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2021届浙江省高考数学一轮学案：第三章第8节 函数与方程
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第8节 函数与方程
考试要求 1.了解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的联系；2.掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.
知 识 梳 理
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在
(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
[常用结论与易错提醒]
1.不满足零点存在性定理也可能有零点(如不变号零点).
2.由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示.所以f(a)·f(b)＜0是图象连续的函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3.若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).( )
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)若连续函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.( )
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)
(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.下列函数中既是偶函数又存在零点的是( )
A.y＝cos x B.y＝sin x
C.y＝ln x D.y＝x2＋1
解析 由函数是偶函数，排除选项B，C，又选项D中函数没有零点，排除D，y＝cos x为偶函数且有零点.
答案 A
3.(必修1P88例1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 由f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点.
答案 B
4.(2019·北京东城区期末)下列函数中是奇函数且存在零点的是( )
A.y＝x3＋x B.y＝log2x
C.y＝2x2－3 D.y＝
解析 对于A：y＝x3＋x为奇函数，且存在零点为x＝0，与题意相符；
对于B：y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；
对于C：y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；
对于D：y＝不存在零点，与题意不符，故选A.
答案 A
5.函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________.
解析 因为函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上是单调函数，所以若f(x)在区间(－1，1)上存在一个零点，则满足f(－1)·f(1)＜0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，解得
6.已知f(x)＝则f(f(－2))＝________；函数f(x)的零点的个数为________.
解析 根据题意得：f(－2)＝(－2)2＝4，则f(f(－2))＝f(4)＝24－2＝16－2＝14；令f(x)＝0，得到2x－2＝0(x≥0)，解得：x＝1，则函数f(x)的零点个数为1.
答案 14 1
考点一 函数零点所在区间的判断
【例1】 (1)若a
C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
(2)(一题多解)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
解析 (1)∵a0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.
(2)法一 函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下：
可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).
法二 易知f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，
且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0.
所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点.
答案 (1)A (2)B
规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【训练1】 (1)函数f(x)＝－2x的零点所在区间是( )
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)＝ln x－的零点为x0，则x0所在的区间是( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
解析 (1)f(x)的图象在(0，＋∞)上连续，又f(x)在(0，＋∞)上递减，且f(1)＝2＞0，f＝－2＝＜0.∴选C.
(2)∵f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上是增函数，
又f(1)＝ln 1－＝ln 1－2<0，
f(2)＝ln 2－＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0.
故f(x)的零点x0∈(2，3).
答案 (1)C (2)C
考点二 函数零点(或方程根)个数的判断
【例2】 (1)已知函数f(x)＝则方程f(f(x))－2＝0的实根个数为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
(2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为________.
解析 (1)令t＝f(x)，则方程f(f(x))－2＝0等价于f(t)－2t－＝0.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)与直线y＝2x＋的图象，由图象可得有两个交点，且f(t)－2t－＝0的两根分别为t1＝0和1
(2)令f(x)＝2x|log0，5x|－1＝0，得|log0.5x|＝.
设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象(如图).由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f(x)有2个零点.
答案 (1)B (2)2
规律方法 函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.
【训练2】 (1)(2020·杭州二中模拟)已知函数f(x)＝若实数m∈(0，1)，则函数g(x)＝f(x)－m零点个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________.
解析 (1)函数g(x)＝f(x)－m的零点即为函数y＝f(x)与函数y＝m的图象的交点.如图画出函数y＝f(x)的图象，结合0＜m＜1可知函数y＝f(x)与函数y＝m的图象的交点为3个，所以函数g(x)＝f(x)－m的零点有3个，故选D.
(2)f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，则函数的零点个数即为函数y＝sin 2x与函数y＝x2图象的交点个数，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点.
答案 (1)D (2)2
考点三 函数零点的应用
【例3】 (1)(2020·杭州质检)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0，2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，则a的取值范围为__________.
(2)(2019·江苏卷)设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数.当x∈(0，2]时，f(x)＝，g(x)＝其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是________.
解析 (1)由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期T＝4.
又f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝f(4－x)，
因此函数y＝f(x)的图象关于x＝2对称.
又f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，
要使方程f(x)＝logax有三个不同的实根.
由函数的图象(如图)，
必须有即解得
(2)当x∈(0，2]时，y＝f(x)＝⇔(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，即f(x)的图象是以(1，0)为圆心，1为半径的半圆.结合f(x)是周期为4的奇函数，可作出f(x)在(0，9]上的图象如图所示.
