斜面间的动摩擦因数；

(2)这一临界角θ0的大小。

思路点拨：解此题的关键是理解“不能使物体沿斜面向上滑行”的条件，并正确应用数学分析法求解。

[解析]　(1)如图所示，未施加力F时，对物体受力分析，由平衡条件得mgsin 30°＝μmgcos 30°

解得μ＝tan 30°＝。

(2)设斜面倾角为α时，受力情况如图所示，由平衡条件得：

Fcos α＝mgsin α＋F′f

F′N＝mgcos α＋Fsin α

F′f＝μF′N

解得F＝

当cos α－μsin α＝0，即tan α＝时，F→∞，即“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，临界角θ0＝α＝60°。

[答案](1)　(2)60°

四步法解决临界极值问题

1．(多选)如图所示，质量为m＝5 kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝，g取10 m/s2，当物体做匀速直线运动时，下列说法正确的是(　　)

A．牵引力F的最小值为25 N

B．牵引力F的最小值为 N

C．牵引力F与水平面的夹角为45°

D．牵引力F与水平面的夹角为30°

AD　[物体受重力G、支持力N、摩擦力f和拉力F的共同作用，将拉力沿水平方向和竖直方向分解，如图所示，由共点力的平衡条件可知，在水平方向上有Fcos θ－μN＝0，在竖直方向上有Fsin θ＋N－G＝0，联立解得F＝，设tan Φ＝μ，则cos Φ＝，所以F＝·，当cos(θ－Φ)＝1，即θ－Φ＝0时，F取到最小值，Fmin＝＝25 N，而tan Φ＝μ＝，所以Φ＝30°，θ＝30°。]

2.如图所示，两个完全相同的球，重力大小均为G，两球与水平地面间的动摩擦因数都为μ，且假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，一根轻绳两端固定在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为α。问当F至少为多大时，两球将会发生滑动？

[解析]　对O点受力分析，如图甲所示，由平衡条件得：

甲　　　　　　　乙

F1＝F2＝

对任一球(如右球)受力分析如图乙所示，球发生滑动的临界条件是：

F′2sin ＝μFN

又F′2cos ＋FN＝G，F′2＝F2

联立解得：F＝。

[答案]