人教版2020年九年级（上）期中复习训练卷（一） 解析版

人教版2020年九年级（上）期中复习训练卷（一）
一．选择题
1．以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．一元二次方程x2﹣4x﹣4＝0配方后可化为（　　）
A．（x﹣2）2＝4 B．（x﹣2）2＝8 C．（x﹣4）2＝4 D．（x﹣4）2＝8
3．关于x的方程x2+5x+m＝0的一个根为﹣2，则另一个根是（　　）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
4．由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（　　）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝4
C．其顶点坐标为（4，2）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
5．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥
6．如图，△OAB绕点O逆时针旋转90°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠AOD的度数为（　　）

A．55° B．45° C．40° D．35°
7．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（　　）
A．B．C．D．
8．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
9．方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
10．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（　　）

A．B．C．D．
二．填空题
11．点P（﹣1，2）关于坐标原点O的对称点坐标为　 　．
12．若二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　 　．
13．将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为　 　．
14．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为　 　．

15．如图，△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于　 　．

16．如图，△ABC是等边三角形，AB＝3，E在AC上且AE＝AC，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值是　 　．

17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ac＜0 ②2a+b＝0 ③4a+2b+c＞0 ④对任意实数x均有ax2+bx≥a+b，正确的结论序号为：　 　．

三．解答题
18．解方程
（1）3x2﹣5x+2＝0
（2）（x+1）（x+3）＝8
19．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，将△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．
（1）画出旋转后的△A1B1C1；
（2）分别写出A1，B1，C1的坐标．

20．小明遇到这样一个问题：已知：＝1．求证：b2﹣4ac≥0．
经过思考，小明的证明过程如下：
∵＝1，∴b﹣c＝a．∴a﹣b+c＝0．接下来，小明想：若把x＝﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），恰好得到a﹣b+c＝0．这说明一元二次方程ax2+bx+c＝0有根，且一个根是x＝﹣1．所以，根据一元二次方程根的判别式的知识易证：b2﹣4ac≥0．
根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目：
已知：＝﹣2．求证：b2≥4ac．请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程．
21．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2018年市政府共投资4亿元人民币建设了廉租房16万平方米，2020年计划投资9亿元人民币建设廉租房，若在近三年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若近三年内的建设成本不变，问2021年建设了多少万平方米廉租房？
22．（1）如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，试探索线段BC，DC，EC之间满足的等量关系，并证明你的结论．
（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．

23．如图，直线y＝﹣x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A，且经过点B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点C（m，﹣）在抛物线上，求m的值．
（3）根据图象直接写出一次函数值大于二次函数值时x的取值范围．

24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，
（1）AP＝　 　，BP＝　 　，BQ＝　 　；
（2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？
（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？

25．如图，抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）和B（5，0），交y轴负半轴与点C．点D为抛物线的顶点．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；
（3）在BC下方的抛物线上是否存在一点Q使得以Q，C，B，O为顶点的四边形被一条对角线分成面积相等的两部分？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．


















参考答案
一．选择题
1．解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：C．
2．解：x2﹣4x﹣4＝0，
x2﹣4x＝4，
x2﹣4x+4＝4+4，
（x﹣2）2＝8，
故选：B．
3．解：设方程的另一个根为n，
则有﹣2+n＝﹣5，
解得：n＝﹣3．
故选：B．
4．解：∵y＝3（x﹣4）2﹣2，
∴抛物线开口向上，故A不正确；
对称轴为x＝4，故B正确；
当x＝4时，y有最小值﹣2，故C不正确；
当x＞4时，y随x的增大而增大，故D不正确；
故选：B．
5．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜．
故选：A．
6．解：∵△OAB绕点O逆时针旋转90°到△OCD的位置，∠AOB＝45°，
∴△OAB≌△OCD，∠COA＝90°，
∴∠DOC＝∠AOB＝45°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝90°﹣45°＝45°，
故选：B．
7．解：A、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标﹣b大于零，故A正确；
B、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向上，顶点的纵坐标﹣b大于零，故B错误；
C、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+b的图象应该开口向上，故C错误；
D、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时抛物线y＝﹣ax2﹣b的顶点的纵坐标大于零，故D错误；
故选：A．
8．解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，
∴对称轴是x＝﹣1，
∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
于是y1＞y2＞y3．
故选：A．

9．解：由于△＞0，
∴x1+x2＝﹣3，
故选：C．
10．解：过A点作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，BH＝CH＝AH＝BC＝2，
当0≤x≤2时，如图1，