∵当x∈(1，2]时，g(x)＝－，又g(x)的周期为2，
∴当x∈(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，g(x)＝－.
由图可知，当x∈(1，2]∪(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，f(x)与g(x)的图象有2个交点.
故当x∈(0，1]∪(2，3]∪(4，5]∪(6，7]∪(8，9]时，f(x)与g(x)的图象有6个交点.
又当x∈(0，1]时，y＝g(x)＝k(x＋2)(k>0)恒过定点A(－2，0)，由图可知，当x∈(2，3]∪(6，7]时，f(x)与g(x)的图象无交点，
∴当x∈(0，1]∪(4，5]∪(8，9]时，f(x)与g(x)的图象有6个交点.
由f(x)与g(x)的周期性可知，当x∈(0，1]时，f(x)与g(x)的图象有2个交点.
当y＝k(x＋2)与圆弧(x－1)2＋y2＝1(0
当y＝k(x＋2)过点A(－2，0)与B(1，1)时，k＝.
∴≤k<.
答案 (1)(，) (2)
规律方法 已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法：
(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后观察求解.
【训练3】 (1)(2019·浙江名师预测卷三)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[－1，1]上存在两个不同的零点，且0≤b－2a≤1，则a＋b的取值范围是( )
A.[－1，0) B.(－1，1)
C.[－1，3] D.(－1，0]
(2)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
解析 (1)由题意可知，此问题等价于函数g(x)＝ax＋b与函数h(x)＝－x2的图象在[－1，1]上有两个不同的交点，且b－2a＝g(－2)∈[0，1]，求g(1)＝a＋b的取值范围.
画出临界位置的图象如图所示，当x＝1时，要使满足题意，直线l1，l2须经过线段AB，而当l1过点B时，直线与曲线没有交点，当l2过点B时，直线与曲线只有1个交点，均不合题意，故舍去y＝0的情况，所以g(1)＝a＋b∈[－1，0)，故选A.
(2)在同一坐标系中，作出y＝f(x)与y＝b的图象.当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2
答案 (1)A (2)(3，＋∞)
基础巩固题组
一、选择题
1.函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(－2，－1) D.(－1，0)
解析 由于f(－1)＝－<0，f(0)＝30－0＝1>0，
∴f(－1)·f(0)<0.则f(x)在(－1，0)内有零点.
答案 D
2.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B.－2，0
C. D.0
解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.
答案 D
3.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A.(1，3) B.(1，2)
C.(0，3) D.(0，2)
解析 因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)·(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0
4.已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )
A. B.
C.－ D.－
解析 令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
答案 C
5.(一题多解)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( )
A.－ B.
C. D.1
解析 法一 f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e1－x)－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，且t∈(－∞，＋∞).
∴函数g(t)为偶函数.
∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点.
又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝.
法二 f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2＝2，
当且仅当x＝1时取“＝”.
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”.
若a＞0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.
若a≤0，则f(x)的零点不唯一.
故选C.
答案 C
6.(2019·浙江三校三联)已知关于x的方程ex|x－t|－1＝0有三个不同的实数根，则实数t的取值范围是( )
A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)
C.[2，＋∞) D.(2，＋∞)
解析 关于
x的方程ex|x－t|－1＝0有三个不同的实数根等价于函数f(x)＝|x－t|与函数g(x)＝的图象有三个不同的交点，在平面直角坐标系内画出两函数的图象如图所示，由图易得当x＞t时，直线y＝x－t与函数g(x)＝的图象有一个交点，要使两函数图象有三个不同的交点，则直线y＝t－x与函数g(x)＝的图象有两个不同的交点，当直线y＝t－x与曲线g(x)＝相切时，易得t＝1，则由图易得要使两函数图象有三个不同的交点，则t＞1，故选B.
答案 B
7.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A.[－1，0) B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
解析 函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点.作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.
答案 C
8.(2019·浙江卷)设a，b∈R，函数f(x)＝
若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则( )
A.a<－1，b<0 B.a<－1，b>0
C.a>－1，b<0 D.a>－1，b>0
解析 由题意，b＝f(x)－ax＝
设y＝b，g(x)＝
即以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论.
①当a<－1时，1－a>0，可得g(x)在(－∞，0)上递增；
由g′(x)＝x2－(a＋1)x＝x[x－(a＋1)](x≥0)，a＋1<0，
可得g(x)在(0，＋∞)上递增.
