2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第5章第2讲等差数列及其前n项和


第2讲 等差数列及其前n项和
[考纲解读] 1.理解等差数列的概念及等差数列与一次函数的关系．(重点)
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．(重点、难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2021年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大，属中档题型.

1.等差数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．
(2)等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，且A＝.
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d，可推广为an＝am＋ (n－m)d(n，m∈N*)．
(2)等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d(其中n∈N*)．
3．等差数列的相关性质
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．
(1)等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．
(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．
(3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.
(4)也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差为d.
4．等差数列与函数的关系
(1)等差数列与一次函数的关系
an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．
(2)等差数列前n项和公式可变形为Sn＝n2＋n.当d≠0时，它是关于n的二次函数，数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
5．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．

1．概念辨析
(1)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．( )
(2)等差数列{an}的增减性是由公差d决定的．( )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．小题热身
(1)若{an}是等差数列，则下列数列中，也成等差数列的是( )
A．{a} B.
C．{3an} D．{|an|}
答案 C
解析 记等差数列－3，－1,1,3为{an}，则易知{a}，，{|an|}不是等差数列，排除A，B，D；对于C，因为3an＋1－3an＝3(an＋1－an)＝3d为常数，所以{3an}也成等差数列．
(2)在等差数列{an}中，已知a2＝2，前7项和S7＝56，则公差d＝( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
答案 B
解析 由题意可得即
解得
(3)在数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
答案 an＝3n－1
解析 因为an＋1－an＝3，n∈N*，所以数列{an}是公差为3的等差数列，又因为a1＝2，所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.
(4)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
答案 180
解析 由等差数列的性质可得
a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，
又因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，
所以5a5＝450，a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180.

题型 一 等差数列基本量的运算

1．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
答案 A
解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由S4＝0，a5＝5可得解得所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.故选A.
2．(2020·碑林区期末)设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项a1＝________.
答案 2
解析 由题可知3a2＝12，①
(a2－d)a2(a2＋d)＝48，②
将①代入②得(4－d)(4＋d)＝12，
解得d＝2或d＝－2(舍去)，
所以a1＝a2－d＝4－2＝2.
3．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
解 (1)设{an}的公差为d.
由S9＝－a5得a1＋4d＝0.
由a3＝4得a1＋2d＝4.
于是a1＝8，d＝－2.
因此{an}的通项公式为an＝10－2n.
(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.
由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．

1．等差数列基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．如举例说明1.
2．等差数列设项技巧
若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元(注意此时数列的公差为2d)．见举例说明2.

1．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝________.
答案 4
解析 由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1，
所以S10＝10a1＋d＝100a1，
S5＝5a1＋d＝25a1，所以＝4.
2．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且5a3·a1＝(2a2＋2)2.
(1)求d，an；
(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
解 (1)由题意，得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0，故d＝－1或d＝4，所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，因为d<0，
由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，
则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n，
当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.
综上所述，
|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝
题型 二 等差数列的判定与证明

(2019·贵州适应性考试)已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
解 (1)由已知，得a2－2a1＝4，
则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，
得＝2，即－＝2，
所以数列是首项为＝1，公差为d＝2的等差数列．则＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以an＝2n2－n.
条件探究1 本例中，若将条件改为“a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)”．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)证明：由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，
整理得－＝3(n≥2)，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
(2)由(1)得＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝.
条件探究2 将本例中的条件改为“a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)”．
求证：数列{bn}是等差数列．
证明 因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)，
所以bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1.
又b1＝＝－.
所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．

判定数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数．见举例说明．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
(3)通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数．
(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.
提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．

1．正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，则a7＝________.
答案
解析 由2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，得数列{a}是等差数列，公差d＝a－a＝3，首项a＝1，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，
∴an＝，∴a7＝.
2．(2019·沈阳模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn；
(2)是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．
解 (1)设数列{an}的公差为d，
则
∴∴an＝4－6(n－1)＝10－6n，
Sn＝na1＋d＝7n－3n2.
(2)由(1)知Sn＋Sn＋3＝7n－3n2＋7(n＋3)－3(n＋3)2＝－6n2－4n－6，
2(Sn＋2＋2n)＝2(－3n2－5n＋2＋2n)＝－6n2－6n＋4，
若存在正整数n使得Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，
则－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5，
∴存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列．
题型 三 等差数列的性质