∵∠B＝45°，
∴PD＝BD＝x，
∴y＝•x•x＝x2；
当2＜x≤4时，如图2，

∵∠C＝45°，
∴PD＝CD＝4﹣x，
∴y＝•（4﹣x）•x＝﹣x2+2x，
故选：B．
二．填空题
11．解：点P（﹣1，2）关于坐标原点O的对称点坐标为：（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
12．解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，
∴b2﹣4ac＝36﹣4×k×3＝36﹣12k≥0，且k≠0，
解得：k≤3，且k≠0，
则k的取值范围是k≤3，且k≠0，
故答案为：k≤3，且k≠0．
13．解：将y＝x2﹣2x+3化为顶点式，得y＝（x﹣1）2+2．
将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣1﹣3）2+2+1，即y＝（x﹣4）2+3．
故答案为y＝（x﹣4）2+3．
14．解：∵道路的宽应为x米，
∴由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝77，
故答案为：（12﹣x）（8﹣x）＝77．
15．解：∵DC∥AB，
∴∠ACD＝∠CAB＝65°，
由旋转的性质可知，AD＝AC，∠DAE＝∠CAB＝65°，
∴∠ADC＝∠CAB＝65°，
∴∠CAD＝50°，
∴∠CAE＝15°，
∴∠BAE＝50°，
故答案为：50°．
16．解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE＝∠EHF＝90°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠EDG+∠DEG＝90°＝∠HEF+∠DEG，
∴∠EDG＝∠FEH，
又∵EF＝DE，
∴△DEG≌△EFH（AAS），
∴HF＝EG，
∵△ABC是等边三角形，AB＝3，AE＝AC，
∴AE＝2，CE＝1，∠AEH＝∠CEG＝30°，
∴CG＝CE＝，AP＝AE＝1，
∴EG＝CG＝，
∴HF＝，
∴当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为个单位，
∴当AF⊥EG时，AF的最小值为AP+HF＝1+，
故答案为：1+．

17．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，故①正确．
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a＝﹣b，
∴b+2a＝0，故②正确；
根据图象知道
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误，
∵当x＝1时，y最小＝a+b+c，
∴ax2+bx+c≥a+b+c，
∴ax2+bx≥a+b，故④正确．
∴正确的结论序号为：①②④，
故答案为：①②④．
三．解答题
18．解：（1）分解因式得：（3x﹣2）（x﹣1）＝0，
3x﹣2＝0，x﹣1＝0，
x1＝，x2＝1；

（2）整理得：x2+4x﹣5＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
x+5＝0，x﹣1＝0，
x1＝﹣5，x2＝1．
19．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）A1（﹣5，﹣3），B1，（﹣1，﹣2），C1（﹣3，﹣1）．

20．证明：∵＝﹣2，
∴4a+c＝﹣2b，
∴4a+2b+c＝0．
∵把x＝2代入一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），恰好得到4a+2b+c＝0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有根，且一个根是x＝2，
∴△＝b2﹣4ac≥0，即b2≥4ac．
21．解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，
依题意，得：4（1+x）2＝9，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
答：每年市政府投资的增长率为50%．
（2）9×（1+50%）×（16÷4）＝54（万平方米）．
答：2021年建设了54万平方米廉租房．
22．解：（1）BD＝DC+EC，
理由如下：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴EC＝BD，
∴BC＝BD+CD＝CE+CD；
（2）BD2+CD2＝2AD2，
理由如下：连接CE，

由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，
∴∠DCE＝90°，
∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，
又AD＝AE，
∴BD2+CD2＝2AD2．
23．解：（1）当y＝0时，﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，则A（﹣2，0），
当x＝0时，y＝﹣x﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），
设抛物线解析式为y＝a（x+2）2，
把B（0，﹣2）代入得a（0+2）2＝﹣2，解得a＝﹣，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2；
（2）把点C（m，﹣）代入y＝﹣（x+2）2得﹣（m+2）2＝﹣，
解得m1＝1，m2＝﹣5；
（3）x＜﹣2或x＞0．
24．解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm，
故答案为：2tcm，（12﹣2t）cm，4tcm；

（2）△PBQ的面积S＝
＝（12﹣2t）×4t
＝﹣4t2+24t＝32，
解得：t＝2或4，
即当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；

（3）S＝﹣4t2+24t
＝﹣4（t﹣3）2+36，
所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．
25．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣4x﹣5，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5①；

（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣5），点D（2，﹣9），延长BD交y轴于点H，

设直线BD的表达式为y＝mx+n，则，解得，
故直线BD的表达式为y＝3x﹣15，故点H（0，﹣15）；
①当点P在点B的右侧时，如下图，
∵OB＝OC，故∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠PBH＝∠PBC﹣∠CBD＝135°﹣∠CBD，∠PCH＝∠BCH﹣PCB∠＝135°﹣∠PCB，
而∠PCB＝∠CBD，
∴∠PBH＝∠PCH，
而BC＝BC，∠PCB＝∠CBD，
∴△BCP≌△CBH（AAS），
∴PB＝CH，
而OB＝OC，
故OP＝OH＝15，
故点P的坐标为（15，0）；
②当点P（P′）在点B的左侧时，
∵∠PCB＝∠CBD，
∴P′C∥BD，
故设直线P′C的表达式为y＝3x+t，将点C的坐标代入上式并解得t＝﹣5，
故直线P′C的表达式为y＝3x﹣5，
令y＝3x﹣5＝0，解得x＝，
故点P的坐标为（，0）；
综上，点P的坐标为（15，0）或（，0）；

（3）存在，理由：
以Q，C，B，O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分，这条对角线只能是OQ，
而OB＝OC，故OQ是∠BOC的平分线，
即OQ的函数表达式为：y＝﹣x…②，
联立①②并解得：x＝（舍去负值），
故点Q（，），
当被BC平分时，由S△BCQ＝，则有+﹣＝，
解得t＝，
∴Q（，）或（，）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（，）或（，）或（，）．