此时直线y＝b与g(x)的图象只有1个交点，不符合题意，故A，B排除.
②当a>－1，即a＋1>0时，
因为g′(x)＝x[x－(a＋1)](x≥0)，
所以当x≥0时，
由g′(x)<0可得0
如图，y＝b与y＝g(x)(x≥0)的图象至多有2个交点.
当1－a>0，即－1
当1－a<0，即a>1时，y＝g(x)与y＝b的图象可以有1个或2个交点，但不存在有3个交点的情况，不合题意，舍去.
综上，－1
答案 C
二、填空题
9.(2020·北京朝阳区一模)能说明“函数f(x)的图象在区间[0，2]上是一条连续不断的曲线.若f(0)·f(2)＞0，则f(x)在(0，2)内无零点”为假命题的一个函数是________.
解析 考查函数y＝(x－1)2，绘制函数图像如图所示，
该函数f(x)的图像在区间[0，2]上是一条连续不断的曲线，f(0)·f(2)＞0，但是函数f(x)在(0，2)内存在零点x＝1，故该函数使得原命题为假命题.
答案 y＝(x－1)2
10.(2019·七彩阳光联盟三联)函数f(x)＝则f(f(－3))＝________；若存在四个不同的实数a，b，c，d，使得f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，则abcd的取值范围为________.
解析 由题可得f(－3)＝2，所以f(f(－3))＝f(2)＝1.不妨设a＜b＜c＜d，则有－log2c＝log2d，所以cd＝1，且a＋b＝－2，其中－1＜b≤0.所以abcd＝ab＝b(－2－b)＝－b2－2b∈[0，1).
答案 1 [0，1)
11.已知函数f(x)＝若f(x)是单调函数，则实数a的取值范围是________；若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数a的取值范围是________.
解析
因为函数y＝2x在定义域内是单调递增函数，所以函数f(x)为单调递增函数，所以a>0且2a≤a2.在同一坐标系下作出函数y＝2x与y＝x2的图象，由图可知，实数a的取值范围为[2，4].函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于函数y＝f(x)与y＝b的图象有三个交点，在同一坐标系下作出函数y＝f(x)与y＝b的图象，由图可知，当a在y轴的左方时，存在实数b，使得两函数图象有三个交点，所以要使函数g(x)有三个零点，实数a的取值范围为(－∞，0).
答案 [2，4] (－∞，0)
12.已知f(x)＝－m|x|，若f(x)有两个零点，则实数m的值为________；若f(x)有三个零点，则实数m的取值范围是________.
解析 函数f(x)的零点，即为方程－m|x|＝0即＝|x|(x＋2)(x≠－2)的实数根，令g(x)＝|x|(x＋2)＝其图象如图所示，当m＝1时，g(x)图象与y＝有2个交点；当0<<1，即m>1时，有3个交点.
答案 1 (1，＋∞)
13.(2019·北京大兴区期末)设函数f(x)＝
(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；
(2)若函数y＝f(x)－b有两个零点，则b的取值范围是________.
解析 (1)当a＝0时，f(x)＝
当x≤0时，f(x)＝2x，f(x)在(－∞，0]上为增函数，
当x＞0时，－x＜0，则f(x)＝f(－x)＝2－x＝，
则f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
则f(x)max＝f(0)＝20＝1.
(2)根据题意，当x≤a时，f(x)＝2x－a，
当x＞a时，则有2a－x＜a，
此时f(x)＝f(2a－x)＝2a－x，
f(x)＝，其图象关于直线x＝a对称，
若函数y＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)与y＝b有2个交点，其图象如图所示：
必有0＜b＜1，即b的取值范围为(0，1).
答案 (1)1 (2)(0，1)
14.(2020·杭州高级中学测试)已知函数f(x)满足：f(1－x)＝f(1＋x)，且当x≤1时，f(x)＝x2＋a(a∈R)，若存在实数t∈[0，1]，使得关于x的方程|f(x)|＝t有且仅有四个不等实根，则实数a的取值范围是________.
