人教版2020年九年级（上）期中复习训练卷（二） 解析版

人教版2020年九年级（上）期中复习训练卷（二）
一．选择题
1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣2x+1＝x2+5 B．ax2+bx+c＝0
C．x2+1＝﹣8 D．2x2﹣y﹣1＝0
2．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A．B．C．D．
3．方程（x+1）2＝4的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝﹣2
4．抛物线y＝（x﹣2）2+2的顶点坐标为（　　）
A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（2，2） D．（﹣2，﹣2）
5．如图，在正方形网格中，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是（　　）

A．顺时针旋转90° B．逆时针旋转90°
C．顺时针旋转45° D．逆时针旋转45°
6．如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＞﹣ B．a≥﹣ C．a≥﹣且a≠0 D．a＞且a≠0
7．抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
9．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AB＝1，∠B＝60°，则CD的长为（　　）

A．0.5 B．1.5 C． D．1
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＝0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
11．点A（2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标是　 　．
12．已知抛物线y＝（m+1）x2开口向上，则m的取值范围是　 　．
13．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表：
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
y
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
12
利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是　 　．
14．如图，△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于　 　．

15．某商品原售价300元，经过连续两次降价后售价为260元，设平均每次降价的百分率为x，则满足x的方程是　 　．
16．二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点交于A、B两点，交y轴于点C，则△OAC的面积为　 　．
17．抛物线y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为　 　．
三．解答题
18．选择合适的方法解下列方程：
（1）4（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0；
（2）3x2+2x﹣5＝0；
19．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的三角形，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，连接BB′；
（2）在（1）所画图形中，∠B′BC的度数是　 　．

20．已知二次函数y＝x2﹣kx+k﹣5
（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为x＝1，求它的解析式．
21．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：
（1）当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利多少元？
（2）在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？
22．如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，AB＝AD．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）如果∠AEC＝75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．

23．如图，在一次高尔夫球比赛中，小明从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度10m时，球移动的水平距离为8m．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，OC＝12m．
（1）求点A的坐标；
（2）求球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．

24．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P是抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求C、D两点坐标及△BCD的面积；
（3）若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD＝S△BCD，求点P的坐标．

25．如图1，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD＝AE，

（1）求证：∠B＝∠C；
（2）若∠BAC＝90°，把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接MN，PM，PN．
①判断△PMN的形状，并说明理由；
②把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，试问△PMN面积是否存在最大值；若存在，求出其最大值．若不存在，请说明理由．











参考答案
一．选择题
1．解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；
B、a＝0时是一元一次方程，故B不符合题意；
C、是一元二次方程，故C符合题意；
D、是二元二次方程，故D不符合题意；
故选：C．
2．解：A、是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故错误；
C、不是中心对称图形．故正确；
D、是中心对称图形．故错误．
故选：C．
3．解：（x+1）2＝4
则x+1＝±2，
解得：x1＝﹣1+2＝1，x2＝﹣1﹣2＝﹣3．
故选：C．
4．解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+2，
∴抛物线y＝（x﹣2）2+2的顶点坐标为：（2，2），
故选：C．
5．解：根据图形可知：将△ABC绕点A逆时针旋转90°可得到△ADE．
故选：B．
6．解：依题意列方程组
，
解得a≥﹣且a≠0．
故选：C．
7．解：抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
8．解：A、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴x＝﹣＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确．
B、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴＝﹣＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误，
D、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
故选：A．
9．解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴BC＝2AB＝2，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，
∴AD＝AB，
而∠B＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝1，
∴CD＝BC﹣BD＝2﹣1＝1．
故选：D．
10．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵b＝2a，
∴2a﹣b＝0，所以③错误；
∵抛物线开口向下，x＝﹣1是对称轴，所以x＝﹣1对应的y值是最大值，
∴a﹣b+c＞2，所以④正确．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵点A（2，1）与点B关于原点对称，
∴点B的坐标是（﹣2，﹣1），
故答案为：（﹣2，﹣1）．
12．解：由 题意可知：m+1＞0，
∴m＞﹣1；
故答案为：m＞﹣1
13．解：从表格可以看出，当x＝﹣1或3时，y＝0；
因此当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．
故答案为x＜﹣1或x＞3．
14．解：∵DC∥AB，
∴∠ACD＝∠CAB＝65°，
由旋转的性质可知，AD＝AC，∠DAE＝∠CAB＝65°，
∴∠ADC＝∠CAB＝65°，
∴∠CAD＝50°，
∴∠CAE＝15°，
∴∠BAE＝50°，
故答案为：50°．
15．解：第一次降价后的价格为300（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，
为300（1﹣x）×（1﹣x），则列出的方程是300（1﹣x）2＝260，
故答案为：300（1﹣x）2＝260．
16．解：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴与x轴的交点的坐标为A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴与y轴的交点的坐标为C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，
故答案为6．
17．解：∵y＝2x2﹣bx+3，对称轴是直线x＝1，
∴＝1，即﹣＝1，解得b＝4．
三．解答题
18．解：（1）∵4（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（4x﹣12﹣x）＝0，即（x﹣3）（3x﹣12）＝0，
则x﹣3＝0或3x﹣12＝0，
解得x1＝3，x2＝4；

