2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第7章第4节　直线、平面垂直的判定与性质


第四节　直线、平面垂直的判定与性质
[考纲传真]　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．

1．直线与平面垂直
(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
(2)判定定理与性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.
(3)范围：.
3．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(3)范围：[0，π]．
4．平面与平面垂直
(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

⇒l⊥α
[常用结论]
1．直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
2．三种垂直关系的转化
线线垂直线面垂直面面垂直
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)
(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　)
(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　　)
(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[l⊥α⇒l⊥m，l⊥n；反之，不一定成立，因为m，n不一定相交，故选A.]
3．(教材改编)下列命题中不正确的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
A　[A错误，l与β可能平行或相交，其余选项均正确．]
4．(教材改编)如图所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角
三角形的个数为________．
4　[∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，
则△PAB，△PAC为直角三角形．
由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.
因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]
5．(教材改编)在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
(1)外　(2)垂　[(1)如图，∵PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC，在Rt△POA中，OA2＝PA2－PO2，
同理OB2＝PB2－PO2，
OC2＝PC2－PO2.
又PA＝PB＝PC，故OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．
(2)由PA⊥PB，PA⊥PC可知PA⊥平面PBC，
∴PA⊥BC，
又PO⊥BC，
∴BC⊥平面PAO，
∴AO⊥BC，
同理BO⊥AC，CO⊥AB.
故O是△ABC的垂心．]



直线与平面垂直的判定与性质

【例1】　如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
[证明]　(1)在四棱锥P­ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
PA，AC⊂平面PAC，
∴CD⊥平面PAC.
而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
PC，CD⊂平面PCD，
∴AE⊥平面PCD，
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，
AB，AE⊂平面ABE，
∴PD⊥平面ABE.
[规律方法]　证明直线和平面垂直的常用方法
(1)利用判定定理.
(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α).
(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β).
(4)利用面面垂直的性质.,当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
(5)重视平面几何知识，特别是勾股定理的应用.

如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.
求证：PA⊥CD.
[证明]　因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ACB中，由AC＝BC，得∠ABC＝30°.
设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3，
所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB.
因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D，得CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.

平面与平面垂直的判定与性质

【例2】　(2018·北京高考节选)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E是AD的中点．求证：
(1)PE⊥BC；
(2)平面PAB⊥平面PCD.
[证明]　(1)∵PA＝PD，E是AD的中点，
∴PE⊥AD.
又ABCD为矩形，∴AD∥BC，
∴PE⊥BC.
(2)因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，
所以AB⊥PD.
又PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB.
又PD⊂平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
[规律方法]　1.判定面面垂直的方法
(1)面面垂直的定义；
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).
2.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
(2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E­ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．
[解]　(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.
故AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC，
所以平面AEC⊥平面BED.
(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.
因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.
由已知得，三棱锥E­ACD的体积VE­ACD＝×AC·GD·BE＝x3＝，故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝.
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.
故三棱锥E­ACD的侧面积为3＋2.

平行与垂直的综合问题

【例3】　如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，DE⊥AB，沿DE将△AED折起到△A1ED的位置，连接A1B，A1C，M，N分别为A1C，BE的中点，如图2.

图1　　　图2
(1)求证：DE⊥A1B；
(2)求证：MN∥平面A1ED；
(3)在棱A1B上是否存在一点G，使得EG⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
[解]　(1)证明：∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，DE⊥AB，
沿DE将△AED折起到△A1ED的位置，∴DE⊥A1E，DE⊥BE，
∵A1E∩BE＝E，∴DE⊥平面A1BE，
∵A1B⊂平面A1BE，∴DE⊥A1B.
(2)证明：取CD中点F，连接NF，MF，
∵M，N分别为A1C，BE的中点，
∴MF∥A1D，NF∥DE，
又DE∩A1D＝D，NF∩MF＝F，DE⊂平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，NF⊂平面MNF，MF⊂平面MNF.
∴平面A1DE∥平面MNF，
∴MN∥平面A1ED.
(3)取A1B的中点G，连接EG，
∵A1E＝BE，
∴EG⊥A1B，
由(1)知DE⊥平面A1BE，
∵DE∥BC，
∴BC⊥平面A1BE，
∴EG⊥BC，
又A1B∩BC＝B，
∴EG⊥平面A1BC.
故棱A1B上存在中点G，使得EG⊥平面A1BC，此时＝1.
[规律方法]　证明折叠问题中的平行与垂直，关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化.对于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.
如图1所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于点F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1­BCD，如图2所示．

图1　　　图2
(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF；
(2)求证：BD⊥A1F；
(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？请说明理由．
[解]　(1)证明：因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DM∥EF.
又EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，
所以DM∥平面A1EF.
(2)证明：因为A1E⊥BD，EF⊥BD，且A1E∩EF＝E，
所以BD⊥平面A1EF.
又A1F⊂平面A1EF，
故BD⊥A1F.
(3)A1B与CD不能垂直．
因为平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，
∴EF⊥平面A1BD.
∴EF⊥A1B，又EF∥DM，∴A1B⊥DM.
若A1B⊥CD，则A1B⊥平面BCD.
所以A1B⊥BD，这与∠A1BD为锐角矛盾．
所以A1B与CD不能垂直．


1.(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)
②③④　[根据相关知识，对四个命题逐个判断．
对于①，α，β可以平行，可以相交也可以垂直，故错误．
对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．
对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．
对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]
2.(2018·全国卷Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)当三棱锥M­ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

[解]　(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.
因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM.
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.
而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz.
当三棱锥M­ABC体积最大时，M为的中点．
由题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，
＝(－2,1,1)，＝(0,2,0)，＝(2,0,0)．
设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，则即
可取n＝(1,0,2)．
是平面MCD的法向量，
因此cos〈n，〉＝＝，
sin〈n，〉＝.
所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.