解析 由f(1－x)＝f(1＋x)知函数f(x)关于直线x＝1对称.当a>1时，|f(x)|＝f(x)≥f(0)＝a>1，函数y＝|f(x)|的图象与直线y＝t无公共点，不满足条件；当a＝1时，函数y＝|f(x)|的图象与直线y＝t最多只有两个公共点，不满足条件；当0≤a<1时，如图1所示，函数y＝|f(x)|的图象与直线y＝t可能有四个公共点，满足条件；当－1
答案 (－∞，1)
能力提升题组
15.设函数f(x)＝则函数F(x)＝xf(x)－1的零点个数为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
解析 作出函数y＝f(x)与y＝g(x)＝的图象如图，当x<0时，y＝f(x)单调递增，y＝为减函数，此时函数f(x)与y＝g(x)＝只有一个交点.∵f(1)＝1，
g(1)＝1，∴f(1)＝g(1)，(1，1)是两函数图象的一个交点；∵f(3)＝f(1)＝，g(3)＝，满足f(3)>g(3)，∴两函数的图象在(2，4)内有两个交点；∵f(5)＝f(3)＝，g(5)＝，满足f(5)>g(5)，∴两函数的图象在(4，6)内有两个交点；∵f(7)＝f(5)＝，
g(7)＝，满足f(7)7时，恒有f(x)
答案 C
16.(2020·浙江“超级全能生”联考)已知f(x)＝若f(x)＋2＋|f(x)－2|－2ax－4＝0恰有两个不等实根x1，x2，则a的取值组成的集合为( )
A.{2－2}∪[－2，0]
B.{2－2}∪[0，2]
C.{2＋2}∪[0，2]
D.{2＋2}∪[－2，0]
解析 由题意得f(x)＋2＋|f(x)－2|＝max{2f(x)，4}＝2ax＋4，即max{f(x)，2}＝ax＋2.令g(x)＝max{f(x)，2}＝
h(x)＝ax＋2，f(x)＋2＋|f(x)－2|－2ax－4＝0恰有两个不等实根，等价于函数g(x)与h(x)的图象有两个不同的交点.作出函数g(x)和h(x)的图象如图，由图可知h＝或0≤h(1)≤2，解得a＝2－2或a∈[－2，0]，故选A.
答案 A
17.已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(e)＝________，函数y＝f(f(x))－1的零点个数为________.
解析 f(e)＝ln e＝1；函数y＝f(f(x))－1的零点个数为方程f(f(x))＝1的根的个数，则①由ln x＝1(x≥1)，得x＝e，于是f(x)＝e，则由ln x＝e(x≥1)，得x＝ee；或由ef(|x|＋1)＝e(x<1)，得f(|x|＋1)＝1，所以ln(|x|＋1)＝1，解得x＝e－1(舍去)或x＝1－e；②由ef(|x|＋1)＝1(x<1)，得f(|x|＋1)＝0，所以ln(|x|＋1)＝0，解得x＝0，所以f(x)＝0，只有ln x＝0(x≥1)，解得x＝1.综上可知函数y＝f(f(x))－1有x＝ee，1－e，1共3个零点.
答案 1 3
18.已知函数f(x)＝－4，若m＝4，则函数f(x)的零点个数为________；若函数f(x)有4个零点，则实数m的取值范围是________.
解析 当m＝4时，f(x)＝－4，由对勾函数的性质易得y＝≥4，当且仅当x＝±2时等号成立，所以函数f(x)＝－4的零点有2个.当m>0时，由对勾函数的性质易得y＝≥2，当且仅当x＝±时等号成立，要使f(x)＝－4有4个零点，则有2<4，解得0
19.(2020·浙江十校联盟适考)已知f(x)＝(a∈R)，若存在x1，x2，x3…，xn∈，使得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn－1)＝f(xn)成立的最大正整数n为6，则a的取值范围为________.
解析 设t＝x＋，由x∈得t∈，则问题等价于对于函数g(t)＝|t－a|，存在t1，t2，t3，…，tn∈，使得g(t1)＋g(t2)＋…＋g(tn－1)＝g(tn)成立的最大正整数n为6，即5g(t)min≤g(t)max＜6g(t)min.当a∈时，g(t)min＝0，则对所有正整数都存在相应的t1，t2，t3，…，tn∈使得等式成立，此时的a不符合题意；当a＜2时，g(t)max＝g＝－a，g(t)min＝g(2)＝2－a，则有5(2－a)≤－a＜6(2－a)，解得≤a＜；当a＞时，g(t)max＝g(2)＝a－2，g(t)min＝g＝a－，则有5≤a－2＜6，解得＜a≤.综上所述，实数a的取值范围为∪
答案 ∪
第8节 函数与方程
考试要求 1.了解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的联系；2.掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.