（2）∵3x2+2x﹣5＝0，
∴（x﹣1）（3x+5）＝0，
则x﹣1＝0或3x+5＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣．
19．解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；


（2）∵∠BCB′＝90°，BC＝B′C，
∴∠B′BC＝45°，
故答案为：45°．
20．（1）证明：令y＝0，则x2﹣kx+k﹣5＝0，
∵△＝k2﹣4（k﹣5）＝k2﹣4k+20＝（k﹣2）2+16，
∵（k﹣2）2≥0，
∴（k﹣2）2+16＞0
∴无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点．

（2）解：∵对称轴为x＝，
∴k＝2，
∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
答：它的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
21．解：（1）每箱应降价x元，依据题意得总获利为：（120﹣x）（100+2x），
当x＝20时，（120﹣x）（100+2x）＝100×140＝14000元；

（2）要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价x元，依据题意列方程得，
（120﹣x）（100+2x）＝14400，
整理得x2﹣70x+1200＝0，
解得x1＝30，x2＝40；
∵要求每箱饮料获利大于80元，
∴x＝30
答：每箱应降价30元，可使每天销售饮料获利14400元．
22．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠B＝∠D，
∴△ABC≌△ADE．

（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC与AE是一组对应边，
∴∠CAE为旋转角，
∵AE＝AC，∠AEC＝75°，
∴∠ACE＝∠AEC＝75°，
∴∠CAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°．
23．解：（1）在Rt△ACO中，∠ACO＝90°，∠AOC＝30°，OC＝12，
∴AC＝OC•tan∠AOC＝12×＝4，
∴点A的坐标为（12，4）．
（2）∵顶点B的坐标为（8，10），
∴设球的飞行路线所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣8）2+10，
∵点O（0，0）在抛物线上，
∴0＝a×（0﹣8）2+10，解得：a＝﹣，
∴球的飞行路线所在抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣8）2+10＝﹣x2+x．
（3）令y＝﹣x2+x中x＝12，则y＝﹣×122+×12＝，
∵≠4，
∴点A不在球的飞行路线所在抛物线上．
故小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．

24．解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y＝a（x﹣1）2+4，
把点B（0，3）代入得，a+4＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
令y＝0，则0＝﹣（x﹣1）2+4，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴C（﹣1，0），D（3，0）；
∴CD＝4，
∴S△BCD＝CD×|yB|＝×4×3＝6；
（3）由（2）知，S△BCD＝CD×|yB|＝×4×3＝6；CD＝4，
∵S△PCD＝S△BCD，
∴S△PCD＝CD×|yP|＝×4×|yP|＝3，
∴|yP|＝，
∵点P在x轴上方的抛物线上，
∴yP＞0，
∴yP＝，
∵抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
∴＝﹣（x﹣1）2+4，
∴x＝1±，
∴P（1+，），或P（1﹣，）．
25．解：（1）∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠B＝∠C．
（2）①△PMN是等腰直角三角形，
理由：∵点P，M分别是CD，DE的中点，
∴PM＝CE，PM∥CE，
∵点N，M分别是BC，DE的中点，
∴PN＝BD，PN∥BD，
∵BD＝CE，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
∵PN∥BD，
∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN
＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC
＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC
＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，

②由①知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，
∴点D在AB的延长线上，
∴BD＝AB+AD＝14，
∴PM＝7，
∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝．
故答案为