角度1 等差数列通项性质的应用
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a5－a2＝10，则S15＝( )
A．20 B．75
C．300 D．150
答案 D
解析 解法一：设数列{an}的公差为d，由2a5－a2＝10，得2(a1＋4d)－(a1＋d)＝10，整理得a1＋7d＝10，S15＝15a1＋d＝15(a1＋7d)＝15×10＝150.故选D.
解法二：由题意知，a2＋a8＝2a5，所以2a5－a2＝a8＝10，S15＝＝＝150.故选D.
2．设公差为－3的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2019＝2019，则a3＋a6＋a9＋…＋a2019＝( )
A．－673 B．－1346
C．673 D．1346
答案 B
解析 解法一：设等差数列{an}的首项为a1，则S2019＝2019a1＋×2019×2018×(－3)＝2019，解得a1＝3028，所以a3＝3022，则a3＋a6＋a9＋…＋a2019＝3022×673＋×673×672×(－9)＝－1346.故选B.
解法二：S2019＝(a1＋a4＋a7＋…＋a2017)＋(a2＋a5＋a8＋…＋a2018)＋(a3＋a6＋a9＋…＋a2019)＝(a3＋a6＋a9＋…＋a2019)－673×(－6)＋(a3＋a6＋a9＋…＋a2019)－673×(－3)＋(a3＋a6＋a9＋…＋a2019)＝3(a3＋a6＋a9＋…＋a2019)－673×(－9)＝2019，解得a3＋a6＋a9＋…＋a2019＝－1346.故选B.
角度2 等差数列前n项和性质的应用
3．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，－＝6，则S2020＝________.
答案 10100
解析 由等差数列的性质可得也为等差数列．
设其公差为d，则－＝6d＝6，
∴d＝1.
故＝＋2019d＝－2014＋2019＝5，
∴S2020＝5×2020＝10100.
4．(2019·太原模拟)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.
解 设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得
解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.

应用等差数列的性质解题的三个注意点
(1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．
(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等．
(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．如举例说明4.

1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．45
C．36 D．27
答案 B
解析 由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n>6)，则数列{an}的项数为________．
答案 18
解析 由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①
an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②
①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，
∴a1＋an＝36，
又Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝18.
题型 四 等差数列前n项和的最值问题

1．(2019·西安八校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<0的正整数n的值为( )
A．10 B．11
C．12 D．13
答案 C
解析 由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以{an}为递减数列，又S13＝＝13a7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足SnSn＋1<0的正整数n的值为12，故选C.
2．(2019·北京高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．
答案 0 －10
解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由S5＝(a1＋a5)＝×2a3＝－10，得a3＝－2，∴d＝a3－a2＝－2－(－3)＝1，∴a1＝－3－1＝－4，∴a5＝a1＋4d＝－4＋4＝0.
解法一：∵a1＝－4，d＝1，∴Sn＝－4n＋×1＝(n2－9n)＝2－.
∵n∈N*，∴当n＝4或5时，Sn取最小值，为S4＝S5＝－10.
解法二：∵a1＝－4，d＝1，∴an＝－4＋(n－1)×1＝n－5.由an≤0得n≤5，且n＝5时，a5＝0，故当n＝4或5时，Sn取最小值，为S4＝S5＝＝－10.

求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法：等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn＝a2－，求“二次函数”最值．如举例说明2解法一．
(2)邻项变号法
①当a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.如举例说明2解法二．


(2020·华中师范大学附中模拟)设数列{an}的前n项和为Sn＝3·2n(n∈N＋)，数列{bn}为等差数列，其前n项和为Tn，若b2＝a5，b10＝S3，则Tn取最大值时n＝________.
答案 17或18
解析 由已知得b2＝a5＝S5－S4＝3×25－3×24＝48，
b10＝S3＝3×23＝24.
设等差数列{bn}的公差为d，
则8d＝b10－b2＝－24，d＝－3，
所以bn＝b2＋(n－2)d＝48－3(n－2)＝54－3n，
所以当1≤n≤18时，bn≥0，
当n≥19时，bn<0，
所以Tn取最值时n＝17或18.