知 识 梳 理
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在
(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
[常用结论与易错提醒]
1.不满足零点存在性定理也可能有零点(如不变号零点).
2.由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示.所以f(a)·f(b)＜0是图象连续的函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3.若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).( )
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)若连续函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.( )
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)
(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.下列函数中既是偶函数又存在零点的是( )
A.y＝cos x B.y＝sin x
C.y＝ln x D.y＝x2＋1
解析 由函数是偶函数，排除选项B，C，又选项D中函数没有零点，排除D，y＝cos x为偶函数且有零点.
答案 A
3.(必修1P88例1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 由f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点.
答案 B
4.(2019·北京东城区期末)下列函数中是奇函数且存在零点的是( )
A.y＝x3＋x B.y＝log2x
C.y＝2x2－3 D.y＝
解析 对于A：y＝x3＋x为奇函数，且存在零点为x＝0，与题意相符；
对于B：y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；
对于C：y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；
对于D：y＝不存在零点，与题意不符，故选A.
答案 A
5.函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________.
解析 因为函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上是单调函数，所以若f(x)在区间(－1，1)上存在一个零点，则满足f(－1)·f(1)＜0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，解得
6.已知f(x)＝则f(f(－2))＝________；函数f(x)的零点的个数为________.
解析 根据题意得：f(－2)＝(－2)2＝4，则f(f(－2))＝f(4)＝24－2＝16－2＝14；令f(x)＝0，得到2x－2＝0(x≥0)，解得：x＝1，则函数f(x)的零点个数为1.
答案 14 1
考点一 函数零点所在区间的判断
【例1】 (1)若a
C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
(2)(一题多解)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
解析 (1)∵a
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.
(2)法一 函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下：
可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).
法二 易知f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，
且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0.
所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点.
答案 (1)A (2)B
规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【训练1】 (1)函数f(x)＝－2x的零点所在区间是( )
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)＝ln x－的零点为x0，则x0所在的区间是( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
解析 (1)f(x)的图象在(0，＋∞)上连续，又f(x)在(0，＋∞)上递减，且f(1)＝2＞0，f＝－2＝＜0.∴选C.
(2)∵f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上是增函数，
又f(1)＝ln 1－＝ln 1－2<0，
f(2)＝ln 2－＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0.
故f(x)的零点x0∈(2，3).
答案 (1)C (2)C
考点二 函数零点(或方程根)个数的判断
【例2】 (1)已知函数f(x)＝则方程f(f(x))－2＝0的实根个数为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
(2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为________.
解析 (1)令t＝f(x)，则方程f(f(x))－2＝0等价于f(t)－2t－＝0.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)与直线y＝2x＋的图象，由图象可得有两个交点，且f(t)－2t－＝0的两根分别为t1＝0和1
(2)令f(x)＝2x|log0，5x|－1＝0，得|log0.5x|＝.
设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象(如图).由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f(x)有2个零点.
答案 (1)B (2)2
规律方法 函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.
【训练2】 (1)(2020·杭州二中模拟)已知函数f(x)＝若实数m∈(0，1)，则函数g(x)＝f(x)－m零点个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________.
解析 (1)函数g(x)＝f(x)－m的零点即为函数y＝f(x)与函数y＝m的图象的交点.如图画出函数y＝f(x)的图象，结合0＜m＜1可知函数y＝f(x)与函数y＝m的图象的交点为3个，所以函数g(x)＝f(x)－m的零点有3个，故选D.
(2)f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，则函数的零点个数即为函数y＝sin 2x与函数y＝x2图象的交点个数，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点.
答案 (1)D (2)2
考点三 函数零点的应用
【例3】 (1)(2020·杭州质检)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0，2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，则a的取值范围为__________.
(2)(2019·江苏卷)设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数.当x∈(0，2]时，f(x)＝，g(x)＝其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是________.
解析 (1)由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期T＝4.
又f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝f(4－x)，
因此函数y＝f(x)的图象关于x＝2对称.
又f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，
要使方程f(x)＝logax有三个不同的实根.
由函数的图象(如图)，
必须有即解得
(2)当x∈(0，2]时，y＝f(x)＝⇔(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，即f(x)的图象是以(1，0)为圆心，1为半径的半圆.结合f(x)是周期为4的奇函数，可作出f(x)在(0，9]上的图象如图所示.
