知识点一  简单随机抽样

1．简单随机抽样的概念

设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

2．最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．

1．(必修3P100A组第1题改编)2018年2月，为确保食品安全，北京市质检部门检查一箱装有1 000袋方便面的质量，抽查总量的2%.在这个问题中下列说法正确的是(　D　)

A．总体是指这箱1 000袋方便面

B．个体是一袋方便面

C．样本是按2%抽取的20袋方便面

D．样本容量为20

解析：总体是指这箱1 000袋方便面的质量；个体是一袋方便面的质量；样本为20袋方便面的质量；样本容量为20.

2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　D　)

A．08   B．07

C．02   D．01

解析：由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.

知识点二  系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．

1．先将总体的N个个体编号．

2．确定分段间隔k，对编号进行分段，当是整数时，取k＝.

3．在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)．

4．按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．

3．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(　C　)

A．50  B．40

C．25  D．20

解析：根据系统抽样的特点求解．根据系统抽样的特点可知分段间隔为＝25.故选C.

4．(必修3P59练习T2改编)设某校共有112名教师，为了支援西部教育事业，现要从中抽取12名组成暑期西部讲师团．若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为(　A　)

A．9,4   B．12,3

C．10,2   D．8,2

解析：因为112＝9×12＋4，所以抽样间隔为9，随机剔除的个数为4.

知识点三  分层抽样

1．分层抽样的概念

在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．

2．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．

3．分层抽样时，每个个体被抽到的机会是均等的．

5．(2019·南宁市摸底联考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　B　)

A．100,20   B．200,20

C．200,10   D．100,10

解析：由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以高中生的近视人数为40×50%＝20，故选B.

6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为1_800件．

解析：分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件．在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为53，所以乙设备生产的产品的总数为1 800件．

1．三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体容量为N，每个个体被抽到的概率是.

2．系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列．

3．分层抽样是按比例抽取个体．

考向一  简单随机抽样

【例1】　(1)某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽取了4名男生、6名女生，则下列命题正确的是(　　)

A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样

B．这次抽样一定没有采用系统抽样

C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率

D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率

(2)假设要考察某企业生产的袋装牛奶质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500袋牛奶按000,001，…，499进行编号，如果从随机数表(下面摘取了随机数表第7行至第9行)第8行第4列的数开始按三位数连续向右读取，则依次写出最先检测的5袋牛奶的编号分别为(　　)

84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67　21 76 33 50 25　83 92 12 06 76

63 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75　12 86 73 58 07　44 39 52 38 79

33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38　15 51 00 13 42　99 66 02 79 54

A．163,198,175,129,395

B．163,199,175,128,395

C．163,199,175,128,396

D．163,199,175,129,395

【解析】　(1)利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，B错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C和D均错误．故选A.

(2)随机数表第8行第4列的数是1，从1开始读取：163 785 916 955 567 199 810 507 175 128 673 580 744 395.标波浪线的5个即是所取编号．

【答案】　(1)A　(2)B

1简单随机抽样需满足：①抽取的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取.

2简单随机抽样常有抽签法适用总体中个体数较少的情况、随机数法适用于个体数较多的情况.

(1)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是(　A　)

A．总体

B．个体

C．样本的容量

D．从总体中抽取的一个样本

(2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 (　B　)

A．134石  B．169石

C．338石  D．1 365石

解析：(1)由题意知，5 000名居民的阅读时间是总体，200名居民的阅读时间为一个样本；每个居民的阅读时间为个体；200为样本容量．故选A.

(2)×1 534≈169(石)．故选B.

考向二  系统抽样

【例2】　(1)某校为了解1 000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1 000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为(　　)

A．16   B．17

C．18   D．19

(2)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是(　　)

A．3   B．4

C．5   D．6

【解析】　(1)∵从1 000名学生中抽取一个容量为40的样本，

∴系统抽样的分段间隔为＝25，

设第一组随机抽取的号码为x，

则抽取的第18组的号码为x＋17×25＝443，

∴x＝18.故选C.

(2)由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139,151]内的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．故选B.

【答案】　(1)C　(2)B

系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.

(1)现有60瓶矿泉水，编号从1到60，若用系统抽样方法从中抽取6瓶检验，则所抽到的个体编号可能是(　D　)

A．5,10,15,20,25,30

B．2,14,26,28,42,56

C．5,8,21,36,48,54

D．3,13,23,33,43,53

(2)某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为37的学生．

解析：(1)若用系统抽样方法从中抽取6瓶检验，则样本间隔为60÷6＝10，只有3,13,23,33,43,53满足条件．故选D.

(2)组距为5，(8－3)×5＋12＝37.

考向三  分层抽样

方向1　分层抽样的概念与计算

【例3】　(1)(2018·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．

(2)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．

【解析】　(1)因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价．

(2)由题意知＝，解得a＝30.

【答案】　(1)分层抽样　(2)30

方向2　分层抽样的实际应用

【例4】　(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：

则下面结论中不正确的是(　　)

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【解析】　解法1：设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a，第三产业收入为0.06a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a，第三产业收入为0.56a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A.

解法2：因为0.6<0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的．故选A.

【答案】　A

分层抽样的解题策略

(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．

(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同．

(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．

(4)抽样比＝＝.

1．(方向1)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　D　)

A．p1＝p2<p3  B．p2＝p3<p1

C．p1＝p3<p2  D．p1＝p2＝p3

解析：由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.

2．(方向1)某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽取20人，则从高三年级学生中抽取的人数为17.

解析：设从高二年级学生中抽取x人，由题意得＝，解得x＝18，则从高三年级学生中抽取的人数为55－20－18＝17人．

3．(方向2)(2019·河南名校联考)《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出17钱(所得结果四舍五入，保留整数)．

解析：依照钱的多少按比例出钱，所以丙应该出钱为×100＝≈17.