组 基础关
1．(2019·长春模拟)等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
答案 C
解析 根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，若a2＋a3＝10，S6＝54，则有a2＋a3＝(a1＋d)＋(a1＋2d)＝10，S6＝6a1＋15d＝54，解得d＝4，a1＝－1，故选C.
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S7＝49，则a2，a6的等差中项是( )
A. B．7
C．±7 D.
答案 B
解析 由已知，得S7＝＝7a4＝49，所以a4＝7.所以a2，a6的等差中项为＝a4＝7.
3．(2019·湘赣十四校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝5S2＋a4，a1＝1，则a6＝( )
A．16 B．13
C．－9 D．37
答案 A
解析 设等差数列{an}的公差为d.由S5＝5S2＋a4，得5a1＋d＝5(2a1＋d)＋(a1＋3d)．将a1＝1代入上式，得d＝3.故a6＝a1＋5d＝1＋15＝16.
4．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )
A．174斤 B．184斤
C．191斤 D．201斤
答案 B
解析 由题意可知，数列为等差数列，公差为d＝17，n＝8，S8＝996，以第一个儿子分到的绵数a1为首项，所以8a1＋×17＝996，解得a1＝65，所以第8个儿子分到的绵数a8＝a1＋(n－1)·d＝65＋7×17＝184.故选B.
5．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为( )
A．0 B．37
C．100 D．－37
答案 C
解析 设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列，公差为d1＋d2.又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以数列{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.
6．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题意得，＝＝＝＝＝＝.
7．(2019·南昌模拟)已知等差数列{an}的公差d<0，前n项和为Sn，若S5＝10a6，则当Sn最大时，n＝( )
A．8 B．9
C．7或8 D．8或9
答案 D
解析 解法一：由S5＝10a6，可得＝10(a1＋5d)，解得a1＝－8d，所以Sn＝na1＋n(n－1)d＝.因为d<0，所以当n＝8或9时，Sn最大．故选D.
解法二：因为S5＝＝＝5a3，所以5a3＝10a6，所以5(a1＋2d)＝10(a1＋5d)，化简可得a1＋8d＝0，即a9＝0.因为d<0，所以当n＝8或9时，Sn最大．故选D.
8．(2019·沈阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2019，则m＝________.
答案 1010
解析 设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a2＝3(a1＋d)．又S3＝a5，则3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2.所以am＝a1＋(m－1)d＝2m－1＝2019，解得m＝1010.
9．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.
答案 10
解析 因为S100＝(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝，a1＋a99＝a1＋a100－d＝，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(a1＋a99)＝×＝10.
10．(2020·揭阳摸底)已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝(n∈N*)，则an＝________，数列{an}中最大项的值为________．
答案
解析 由题意知an≠0，则由an＋1＝，得＝＝＋8，整理得－＝8，即数列是公差为8的等差数列，故＝＋(n－1)×8＝8n－17，所以an＝.当n＝1,2时，an<0；当n≥3时，an>0，且数列{an}在n≥3时是递减数列，故{an}中最大项的值为a3＝.
组 能力关
1．(2019·辽宁省实验中学模拟)已知数列{an}满足3an＋1＝9·3an(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)＝( )
A．－ B．3
C．－3 D.
答案 C
解析 由3an＋1＝9·3an(n∈N*)，得3an＋1＝3an＋2，所以an＋1＝an＋2，所以数列{an}是等差数列，公差为2.又a2＋a4＋a6＝3a1＋9d＝9，所以a1＝－3.所以log(a5＋a7＋a9)＝log(3a1＋18d)＝log27＝－3.故选C.
2．(2019·青岛二模)已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，且a1＋b1＝5，a1，b1∈N*.设cn＝abn，则数列{cn}的前100项和等于( )
A．4950 B．5250
C．5350 D．10300
答案 C
解析 由题意可知，cn＝abn＝a1＋(bn－1)×1＝a1＋[b1＋(n－1)×1－1]×1＝a1＋b1＋n－1－1＝n＋3，所以数列{cn}是以4为首项，1为公差的等差数列，其前100项和为S100＝×100×(4＋100＋3)＝5350.故选C.
3．(2019·合肥三模)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若数列{}也是公差为d的等差数列，则an＝________.
答案 －1或n－
解析 由题意得，Sn＝na1＋n(n－1)
＝n2＋n.
Sn＋n＝n2＋n.
因为数列{}也是公差为d的等差数列．
所以设 ＝dn＋B.
于是n2＋n＝(dn＋B)2(n∈N*)．
因此解得或
所以an＝－1或an＝n－.
4．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
解 (1)设{an}的公差为d，由题意，得3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7，得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)，得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．
(1)求a2的值并证明：an＋2－an＝2；
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)令n＝1得2a1a2＝4S1－3，
又a1＝1，∴a2＝.
2anan＋1＝4Sn－3，①
2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.②
②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1.
∵an≠0，∴an＋2－an＝2.
(2)由(1)可知：
数列a1，a3，a5，…，a2k－1，…为等差数列，公差为2，首项为1，
∴a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，
则当n为奇数时，an＝n.
数列a2，a4，a6，…，a2k，…为等差数列，公差为2，首项为，
∴a2k＝＋2(k－1)＝2k－，
则当n为偶数时，an＝n－.
综上所述，an＝
6．已知数列{an}满足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．
(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；
(2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn.
解 (1)解法一：∵数列{an}是等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.
由an＋1＋an＝4n－3，得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3，
∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3，
即2d＝4,2a1－d＝－3，解得d＝2，a1＝－.
解法二：在等差数列{an}中，
由an＋1＋an＝4n－3，得an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1，
∴2d＝an＋2－an＝4n＋1－(4n－3)＝4，∴d＝2.
又a1＋a2＝2a1＋d＝2a1＋2＝1，∴a1＝－.
(2)由题意知，①当n为奇数时，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)
＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×
＝.
②当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)
＝1＋9＋…＋(4n－7)＝.
综上，Sn＝