∵当x∈(1，2]时，g(x)＝－，又g(x)的周期为2，
∴当x∈(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，g(x)＝－.
由图可知，当x∈(1，2]∪(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，f(x)与g(x)的图象有2个交点.
故当x∈(0，1]∪(2，3]∪(4，5]∪(6，7]∪(8，9]时，f(x)与g(x)的图象有6个交点.
又当x∈(0，1]时，y＝g(x)＝k(x＋2)(k>0)恒过定点A(－2，0)，由图可知，当x∈(2，3]∪(6，7]时，f(x)与g(x)的图象无交点，
∴当x∈(0，1]∪(4，5]∪(8，9]时，f(x)与g(x)的图象有6个交点.
由f(x)与g(x)的周期性可知，当x∈(0，1]时，f(x)与g(x)的图象有2个交点.
当y＝k(x＋2)与圆弧(x－1)2＋y2＝1(0
当y＝k(x＋2)过点A(－2，0)与B(1，1)时，k＝.
∴≤k<.
答案 (1)(，) (2)
规律方法 已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法：
(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后观察求解.
【训练3】 (1)(2019·浙江名师预测卷三)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[－1，1]上存在两个不同的零点，且0≤b－2a≤1，则a＋b的取值范围是( )
A.[－1，0) B.(－1，1)
C.[－1，3] D.(－1，0]
(2)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
解析 (1)由题意可知，此问题等价于函数g(x)＝ax＋b与函数h(x)＝－x2的图象在[－1，1]上有两个不同的交点，且b－2a＝g(－2)∈[0，1]，求g(1)＝a＋b的取值范围.
画出临界位置的图象如图所示，当x＝1时，要使满足题意，直线l1，l2须经过线段AB，而当l1过点B时，直线与曲线没有交点，当l2过点B时，直线与曲线只有1个交点，均不合题意，故舍去y＝0的情况，所以g(1)＝a＋b∈[－1，0)，故选A.
(2)在同一坐标系中，作出y＝f(x)与y＝b的图象.当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2
答案 (1)A (2)(3，＋∞)
基础巩固题组
一、选择题
1.函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(－2，－1) D.(－1，0)
解析 由于f(－1)＝－<0，f(0)＝30－0＝1>0，
∴f(－1)·f(0)<0.则f(x)在(－1，0)内有零点.
答案 D
2.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B.－2，0
C. D.0
解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.
答案 D
3.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A.(1，3) B.(1，2)
C.(0，3) D.(0，2)
解析 因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)·(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0
4.已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )
A. B.
C.－ D.－
解析 令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
答案 C
5.(一题多解)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( )
A.－ B.
C. D.1
解析 法一 f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e1－x)－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，且t∈(－∞，＋∞).
∴函数g(t)为偶函数.
∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点.
又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝.
法二 f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2＝2，
当且仅当x＝1时取“＝”.
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”.
若a＞0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.
若a≤0，则f(x)的零点不唯一.
故选C.
答案 C
6.(2019·浙江三校三联)已知关于x的方程ex|x－t|－1＝0有三个不同的实数根，则实数t的取值范围是( )
A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)
C.[2，＋∞) D.(2，＋∞)
解析 关于
x的方程ex|x－t|－1＝0有三个不同的实数根等价于函数f(x)＝|x－t|与函数g(x)＝的图象有三个不同的交点，在平面直角坐标系内画出两函数的图象如图所示，由图易得当x＞t时，直线y＝x－t与函数g(x)＝的图象有一个交点，要使两函数图象有三个不同的交点，则直线y＝t－x与函数g(x)＝的图象有两个不同的交点，当直线y＝t－x与曲线g(x)＝相切时，易得t＝1，则由图易得要使两函数图象有三个不同的交点，则t＞1，故选B.
答案 B
7.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A.[－1，0) B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
解析 函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点.作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.
答案 C
8.(2019·浙江卷)设a，b∈R，函数f(x)＝
若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则( )
A.a<－1，b<0 B.a<－1，b>0
C.a>－1，b<0 D.a>－1，b>0
解析 由题意，b＝f(x)－ax＝
设y＝b，g(x)＝
即以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论.
①当a<－1时，1－a>0，可得g(x)在(－∞，0)上递增；
由g′(x)＝x2－(a＋1)x＝x[x－(a＋1)](x≥0)，a＋1<0，
可得g(x)在(0，＋∞)上递增.
