2021高考数学一轮复习学案：第四章高考专题突破二高考中的三角函数与解三角形问题

高考专题突破二　高考中的三角函数与解三角形问题

三角函数的图象和性质

例1　(2019·山东省淄博实验中学、淄博五中月考)已知向量m＝(2cos ωx，－1)，n＝(sin ωx－cos ωx,2)，其中ω>0，函数f (x)＝m·n＋3，若函数f (x)图象的两个相邻对称中心的距离为.

(1)求函数f (x)的单调递增区间；

(2)将函数f (x)的图象先向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数g(x)的图象，当x∈时，求函数g(x)的值域．

解　(1)由题意可得f (x)＝m·n＋3

＝2cos ωx(sin ωx－cos ωx)－2＋3

＝2sin ωxcos ωx－(2cos2ωx－1)

＝sin 2ωx－cos 2ωx

＝sin.

由题意知，T＝＝π，得ω＝1，

则f (x)＝sin.

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

∴f (x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)将f (x)的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，

纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，

得到g(x)＝sin的图象．

∵x∈，∴4x＋∈，

∴－1≤sin≤，

故函数g(x)的值域为[－，1]．

思维升华　三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解．

跟踪训练1　设f (x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.

(1)求函数f (x)的单调递增区间；

(2)把函数y＝f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．

解　(1)由f (x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2

＝2sin2x－(1－2sin xcos x)

＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1

＝sin 2x－cos 2x＋－1

＝2sin＋－1.

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

所以f (x)的单调递增区间是(k∈Z).

(2)由(1)知f (x)＝2sin＋－1，

把y＝f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

得到y＝2sin＋－1的图象，

再把得到的图象向左平移个单位长度，

得到y＝2sin x＋－1的图象，

即g(x)＝2sin x＋－1.

所以g＝2sin ＋－1＝.

例2　(12分)(2019·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin ＝bsin A.

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

规范解答

解　(1)由题设及正弦定理，

得sin Asin ＝sin Bsin A．[2分]

因为sin A≠0，所以sin ＝sin B.

由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos ，[3分]

故cos ＝2sin cos .[5分]

因为cos ≠0，故sin ＝，因此B＝60°.[6分]

(2)由题设及(1)知△ABC的面积

S△ABC＝acsin B＝a.[8分]

由正弦定理，得a＝＝＝＋.[10分]

由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.

所以0°<120°－C<90°，所以30°<C<90°，

故<a<2，从而<S△ABC<.

因此，△ABC面积的取值范围是.[12分]

第一步：利用正弦定理将边角关系转化为角之间的关系；

第二步：通过角之间的关系sin ＝sin B转化为cos ＝sin B，进而求出B；

第三步：将三角形的面积转化为只含一个变量的函数S＝a；

第四步：利用正弦定理把a转化为a＝＋，然后通过题中条件求出C的范围，进而得出a的范围，最后得出面积S的范围．

跟踪训练2　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.

(1)求角A和边长c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

解　(1)∵sin A＋cos A＝0，∴tan A＝－，

又0<A<π，∴A＝，

由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，

即28＝4＋c2－2×2c×，

即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4，故c＝4.

(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C，

∴16＝28＋4－2×2×2×cos C，

∴cos C＝，∴CD＝＝＝，∴CD＝BC，

∴S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×4×2×＝2，

∴S△ABD＝S△ABC＝.

三角函数和解三角形的综合应用

例3　(2019·洛阳模拟)如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝，半径为4，若点C是上的一动点(不与点A，B重合)．

(1)若弦BC＝4(－1)，求的长；

(2)求四边形OACB面积的最大值．

解　(1)在△OBC中，BC＝4(－1)，OB＝OC＝4，

所以由余弦定理得cos∠BOC＝＝，

所以∠BOC＝，

于是的长为×4＝.

(2)设∠AOC＝θ，θ∈，则∠BOC＝－θ，

S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC

＝×4×4sin θ＋×4×4·sin

＝24sin θ＋8cos θ＝16sin.

由于θ∈，所以θ＋∈，

当θ＝时，四边形OACB的面积取得最大值16.

思维升华　三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响．

跟踪训练3　已知函数f (x)＝4sin x·cos＋，x∈.

(1)求函数f (x)的值域；

(2)已知锐角△ABC的两边长a，b分别为函数f (x)的最小值与最大值，且△ABC的外接圆半径为，求△ABC的面积．

解　(1)f (x)＝4sin x＋

＝2sin xcos x－2sin2x＋

＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.

∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，

∴≤sin≤1，

∴函数f (x)的值域为[，2]．

(2)依题意a＝，b＝2，△ABC的外接圆半径r＝，

∴sin A＝＝＝，

sin B＝＝＝，

∴cos A＝，cos B＝，

∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝，

∴S△ABC＝absin C＝××2×＝.

1．在△ABC中，A＝60°，c＝a.

(1)求sin C的值；

(2)若a＝7，求△ABC的面积．

解　(1)在△ABC中，因为A＝60°，c＝a，

所以由正弦定理得sin C＝＝×＝.

(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得

72＝b2＋32－2b×3×，

解得b＝8或b＝－5(舍去)．

所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3×＝6.

2．设函数f (x)＝2tan ·cos2－2cos2＋1.

(1)求f (x)的定义域及最小正周期；

(2)求f (x)在[－π，0]上的最值．

解　(1)f (x)＝2sin cos －cos

＝sin －cos＝sin －cos ＋sin 

＝sin.

由≠＋kπ(k∈Z)，

得f (x)的定义域为{x|x≠2π＋4kπ(k∈Z)}，

故f (x)的最小正周期为T＝＝4π.

(2)∵－π≤x≤0，∴－≤－≤－.

∴当－∈，

即x∈时，f (x)单调递减，

当－∈，

即x∈时，f (x)单调递增，

∴f (x)min＝f ＝－，

又f (0)＝－，f (－π)＝－，

∴f (x)max＝f (0)＝－.

3．(2020·青岛模拟)已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与P点最近的一个最高点的坐标为.

(1)求函数f (x)的解析式；

(2)若f (x)<3，求x的取值范围．

解　(1)设f (x)的最小正周期为T，

由题意得A＝6，＝－＝，∴T＝π，

∴＝π，∴ω＝2，

∴f (x)＝6sin(2x＋φ)，

又f (x)过点，∴6sin＝6，

∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z.

又|φ|<，∴φ＝－，∴f (x)＝6sin.

(2)6sin<3，即sin<，

在一个周期中，要使sin<，

则－<2x－<，

∴－＋2kπ<2x－<＋2kπ，k∈Z，

解得kπ－<x<kπ＋，k∈Z.

∴x的取值范围为.

4．已知点P(，1)，Q(cos x，sin x)，O为坐标原点，函数f (x)＝·.

(1)求函数f (x)的最小正周期；

(2)若A为△ABC的内角，f (A)＝4，BC＝3，求△ABC周长的最大值．

解　(1)由已知，得＝(，1)，＝(－cos x,1－sin x)，

所以f (x)＝·＝3－cos x＋1－sin x

＝4－2sin，

所以函数f (x)的最小正周期为2π.

(2)因为f (A)＝4，所以sin＝0，

又0<A<π，所以<A＋<，所以A＝.

因为BC＝3，所以＝2，

所以由正弦定理，得AC＝2sin B，AB＝2sin C，

所以△ABC的周长为3＋2sin B＋2sin C

＝3＋2sin B＋2sin

＝3＋2sin.

因为0<B<，所以<B＋<，

所以当B＋＝，即B＝时，

△ABC的周长取得最大值，最大值为3＋2.

5．已知函数f (x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋t(ω>0)，若f (x)的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点(0,0)．

(1)求f (x)的表达式和f (x)的单调递增区间；

(2)将函数f (x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若函数F (x)＝g(x)＋k在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围．

解　(1)f (x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋t

＝2sin＋t，

f (x)的最小正周期为＝，∴ω＝2，

∵f (x)的图象过点(0,0)，∴2sin ＋t＝0，

∴t＝－1，∴f (x)＝2sin－1.

令2kπ－≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，

求得－≤x≤＋，k∈Z，

故f (x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)将函数f (x)的图象向右平移个单位长度，

可得y＝2sin－1＝2sin－1的图象，

再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2sin－1的图象．

∵x∈，∴2x－∈，

∴sin∈，

故g(x)＝2sin－1在区间上的值域为[－－1，1].

若函数F (x)＝g(x)＋k在区间上有且只有一个零点，

由题意可知，函数g(x)＝2sin－1的图象和直线y＝－k有且只有一个交点，

根据图象(图略)可知，k＝－1或1－<k≤＋1.

故实数k的取值范围是{－1}∪(1－，＋1]．