2021届浙江省高考数学一轮学案：第六章加强练（六）　平面向量、复数

加强练(六)　平面向量、复数

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.(2020·温州适应性考试)已知i是虚数单位，则＝(　　)

A.1－i  B.1＋i

C.－1－i  D.－1＋i

解析　＝＝＝1＋i，故选B.

答案　B

2.(2020·北京东城区一模)设E为△ABC的边AC的中点，＝m＋n，则m，n的值分别为(　　)

A.－1，  B.，－1

C.－，1  D.1，

解析　∵＝(＋)＝＝－＋，∴m＝－1，n＝.

答案　A

3.(2019·诸暨期末)已知a，b，c∈R，i是虚数单位，若＝ci，则(　　)

A.a＝b  B.a＝

C.a＝－b  D.a＝－

解析　由题意得1＋ai＝ci(b＋i)＝－c＋bci，则则a＝－b，故选C.

答案　C

4.(2019·浙江十校联盟适考)若复数z＝(b∈R，i为虚数单位)的实部与虚部相等，则b的值为(　　)

A.3  B.±3 

C.－3  D.±

解析　由复数z＝＝＝的实部和虚部相等得＝－，解得b＝－3，故选C.

答案　C

5.(2020·北京石景山区期末)已知平面向量a＝，b＝，则下列关系正确的是(　　)

A.(a＋b)⊥b  B.(a＋b)⊥a

C.(a＋b)⊥(a－b)  D.(a＋b)∥(a－b)

解析　a＋b＝，a－b＝，∵(a＋b)·(a－b)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b).

答案　C

6.(2020·北京西城区二模)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则|a＋tb|的取值范围是(　　)

A.[，＋∞)  B.[，＋∞)

C.[，6]  D.[，6]

解析　|a＋tb|＝＝＝＝≥，当t＝－1时取等号.

答案　B

7.(2019·全国Ⅰ卷)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)

A.  B. 

C.  D.

解析　由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2.

∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝＝＝.

∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为.故选B.

答案　B

8.(2020·北京大兴区期末)已知i，j，k为共面的三个单位向量，且i⊥j，则(i＋k)·(j＋k)的取值范围是(　　)

A.[－3，3]  B.[－2，2]

C.[－1，＋1]  D.[1－，1＋]

解析　由i⊥j，则i·j＝0，

又i，j为单位向量，则|i＋j|＝＝，

则(i＋k)·(j＋k)＝i·j＋(i＋j)·k＋k2

＝(i＋j)·k＋1＝|i＋j|cos〈i＋j，k〉＋1＝cos〈i＋j，k〉＋1，

由－1≤cos〈i＋j，k〉≤1，

由(i＋k)·(j＋k)的取值范围是[1－，1＋].

答案　D

9.(2019·郑州二预)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝，若对于任意实数k，不等式|ka＋tb|＞1恒成立，则实数t的取值范围是(　　)

A.(－∞，－)∪(，＋∞)

B.∪

C.(，＋∞)

D.

解析　由题意可得|a|2－2a·b＋|b|2＝7，又|a|＝1，|b|＝2，所以1－2a·b＋4＝7，即a·b＝－1.|ka＋tb|＞1恒成立，即k2|a|2＋2kta·b＋t2|b|2＞1恒成立，即k2－2kt＋4t2－1＞0恒成立，则关于k的方程k2－2tk＋4t2－1＝0的判别式Δ＝4t2－4(4t2－1)＜0，所以t2＞，解得t＞或t＜－，故选B.

答案　B

10.(2020·嘉、丽、衢模拟)已知a，b，c是平面内的三个单位向量，若a⊥b，则|a＋2c|＋|3a＋2b－c|的最小值为(　　)

A.  B.－3

C.－2  D.5

解析　因为a，b，c为平面内三个单位向量，且a⊥b，则不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，且x2＋y2＝1，则|a＋2c|＋|3a＋2b－c|＝＋＝＋＝＋，

其表示圆心在原点的单位圆上的点到点A(－2，0)，B(3，2)的距离之和，因为直线AB与单位圆有交点，所以|a＋2c|＋|3a＋2b－c|＝＋≥＝，当且仅当点(x，y)为圆心在原点的单位圆与直线AB的交点时，等号成立，所以|a＋2c|＋|3a＋2b－c|的最小值为，故选A.

答案　A

二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)

11.(2019·天津卷)i是虚数单位，则的值为________.

解析　∵＝＝2－3i，

∴＝|2－3i|＝.

答案　

12.(2020·北京朝阳区一模)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)，若a∥b，则x＝________；若a⊥b，则x＝________.

解析　由向量平行的充要条件可得2×x－1×(－1)＝0，解得x＝－；

由向量垂直的充要条件得2×1＋(－1)x＝0，解得x＝2.

答案　－　2

13.(2020·嘉、丽、衢模拟)设i为虚数单位，给定复数z＝，则z的虚部为________，|z|＝________.

解析　复数z＝＝＝＝－2＋2i，则复数z的虚部为2，|z|＝＝2.

答案　2　2

14.(2019·北京东城区二模)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点.当点P在BC边上时，·的值为________；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，·的最小值为________.

解析　以A为原点建立平面直角坐标系，

则A(0，0)，O(1，0)，B(2，0)，

(1)设P(2，b)，·＝(2，0)·(1，b)＝2；

(2)当点P在BC上时，·＝2；

当点P在AD上时，设P(0，b)，·＝(2，0)·(－1，b)＝－2；

当点P在CD上时，设点P(a，1)(0＜a＜2)，

·＝(2，0)·(a－1，1)＝2a－2，

因为0＜a＜2，所以，－2＜2a－2＜2，即·∈(－2，2)，综上可知，·的最小值为－2.

答案　(1)2　(2)－2

15.(2020·成都一诊)已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若＝λ，则△ABC与△APQ的面积之比为________.

解析　设＝μ，＝×(＋)＝＝＋，由于P，G，Q三点共线，故＋＝1，μ＝.由于△ABC与△APQ有公共角A，由三角形面积公式得＝＝＝.

答案　

16.(2020·北京朝阳区一模)在平面内，点A是定点，动点B，C满足||＝||＝1，·＝0，则集合{P|＝λ＋，1≤λ≤2}所表示的区域的面积是________.

解析　以A为原点建立平面直角坐标系，由于||＝||＝1，·＝0，即⊥，故设B(cos α，sin α)，C，即C(－sin α，cos α)，设P(x，y)，由＝λ＋得(x，y)＝(λcos α－sin α，λsin α＋cos α)，即x＝λcos α－sin α，y＝λsin α＋cos α，则x2＋y2＝λ2＋1，故P表示的是原点在圆心，半径为的圆，由于1≤λ≤2，故P点所表示的区域是圆心在原点，半径为，的两个圆之间的扇环，故面积为π×5－π×2＝3π.

答案　3π

17.已知向量a，b满足|a|＝1，|2a＋b|＋|b|＝4，则|a＋b|的最大值为________，|a＋b|的最小值为________.

解析　|a|＝1，不妨设a＝(1，0)，由|2a＋b|＋|b|＝4，得|a＋b＋a|＋|a＋b－a|＝4，令z＝a＋b＝(O为坐标原点)，点Z的轨迹是以(－1，0)，(1，0)为焦点的椭圆，方程为＋＝1，长半轴为2，短半轴为，∴|a＋b|＝|z|∈[，2].

答案　2