此时直线y＝b与g(x)的图象只有1个交点，不符合题意，故A，B排除.
②当a>－1，即a＋1>0时，
因为g′(x)＝x[x－(a＋1)](x≥0)，
所以当x≥0时，
由g′(x)<0可得0
如图，y＝b与y＝g(x)(x≥0)的图象至多有2个交点.
当1－a>0，即－1
当1－a<0，即a>1时，y＝g(x)与y＝b的图象可以有1个或2个交点，但不存在有3个交点的情况，不合题意，舍去.
综上，－1
答案 C
二、填空题
9.(2020·北京朝阳区一模)能说明“函数f(x)的图象在区间[0，2]上是一条连续不断的曲线.若f(0)·f(2)＞0，则f(x)在(0，2)内无零点”为假命题的一个函数是________.
解析 考查函数y＝(x－1)2，绘制函数图像如图所示，
该函数f(x)的图像在区间[0，2]上是一条连续不断的曲线，f(0)·f(2)＞0，但是函数f(x)在(0，2)内存在零点x＝1，故该函数使得原命题为假命题.
答案 y＝(x－1)2
10.(2019·七彩阳光联盟三联)函数f(x)＝则f(f(－3))＝________；若存在四个不同的实数a，b，c，d，使得f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，则abcd的取值范围为________.
解析 由题可得f(－3)＝2，所以f(f(－3))＝f(2)＝1.不妨设a＜b＜c＜d，则有－log2c＝log2d，所以cd＝1，且a＋b＝－2，其中－1＜b≤0.所以abcd＝ab＝b(－2－b)＝－b2－2b∈[0，1).
答案 1 [0，1)
11.已知函数f(x)＝若f(x)是单调函数，则实数a的取值范围是________；若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数a的取值范围是________.
解析
因为函数y＝2x在定义域内是单调递增函数，所以函数f(x)为单调递增函数，所以a>0且2a≤a2.在同一坐标系下作出函数y＝2x与y＝x2的图象，由图可知，实数a的取值范围为[2，4].函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于函数y＝f(x)与y＝b的图象有三个交点，在同一坐标系下作出函数y＝f(x)与y＝b的图象，由图可知，当a在y轴的左方时，存在实数b，使得两函数图象有三个交点，所以要使函数g(x)有三个零点，实数a的取值范围为(－∞，0).
答案 [2，4] (－∞，0)
12.已知f(x)＝－m|x|，若f(x)有两个零点，则实数m的值为________；若f(x)有三个零点，则实数m的取值范围是________.
解析 函数f(x)的零点，即为方程－m|x|＝0即＝|x|(x＋2)(x≠－2)的实数根，令g(x)＝|x|(x＋2)＝其图象如图所示，当m＝1时，g(x)图象与y＝有2个交点；当0<<1，即m>1时，有3个交点.
答案 1 (1，＋∞)
13.(2019·北京大兴区期末)设函数f(x)＝
(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；
(2)若函数y＝f(x)－b有两个零点，则b的取值范围是________.
解析 (1)当a＝0时，f(x)＝
当x≤0时，f(x)＝2x，f(x)在(－∞，0]上为增函数，
当x＞0时，－x＜0，则f(x)＝f(－x)＝2－x＝，
则f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
则f(x)max＝f(0)＝20＝1.
(2)根据题意，当x≤a时，f(x)＝2x－a，
当x＞a时，则有2a－x＜a，
此时f(x)＝f(2a－x)＝2a－x，
f(x)＝，其图象关于直线x＝a对称，
若函数y＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)与y＝b有2个交点，其图象如图所示：
必有0＜b＜1，即b的取值范围为(0，1).
答案 (1)1 (2)(0，1)
14.(2020·杭州高级中学测试)已知函数f(x)满足：f(1－x)＝f(1＋x)，且当x≤1时，f(x)＝x2＋a(a∈R)，若存在实数t∈[0，1]，使得关于x的方程|f(x)|＝t有且仅有四个不等实根，则实数a的取值范围是________.
解析 由f(1－x)＝f(1＋x)知函数f(x)关于直线x＝1对称.当a>1时，|f(x)|＝f(x)≥f(0)＝a>1，函数y＝|f(x)|的图象与直线y＝t无公共点，不满足条件；当a＝1时，函数y＝|f(x)|的图象与直线y＝t最多只有两个公共点，不满足条件；当0≤a<1时，如图1所示，函数y＝|f(x)|的图象与直线y＝t可能有四个公共点，满足条件；当－1
答案 (－∞，1)
能力提升题组
15.设函数f(x)＝则函数F(x)＝xf(x)－1的零点个数为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
解析 作出函数y＝f(x)与y＝g(x)＝的图象如图，当x<0时，y＝f(x)单调递增，y＝为减函数，此时函数f(x)与y＝g(x)＝只有一个交点.∵f(1)＝1，
g(1)＝1，∴f(1)＝g(1)，(1，1)是两函数图象的一个交点；∵f(3)＝f(1)＝，g(3)＝，满足f(3)>g(3)，∴两函数的图象在(2，4)内有两个交点；∵f(5)＝f(3)＝，g(5)＝，满足f(5)>g(5)，∴两函数的图象在(4，6)内有两个交点；∵f(7)＝f(5)＝，
g(7)＝，满足f(7)
答案 C
16.(2020·浙江“超级全能生”联考)已知f(x)＝若f(x)＋2＋|f(x)－2|－2ax－4＝0恰有两个不等实根x1，x2，则a的取值组成的集合为( )
A.{2－2}∪[－2，0]
B.{2－2}∪[0，2]
C.{2＋2}∪[0，2]
D.{2＋2}∪[－2，0]
解析 由题意得f(x)＋2＋|f(x)－2|＝max{2f(x)，4}＝2ax＋4，即max{f(x)，2}＝ax＋2.令g(x)＝max{f(x)，2}＝
h(x)＝ax＋2，f(x)＋2＋|f(x)－2|－2ax－4＝0恰有两个不等实根，等价于函数g(x)与h(x)的图象有两个不同的交点.作出函数g(x)和h(x)的图象如图，由图可知h＝或0≤h(1)≤2，解得a＝2－2或a∈[－2，0]，故选A.
答案 A
17.已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(e)＝________，函数y＝f(f(x))－1的零点个数为________.
解析 f(e)＝ln e＝1；函数y＝f(f(x))－1的零点个数为方程f(f(x))＝1的根的个数，则①由ln x＝1(x≥1)，得x＝e，于是f(x)＝e，则由ln x＝e(x≥1)，得x＝ee；或由ef(|x|＋1)＝e(x<1)，得f(|x|＋1)＝1，所以ln(|x|＋1)＝1，解得x＝e－1(舍去)或x＝1－e；②由ef(|x|＋1)＝1(x<1)，得f(|x|＋1)＝0，所以ln(|x|＋1)＝0，解得x＝0，所以f(x)＝0，只有ln x＝0(x≥1)，解得x＝1.综上可知函数y＝f(f(x))－1有x＝ee，1－e，1共3个零点.
答案 1 3
18.已知函数f(x)＝－4，若m＝4，则函数f(x)的零点个数为________；若函数f(x)有4个零点，则实数m的取值范围是________.
解析 当m＝4时，f(x)＝－4，由对勾函数的性质易得y＝≥4，当且仅当x＝±2时等号成立，所以函数f(x)＝－4的零点有2个.当m>0时，由对勾函数的性质易得y＝≥2，当且仅当x＝±时等号成立，要使f(x)＝－4有4个零点，则有2<4，解得0
19.(2020·浙江十校联盟适考)已知f(x)＝(a∈R)，若存在x1，x2，x3…，xn∈，使得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn－1)＝f(xn)成立的最大正整数n为6，则a的取值范围为________.
解析 设t＝x＋，由x∈得t∈，则问题等价于对于函数g(t)＝|t－a|，存在t1，t2，t3，…，tn∈，使得g(t1)＋g(t2)＋…＋g(tn－1)＝g(tn)成立的最大正整数n为6，即5g(t)min≤g(t)max＜6g(t)min.当a∈时，g(t)min＝0，则对所有正整数都存在相应的t1，t2，t3，…，tn∈使得等式成立，此时的a不符合题意；当a＜2时，g(t)max＝g＝－a，g(t)min＝g(2)＝2－a，则有5(2－a)≤－a＜6(2－a)，解得≤a＜；当a＞时，g(t)max＝g(2)＝a－2，g(t)min＝g＝a－，则有5≤a－2＜6，解得＜a≤.综上所述，实数a的取值范围为∪
答案 ∪
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